馮 賓, 樊衛(wèi)華

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210094)

0 引 言

直流伺服系統(tǒng)作為雷達(dá)系統(tǒng)[1]、光電對(duì)抗系統(tǒng)[2]、精密數(shù)控機(jī)床[3]以及機(jī)器人系統(tǒng)[4]等的重要核心部件，其性能直接影響上述設(shè)備的整體性能。在伺服控制系統(tǒng)中，摩擦非線性是影響其穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的主要因素，可能使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定或者性能大大降低。特別在低速運(yùn)行下，與中等或穩(wěn)態(tài)速度運(yùn)行相比，在速度換向時(shí)，摩擦非線性對(duì)直流伺服系統(tǒng)控制性能的影響占主導(dǎo)地位。在低速跟蹤和小阻尼時(shí)會(huì)引起跟蹤誤差較高、相位滯后、“滯滑”跳動(dòng)、爬行和極限環(huán)振蕩等問(wèn)題。因此，為了提高直流伺服系統(tǒng)的低速跟蹤精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，需從摩擦補(bǔ)償和控制器設(shè)計(jì)兩方面同時(shí)入手。

為了克服摩擦非線性對(duì)直流伺服系統(tǒng)造成的影響，一種直接而有效的方法便是通過(guò)建立相對(duì)精確的摩擦模型，對(duì)存在直流伺服系統(tǒng)中的摩擦進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并加以補(bǔ)償[5]。常用的靜態(tài)摩擦模型有Stribeck模型、Karnopp模型和庫(kù)倫摩擦模型等。但常用模型不能真實(shí)地反映摩擦的動(dòng)態(tài)特性，因此不能獲得良好的補(bǔ)償效果。LuGre摩擦模型采用兩個(gè)接觸面之間的鬃毛形變量來(lái)表征摩擦的動(dòng)態(tài)特性，較為準(zhǔn)確地描述了摩擦中的爬行、極限環(huán)振蕩、變靜摩擦力和斯特里貝克曲線等動(dòng)靜態(tài)特性[6]，因此在理論和應(yīng)用上受到許多學(xué)者的研究。目前，基于LuGre模型的控制方法主要有自適應(yīng)魯棒控制[7]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[8]、基于干擾觀測(cè)器的補(bǔ)償控制[9]以及自抗擾控制(ADRC)[10]等。文獻(xiàn)[11]利用LuGre模型前饋補(bǔ)償系統(tǒng)的摩擦，有效地改善了轉(zhuǎn)臺(tái)伺服系統(tǒng)的低速性能。文獻(xiàn)[12]針對(duì)機(jī)電伺服系統(tǒng)低速階段存在的摩擦非線性，提出一種基于非線性觀測(cè)器摩擦補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒控制器。該控制器利用LuGre模型前饋補(bǔ)償摩擦非線性，并通過(guò)設(shè)計(jì)魯棒項(xiàng)克服其他擾動(dòng)，獲得了較高的控制精度和較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[13]利用LuGre模型對(duì)光電穩(wěn)定平臺(tái)中的摩擦進(jìn)行補(bǔ)償，并通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)剩余的干擾進(jìn)行補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的高精度跟蹤。文獻(xiàn)[14]結(jié)合修正黏性摩擦 LuGre 模型建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，根據(jù)反演思想設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模控制器，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。但這些方法很少能在減小摩擦非線性對(duì)系統(tǒng)的影響和提高系統(tǒng)跟蹤性能的同時(shí)，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

由Han[15]提出的ADRC是一種非線性補(bǔ)償控制方法，通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)中的總擾動(dòng)并在控制信號(hào)中加以補(bǔ)償。針對(duì)傳統(tǒng)的ADRC結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)眾多且不夠直觀。文獻(xiàn)[16]引入帶寬的概念，提出了線性自抗擾控制(LADRC)，推動(dòng)了ADRC在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)作為L(zhǎng)ADRC的核心，可以將摩擦視為非線性擾動(dòng)，對(duì)其實(shí)時(shí)估計(jì)并在反饋信號(hào)中得到消除，從而抑制摩擦對(duì)系統(tǒng)性能的影響。但這要求LESO能夠快速、精確地估計(jì)出摩擦。為了提高對(duì)摩擦的估計(jì)能力，LESO就得選取較大的觀測(cè)器增益，但受實(shí)際系統(tǒng)的帶寬、量測(cè)噪聲、采樣時(shí)間等因素制約，觀測(cè)器的增益是受限的[17]。同時(shí)，常值高增益LESO由于初始時(shí)刻狀態(tài)變量的估計(jì)值與系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的真實(shí)值存在較大誤差，會(huì)使LESO估計(jì)的擾動(dòng)在初始時(shí)刻產(chǎn)生較大峰值，即存在初始峰值問(wèn)題[18]。當(dāng)這樣一個(gè)異常擾動(dòng)直接補(bǔ)償?shù)娇刂破髦校瑒t會(huì)非常容易降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

