文| 張 娜

等差數(shù)列是一個古老的數(shù)學課題，在數(shù)學發(fā)展早期已有許多人研究過數(shù)列這一課題。古埃及數(shù)學文獻《萊因特紙草書》中就有相關(guān)的問題。其中一個問題的大意是：

把100 個面包分給5 人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的七分之一是較小的兩份之和，則最小的一份為多少？

在巴比倫晚期的《泥板文書》中也有按級遞減分物的等差數(shù)列問題，其中有一個問題大意是：

10 個兄弟分100 兩銀子，長兄最多，依次減少相同數(shù)目?，F(xiàn)知老八分得6 兩，問相鄰兩兄弟相差多少？

印度數(shù)學家婆羅摩笈多在公元7 世紀末給出了求末項公式。在我國公元5 世紀寫成的《張丘建算經(jīng)》中，也曾得出這個公式。自張丘建之后，我國對等差數(shù)列的計算日趨重視，特別是在天文學和堆棧求積等問題的推動下，從對一般的等差數(shù)列的研究發(fā)展成為對高階等差數(shù)列的研究。在北宋沈括的《夢溪筆談》中，“垛積術(shù)”就是第一個關(guān)于高階等差數(shù)列的求積法。東漢時期的劉徽在《九章算術(shù)》中已經(jīng)提出求等差數(shù)列各項以及已知首項、末項和項數(shù)求公差的問題。南宋數(shù)學家楊輝豐富和發(fā)展了沈括的成果。元朝數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》和《算學啟蒙》中得到一系列重要的高階等差數(shù)列求和公式。朱世杰的垛積根差術(shù)，全面地推進了宋元數(shù)學家在這方面的研究工作。

【教學目標】

（1）通過生活中的實例理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義，知道等差中項的概念。（2）能在具體的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，能判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列。（3）會利用定義推導等差數(shù)列的通項公式，體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系。

【教學重點】

等差數(shù)列的概念和通項公式。

【教學難點】

（1）通過運算發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律以及規(guī)律的符號化表達。（2）等差數(shù)列通項公式的歸納。

【教學過程】

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，形成概念

在前面的學習中，我們已經(jīng)了解了數(shù)列的定義、表示方法，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列。

請看下面幾個問題中的數(shù)列。

情境1：北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9 圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL 型號的女裝上衣對應的尺碼分別是

情境3：測量某地垂直地面方向上海拔500 m 以下的大氣溫度，得到從距離地面20 m 起每升高100 m處的大氣溫度（單位：℃）依次為

情境4：某人向銀行貸款a 萬元，貸款時間為n年，如果個人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應還本金萬元，每月支付給銀行的利息（單位：萬元）依次為

問題1：對于情境1 中的數(shù)列，你能通過運算發(fā)現(xiàn)其中的取值規(guī)律嗎？

對于數(shù)列{9，18，27，36，45，54，63，72，81 }，學生可能很自然地想到“9+9=18，18+9=27…72+9=81”，我們把這種表達方式改成了“18－9=9，27－18=9，81－72=9”，并在教科書“邊空”的提示中指出“改變表達方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了”。然后，用字母代替數(shù)列中的具體項，得到a2-a1=9，a3-a2=9，a4-a3=9…從而使“規(guī)律”呈現(xiàn)出了一般性，由此就容易概括出這個數(shù)列的取值規(guī)律：從第2 項起每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)9。緊接著我們追問：你能仿照數(shù)列①的運算規(guī)律寫出情境2、3、4 中數(shù)列的一般規(guī)律嗎？

在這個過程中，學生要自己驗證，發(fā)現(xiàn)其共同的規(guī)律：從第2 項起每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。我們在此強調(diào)同一個常數(shù)。

在上述基礎(chǔ)上，我們引導學生進行共性歸納，然后再用嚴謹?shù)臄?shù)學語言抽象出等差數(shù)列的概念。

問題2：你能描述等差數(shù)列的概念嗎？

我們得到了等差數(shù)列的定義：一般，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作公差，通常用字母d表示。

在教學中，教師要引導學生得出定義，并體會定義中的關(guān)鍵詞，讓學生把握定義的關(guān)鍵點，為等差數(shù)列的判斷提供依據(jù)和方法。

追問1：你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系嗎？

我們從定義中可以發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系：an-an-1=d（n＞1）或an+1-an=d。我們用數(shù)學符號表示了等差數(shù)列，得到了遞推關(guān)系。

追問2：你能從等差數(shù)列的定義中得出等差數(shù)列相鄰三項的遞推關(guān)系嗎？

學生經(jīng)過分析也可以得出相鄰三項的遞推關(guān)系：an-an-1=an+1-an（n＞1）即2an=an+1+an-1（n＞1）。在教學過程中，我們要強調(diào)n的范圍，讓學生形成習慣，為之后數(shù)列的進一步學習奠定基礎(chǔ)，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性。

接著，從一般到特殊，我們研究只含三項的等差數(shù)列，給出了“等差中項”的定義及其性質(zhì)。

問題3：若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，你能得到a，A，b的關(guān)系嗎？

如果a，A，b成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，我們可以得出A=，我們稱A為a，b的等差中項，由此我們引入了等差中項的概念。從數(shù)值上看，等差中項等于首項與末項的算術(shù)平均數(shù)，這可以看成等差數(shù)列的一個重要性質(zhì)。這里要特別強調(diào)“兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)”在等差數(shù)列研究中的重要意義。實際上，對于一般的等差數(shù)列中的相鄰三項，滿足2an=an+1+an-1（n＞1），與追問2 一致。

