李春燕，姚長(zhǎng)征

（新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003）

20 世紀(jì)70 年代，人們開(kāi)始研究非交換鞅。 其中，第一個(gè)非交換鞅不等式是由I. Cuculescu［1］得到的非交換鞅的弱(1,1)型不等式。 在以后的20 多年里，非交換鞅的研究一直停滯不前， 這是因?yàn)樵诮?jīng)典的鞅空間理論研究過(guò)程中，一些常用的方法（如停時(shí)和極大函數(shù)方法）在非交換的情形下是不能直接應(yīng)用的，這使得經(jīng)典的鞅結(jié)果在向非交換情形拓展時(shí)變得舉步維艱。因此，人們需要引進(jìn)新的工具和方法。 1997 年，G. Pisier 等［2］得了重大突破， 證明了非交換鞅的Burkholder-Gundy不等式和Fefferman 對(duì)偶定理等非交換結(jié)果。 以后，非交換鞅的研究進(jìn)入快速發(fā)展階段，研究成果不斷涌現(xiàn)。

原子分解是研究經(jīng)典鞅論和調(diào)和分析的重要工具。 T. N. Bekjan 等［3］對(duì)非交換鞅Hardy 空間H1和h1進(jìn)行了原子分解。 Z. Q. Chen［4］得到了非交換小指標(biāo)鞅空間上的原子分解。 這些成果對(duì)非交換鞅的發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用， 為人們研究非交換擬鞅空間的原子分解提供了思路和方法。在本文中，我們定義了非交換擬鞅的條件Hardy 空間,證明了當(dāng)0

1 定義及符號(hào)

設(shè)(Mn)n≥1是von Neumann 代數(shù)M中的一列遞增的子σ代數(shù)流，且滿足Mn的并在M中是弱*-稠密的，ε nε(0=0)是關(guān)于Mn的條件期望。

定義1：若對(duì)任意的n≥1,xn∈L1(Mn),則稱序列x=(xn)n≥1是適應(yīng)的。 若x n∈L1(Mn?1),則稱序列x=(xn)n≥1是可料的。 若εn(xn+1)=xn(n≥1),稱L1(M)中的序列x=(xn)n≥1為關(guān)于(Mn)n≥1的鞅。

此外，設(shè)0

若||x||p<∞,則稱x是L p(M)有界的鞅。

定義2： 設(shè)0

定義3： 設(shè)0

定義4：設(shè)0

定義5：設(shè)0

2 非交換擬鞅的原子分解

引理1：設(shè)0

由文獻(xiàn)［5］可知，對(duì)于任意的j≥1,存在等距的右Mj-模映射對(duì)于任意的y∈L2(M),z∈L2(M),有u j(y)?u j(z)=εj(y?z)?e1,1。因此，有

其中bn,i=un?1(d n(ai))。

引理2［2］:設(shè)0

定理1：設(shè)0

證明：假設(shè)x=(xn)n≥1是M中的有界擬鞅，s c,n(x)是可逆的，否則可構(gòu)造一列逼近s c,n(x)的可逆算子。

在以下證明過(guò)程中，把sc,n(x)簡(jiǎn)記為s n(x)。 設(shè)m≥2,令

注意到

由引理2 可知

利用擬鞅定義和式（1）可得

又注意到

則由式（2）和式（3）可得