綜上，針對(duì)摩擦非線性影響直流伺服系統(tǒng)跟蹤精度以及現(xiàn)有的控制方法不能改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的問(wèn)題，本文提出一種基于LuGre模型前饋補(bǔ)償?shù)淖冊(cè)鲆孀钥箶_控制(VGADRC)方法。設(shè)計(jì)摩擦補(bǔ)償與ADRC相結(jié)合的復(fù)合控制器，通過(guò)LuGre模型對(duì)摩擦進(jìn)行前饋補(bǔ)償，針對(duì)加入摩擦補(bǔ)償后的系統(tǒng)，可能出現(xiàn)摩擦補(bǔ)償過(guò)度或不足的現(xiàn)象，引入ADRC對(duì)其補(bǔ)償，以提高系統(tǒng)的跟蹤精度。此外，為抑制LESO在初始時(shí)刻產(chǎn)生的峰值現(xiàn)象，設(shè)計(jì)一種變?cè)鲆婢€性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(VGLESO)，以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證所提控制方案在直流伺服系統(tǒng)中的有效性。

1 含摩擦的直流伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

設(shè)直流伺服系統(tǒng)組成如圖1所示，由控制器、功率放大器和直流電機(jī)組成。控制器根據(jù)角位置偏差計(jì)算得到控制量，控制量經(jīng)過(guò)功率放大器放大后驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 直流伺服系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)圖

因摩擦非線性是影響直流伺服系統(tǒng)低速性能的主要因素，故忽略其他非線性擾動(dòng)，僅考慮摩擦非線性，簡(jiǎn)化后的直流伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

圖2中,u為控制輸入；kp為功率放大增益；U為放大后的控制電壓；ke為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；L為電機(jī)的電樞電感；i為電機(jī)的電樞電流；R為電機(jī)的電樞電阻；km為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)；Mf為摩擦力矩；J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ為電機(jī)的輸出角度。

圖2 含摩擦非線性的直流伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)直流伺服系統(tǒng)工作原理，由圖2可得電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩方程：

(1)

由于電機(jī)的電感很小。可以忽略，故式(1)可簡(jiǎn)化為

(2)

(3)

LuGre模型描述如下：

(4)

圖3 Stribeck摩擦曲線

由圖3可知，系統(tǒng)在低速運(yùn)行時(shí)，摩擦力矩具有以下兩點(diǎn)特性：(1)摩擦力矩從靜摩擦力矩到庫(kù)倫摩擦力矩的快速轉(zhuǎn)變，使得摩擦力矩具有負(fù)斜率特性；(2)系統(tǒng)在速度方向切換時(shí)，摩擦力矩具有不連續(xù)性。負(fù)斜率特性和不連續(xù)性所帶來(lái)的爬行現(xiàn)象會(huì)大大降低系統(tǒng)的低速性能。因此，本文目的是設(shè)計(jì)控制器以補(bǔ)償系統(tǒng)中的摩擦力矩。

2 VGADRC設(shè)計(jì)

針對(duì)包含了摩擦非線性環(huán)節(jié)的直流伺服系統(tǒng)，常規(guī)的控制方法難以達(dá)到較高的控制精度，且系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)，為此設(shè)計(jì)ADRC。本文設(shè)計(jì)的基于摩擦補(bǔ)償?shù)闹绷魉欧到y(tǒng)VGADRC結(jié)構(gòu)圖如圖4所示，該控制器是一種由前饋補(bǔ)償控制與ADRC相結(jié)合的復(fù)合控制器，主要包含LuGre模型、線性跟蹤微分器(LTD)、VGLESO和線性狀態(tài)誤差反饋控制律(LSEF)四個(gè)部分。其中，LuGre模型用來(lái)前饋補(bǔ)償系統(tǒng)中的摩擦非線性，LTD用來(lái)跟蹤角位置指令并給出跟蹤過(guò)程的近似微分信號(hào)，VGLESO用來(lái)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)中的總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，LSEF用來(lái)對(duì)VGLESO估計(jì)的總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。