環(huán)節(jié)二：利用概念，推導通項

研究了等差數(shù)列的概念與遞推公式之后，緊接著我們就想去探究一下等差數(shù)列的通項公式。

問題4：設(shè){an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，你能從等差數(shù)列的定義出發(fā)推出等差數(shù)列的通項公式嗎？

推導1

a2=a1+d

a3=a1+2d

a4=a1+3d

...

an=a1+（n-1）d

這是一種迭代的思想，屬于歸納推理，其正確性需之后的數(shù)學歸納法進一步驗證。

推導2

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

...

an-an-1=d（n≥2）

累加：an=a1+（n-1）d

當n=1 時，a1亦滿足上式，所以an=a1+（n-1）d。

環(huán)節(jié)三：典例分析，形式特征

我們得到了等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d，在教學中我們引導學生分析通項公式，探究通項公式中涉及的量，引導學生知三求一，引導學生明確首項a1和公差d為兩個基本量，為之后建立方程的思想做準備。在這個過程中，我們可以通過具體例題加以體現(xiàn)基本量的方法。

例1.（1）已知等差數(shù)列{an}的通項公式an=5-2n，求{an}的公差和首項及a5；

（2）求等差數(shù)列{2，5，8}… 的第20 項及通項公式；

（3）已知數(shù)列{an}的通項公式an=6，求{an}的公差d和首項及a5；

（4）-401 是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

學生借助等差數(shù)列的定義及通項公式，可以得到：

（1）d=an+1-an=5-2（n+1）-5+2n=-2，a5=-5；

（2）由題知a1=2，d=a2-a1=3，

所以通項公式為an=2+（n-1）3=3n-1，a20=59；

（3）d=an+1-an=0，a1=6，a5=6；

（4）由題知a1=-5，d=a2-a1=-4，

所以通項公式為an=-5+（n-1）（-4）=-4n-1，

令-4n-1=-401，得n=100，所以-401 是這個數(shù)列的項，是第100 項。

問題5：觀察上述（1）（2）（3）（4）4 個等差數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

學生通過表達式分析得到與一次函數(shù)有關(guān)，但又區(qū)別于一次函數(shù)，首先是數(shù)列這個特殊函數(shù)的定義域?qū)е碌膮^(qū)別，函數(shù)圖象是一系列點，但這些點分布在一條直線上。其次我們發(fā)現(xiàn)（3）這個常數(shù)列的通項公式不是一次函數(shù)。我們將通項公式做變形為an=dn+（a1-d），類比于一次函數(shù)y=dx+（a1-d），我們發(fā)現(xiàn)當d≠0 時，{an} 就是一次函數(shù)的自變量取正整數(shù)時的函數(shù)值（如圖1）。

圖1

例2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：

（1）1，1，2，3，4…

（2）1，1，1，1，1…

（3）1，3，1，3，1，3…

（4）1，3，5，7，9，…2n-1…

（5）a1=1，an-an-1=2（n≥2）

（6）a1=1，an-an-1=n（n≥2）

（7）an=an+b（a，b為常數(shù)）

（8）2an=an-1+an+1（n≥2）

（9）an=（-1）n

通過此題學生可以進一步理解等差數(shù)列的定義及通項公式的形式特征，并總結(jié)判斷等差數(shù)列的方法：定義法、等差中項法、通項公式法。

環(huán)節(jié)四：當堂檢測，課堂小結(jié)

1．已知等差數(shù)列{an}中，a10=10，a12=16，則這個數(shù)列的首項是（ ）

A．-6 B.6

C.-17 D.17

2．等差數(shù)列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，則n等于（ ）

A．48 B．49

C．50 D．51

3.已知數(shù)列{an}中，a1=，數(shù)列an=2-，（n≥2，n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=n∈N*），求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

課堂小結(jié)：通過本節(jié)課的學習，學生理解了等差數(shù)列的概念，可以判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列并能解決等差數(shù)列的相關(guān)問題。

環(huán)節(jié)五：課后作業(yè)

教材P15（練習）第1、2、3、4、5 題。

環(huán)節(jié)六：課后反思

在本節(jié)課中，我通過具體例子引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系，進而直接得出等差數(shù)列的概念，在給出概念之后，引導學生對概念的關(guān)鍵字進行標注并解釋，由上節(jié)課所學的遞推關(guān)系提問學生兩項間的遞推關(guān)系，從而得出數(shù)學表達式，提問三項間的遞推關(guān)系得到等差中項的概念。在這節(jié)課中，我們可以先給出一道例題，讓學生完成填空，并提出更高的要求，求出數(shù)列的第20 項，甚至第2023 項。這時提出：“要有通項公式該有多好啊！”進而引導學生進行通項公式的推導。這樣的設(shè)計可能更為自然流暢，在推導過程中學生容易進行歸納總結(jié)，所以在此需要強調(diào)歸納總結(jié)之后的結(jié)果需要進行驗證，在推導過程中，給出迭代和累加兩種方法，這也是數(shù)列中處理問題比較重要的方法。