下面分別介紹LTD、VGLESO和LSEF 3部分的設(shè)計(jì)。

2.1 LTD

通過(guò)LuGre模型來(lái)補(bǔ)償系統(tǒng)中的摩擦非線性，可看作將LuGre模型輸出的摩擦力矩，利用系數(shù)變換施加到控制輸入端，即可補(bǔ)償摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響[20]。對(duì)應(yīng)圖4，經(jīng)過(guò)系數(shù)變換后的摩擦補(bǔ)償力矩Ffc為

圖4 基于摩擦補(bǔ)償?shù)闹绷魉欧到y(tǒng)VGADRC結(jié)構(gòu)圖

(5)

式中：Mfc為摩擦補(bǔ)償力矩。

對(duì)直流伺服系統(tǒng)進(jìn)行位置控制時(shí)，由于期望信號(hào)為位置信號(hào)，而LuGre模型的輸入信號(hào)為速度信號(hào)，為避免對(duì)給定位置信號(hào)進(jìn)行微分引入噪聲，采用二階跟蹤微分器(TD)為指令信號(hào)安排過(guò)渡過(guò)程[21]。

對(duì)于傳統(tǒng)的TD，由于采用的是非線性函數(shù), 不僅編程復(fù)雜且計(jì)算量大，為便于系統(tǒng)設(shè)計(jì)，將TD線性化，描述如下[22]：

(6)

式中：θr為期望的位置信號(hào)；v1為安排過(guò)渡過(guò)程后的位置信號(hào)；v2為位置信號(hào)θr的近似微分信號(hào)；r為跟蹤因子。

2.2 VGLESO

對(duì)于固定摩擦參數(shù)的LuGre模型，在實(shí)際工況條件下，當(dāng)系統(tǒng)的摩擦參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，LuGre模型所補(bǔ)償?shù)哪Σ亮貢?huì)與實(shí)際的摩擦力矩產(chǎn)生差異，導(dǎo)致摩擦過(guò)補(bǔ)償或欠補(bǔ)償?shù)那闆r發(fā)生。為了對(duì)殘余摩擦擾動(dòng)進(jìn)行抑制，采用LESO對(duì)其估計(jì)和補(bǔ)償。針對(duì)LESO初始時(shí)刻估計(jì)值與真實(shí)值不一致所引起的峰值現(xiàn)象，一種三階VGLESO設(shè)計(jì)如下。

對(duì)系統(tǒng)加入摩擦補(bǔ)償力矩Mfc后，則式(2)可改寫(xiě)為

(7)

則式(7)可表示為

(8)

則式(8)的擴(kuò)張狀態(tài)方程可表示為

(9)

建立式(9)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

(10)

(11)

式中：e1、e2、e3分別為狀態(tài)x1、x2、x3的觀測(cè)估計(jì)誤差。

將式(11)寫(xiě)成矩陣的形式為

(12)

(13)

引理若式(12)和式(13)是完全可控的，則存在非奇異線性變換z=P(t)e，使得式(12)與式(13)是等價(jià)的[23]。

定義式(12)的可控性矩陣為

(14)

式中：M0(t)、M1(t)、M2(t)均為列向量。

由可控性矩陣有：

(15)

則式(14)可重寫(xiě)為

(16)

同理，定義式(13)的可控性矩陣為Mc(t)。由式(14)～式(15)可得，Mc(t)可表示為

(17)

由式(16)～式(17)可知，式(12)～式(13)是完全可控的。故由引理可得，存在非奇異線性變換z=P(t)e，變換矩陣P(t)可表示為

P(t)=Mc(t)M-1(t)

(18)

使得式(12)與式(13)是等價(jià)的。

將z=P(t)e代入式(11)和式(12)可得：

(19)

則由式(18)～式(19)可得，觀測(cè)器的時(shí)變?cè)鲆鎙1(t)、l2(t)和l3(t)可由a1(t)、a2(t)、a3(t)及其導(dǎo)數(shù)表示為

(20)

為了設(shè)計(jì)a1(t)、a2(t)和a3(t)，本文采用微分算子譜理論，通過(guò)分配合適的并行微分根ρi(t)以得到a1(t)、a2(t)和a3(t)并確保VGLESO的穩(wěn)定性和估計(jì)誤差有界。

令式(12)的特征根為

(21)

選取LESO中的特征根為

(22)

式中：ωo為觀測(cè)器增益，ωo>0，確保LESO的穩(wěn)定。

根據(jù)微分算子譜理論，變?cè)鲆鎱?shù)a1(t)、a2(t)和a3(t)選取以下形式[24]：

(23)

定義ωn(t)=ωoω(t)，則由式(22)～式(23)可得：

(24)

則式(20)可重寫(xiě)為

(25)

至此，l1(t)、l2(t)和l3(t)的設(shè)計(jì)問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為ωn(t)=ωoω(t)中ω(t)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。本文選取時(shí)變函數(shù)ω(t)為

(26)

式中：k為指數(shù)因子，是正常數(shù)。

式(26)可以使ωn(t)在初始階段為一較小的值，然后迅速增大到常值ωo， 從而削弱初始階段產(chǎn)生的峰值現(xiàn)象。

注2ωn(t)=ωoω(t)中觀測(cè)器增益ωo的取值一般需根據(jù)性能指標(biāo)、實(shí)際系統(tǒng)帶寬與量測(cè)噪聲之間綜合考慮。時(shí)變函數(shù)ω(t)中指數(shù)因子k取值越大，觀測(cè)器增益增大到常值ωo的速度越快，對(duì)狀態(tài)及擾動(dòng)的估計(jì)越快，但峰值抑制能力越弱。經(jīng)過(guò)仿真調(diào)試，本文k值取為50。

2.3 LSEF

VGLESO可實(shí)時(shí)估計(jì)出系統(tǒng)的總擾動(dòng)，并通過(guò)反饋控制律進(jìn)行補(bǔ)償，方程如下：

(27)

式中：kp為比例系數(shù)；kd為微分系數(shù)。

增大kp可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但過(guò)大會(huì)引起系統(tǒng)振蕩；過(guò)小的kd會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定，產(chǎn)生振蕩發(fā)散[25]。

注3 通常情況下，先將kp選取為一個(gè)較大值，kd選取為一個(gè)較小值，然后根據(jù)性能指標(biāo)依次調(diào)整kp和kd。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提摩擦補(bǔ)償方案和VGADRC設(shè)計(jì)的有效性，在MATLAB/Simulink中建立直流伺服系統(tǒng)仿真模型進(jìn)行仿真研究，仿真中所使用的直流伺服系統(tǒng)模型參數(shù)為，m=0.49，a=-1.41。

3.1 低速跟蹤仿真

為了模擬實(shí)際應(yīng)用中因摩擦參數(shù)發(fā)生變化，前饋補(bǔ)償不準(zhǔn)的情況，將式(5)中經(jīng)過(guò)系數(shù)變換后的摩擦補(bǔ)償力矩Ffc在仿真中取為0.90Ffc，并在系統(tǒng)輸出端添加方差為0.000 1%的高斯白噪聲，以驗(yàn)證欠補(bǔ)償和摩擦計(jì)算值不準(zhǔn)時(shí)使用所提方法的有效性。

給定位置指令為θr=0.1sin(0.2πt) rad，采用未加摩擦補(bǔ)償且觀測(cè)器增益ωo=100，未加摩擦補(bǔ)償且觀測(cè)器增益ωo=300，增加摩擦補(bǔ)償且觀測(cè)器增益ωo=100三種控制方式比較低速跟蹤性能。三種方式均采用VGLESO，其三種控制方式的控制器參數(shù)除了觀測(cè)器增益不同外均為kp=2 500，kd=200，b0=2，r=50。三種控制方式的低速跟蹤仿真曲線如圖5和圖6所示。其位置跟蹤誤差峰值和速度跟蹤誤差峰值如表1所示。

圖5 低速跟蹤曲線

圖6 低速跟蹤誤差

表1 不同方式下的跟蹤誤差峰值比較

由圖5可以看出，若未對(duì)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償，系統(tǒng)在速度換向時(shí)，位置跟蹤曲線和速度跟蹤曲線分別出現(xiàn)“平頂”現(xiàn)象和“死區(qū)”現(xiàn)象。增大觀測(cè)器增益ωo雖然可以使觀測(cè)器更加快速和準(zhǔn)確的估計(jì)摩擦擾動(dòng)，從而減弱摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響，但同時(shí)也放大了量測(cè)噪聲，使得速度信號(hào)受到嚴(yán)重污染。而加入摩擦補(bǔ)償后的系統(tǒng)，在不增大觀測(cè)器增益且系統(tǒng)中存在欠補(bǔ)償以及量測(cè)噪聲的前提下，仍可以有效減弱摩擦帶來(lái)的不良影響。

由圖6(a)和圖6(b)可得，位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均存在一個(gè)較大的峰值，該峰值正是系統(tǒng)在換向時(shí)摩擦非線性所引起的位置平頂和速度死區(qū)所導(dǎo)致的。分析表1可得，采用摩擦補(bǔ)償后的系統(tǒng)，其位置跟蹤誤差不超過(guò)0.000 15 rad，速度跟蹤誤差不超過(guò)0.002 5 rad/s，說(shuō)明所設(shè)計(jì)的摩擦補(bǔ)償方案能夠有效降低系統(tǒng)的位置和速度跟蹤誤差，提高系統(tǒng)的低速跟蹤精度。

為了驗(yàn)證所提VGLESO能較好地抑制初始時(shí)刻的峰值現(xiàn)象，對(duì)摩擦補(bǔ)償過(guò)后的系統(tǒng)分別采用LESO和VGLESO進(jìn)行控制，其控制器參數(shù)均為kp=2 500，kd=200，ωo=100，b0=2，r=50。兩種控制方式下的低速跟蹤誤差曲線如圖7所示。

圖7 補(bǔ)償后低速跟蹤誤差

由圖7摩擦補(bǔ)償后系統(tǒng)低速跟蹤誤差曲線可知，與LESO相比，采用VGLESO的控制器由于削弱了初始階段的峰值現(xiàn)象，其初始時(shí)刻的位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均有所減少。

3.2 暫態(tài)響應(yīng)仿真

圖8 位置階躍響應(yīng)

圖9 觀測(cè)器增益變化

由圖8和圖9可知，無(wú)摩擦補(bǔ)償且采用LESO控制方式下的階躍響應(yīng)超調(diào)量為0.006 27 rad，有摩擦補(bǔ)償且采用LESO控制方式的超調(diào)量為0.004 82 rad，而有摩擦補(bǔ)償且采用VGLESO方式下的階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)；采用LESO方式的控制器在1 s時(shí)仍未達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1 rad，而采用VGLESO方式的控制器在0.3 s時(shí)就達(dá)到穩(wěn)態(tài)值1 rad。這是因?yàn)長(zhǎng)ESO在初始階段的觀測(cè)器增益為一較大的常值ωo，從而使系統(tǒng)出現(xiàn)了初始峰值。VGLESO在初始階段選擇了較小的觀測(cè)器增益，然后迅速增大至常值ωo，所以較好地抑制了這一現(xiàn)象，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

4 結(jié) 語(yǔ)

為了抑制摩擦非線性對(duì)直流伺服系統(tǒng)控制性能的影響，本文設(shè)計(jì)了一種基于LuGre模型前饋補(bǔ)償?shù)腣GADRC，在不增大觀測(cè)器增益的前提下，利用LuGre模型對(duì)系統(tǒng)低速區(qū)的摩擦非線性進(jìn)行補(bǔ)償，減弱了低速跟蹤時(shí)產(chǎn)生的“平頂”和“死區(qū)”現(xiàn)象。同時(shí)，本文設(shè)計(jì)的VGLESO，有效地抑制了傳統(tǒng)觀測(cè)器存在的初始峰值問(wèn)題，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。仿真結(jié)果表明，直流伺服系統(tǒng)的低速跟蹤精度明顯提高，位置階躍響應(yīng)快速無(wú)超調(diào)，驗(yàn)證了所提控制方案的有效性。