孫德俊，鄧宇航，朱蘇茜

（南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 南京 210023）

多波束測(cè)深系統(tǒng)是在單波束測(cè)深系統(tǒng)基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，該系統(tǒng)在與航跡垂直的平面內(nèi)一次能發(fā)射出數(shù)十個(gè)乃至上百個(gè)波束，再由換能器接收海底返回的聲波。傳統(tǒng)的單波束測(cè)深系統(tǒng)只能獲得測(cè)量船垂直下方一個(gè)海底深度測(cè)量值。多波束測(cè)深克服了單波束測(cè)深的缺點(diǎn)，在海底平坦的海域內(nèi)，能測(cè)量出以測(cè)量船測(cè)線(xiàn)為軸線(xiàn)且具有一定寬度的全覆蓋水深條帶。本文基于多波束測(cè)深覆蓋寬度模型，對(duì)不同情況下多波束測(cè)深覆蓋寬度及測(cè)線(xiàn)總長(zhǎng)度進(jìn)行研究。

1 問(wèn)題一模型的建立與求解

問(wèn)題一[1]設(shè)定為二維平面背景，與測(cè)線(xiàn)方向垂直的平面和海底坡面的交線(xiàn)構(gòu)成一條與水平面夾角為a 的斜線(xiàn)。運(yùn)用幾何知識(shí)確定海水深度及覆蓋寬度，計(jì)算在海底地形不平坦情況下相鄰條帶的重疊率，建立多波束測(cè)深的覆蓋寬度及相鄰條帶之間重疊率的數(shù)學(xué)模型。

1.1 確定海水深度

在與測(cè)線(xiàn)方向垂直的平面中，以海域中心為原點(diǎn)，以遠(yuǎn)離坡角方向?yàn)檎较?，建立一維數(shù)軸，單位長(zhǎng)度為l0。測(cè)線(xiàn)距中心點(diǎn)處的距離為[n1l0，nIl0]，ni中i 表示測(cè)線(xiàn)編號(hào)，i={1，2，3，…，I}，I=9。設(shè)定海域中心處的測(cè)線(xiàn)編號(hào)為j，則海域中心處海水深度為Dj，通過(guò)測(cè)線(xiàn)距中心處的距離可推算該測(cè)線(xiàn)處海水深度為

其中，xi為第i 根測(cè)線(xiàn)與海域中心測(cè)線(xiàn)的距離，α為海面坡度。

1.2 確定覆蓋寬度

運(yùn)用正弦定理計(jì)算多波束覆蓋寬度，可得

其中，Wi，1、Wi，2分別為第i 根測(cè)線(xiàn)處靠近坡角與遠(yuǎn)離坡角部分的覆蓋寬度，θ 為多波束換能器的開(kāi)角。Wi是第i 根測(cè)線(xiàn)多波束產(chǎn)生的總覆蓋寬度，為Wi，1與Wi，2之和。

1.3 相鄰條帶重疊率

相鄰條帶間的重疊情況如圖1 所示。當(dāng)海底地形不平坦時(shí)，第i 根測(cè)線(xiàn)與前一根測(cè)線(xiàn)覆蓋條帶在海底坡面上投影的長(zhǎng)度為

圖1 相鄰條帶重疊示意

第i 根測(cè)線(xiàn)與前一根測(cè)線(xiàn)條帶的重疊率為

當(dāng)ηi＜0 時(shí)，表示漏測(cè)。

1.4 問(wèn)題一模型的求解

已知多波束換能器的開(kāi)角θ=120°，坡度α=1.5°，海域中心點(diǎn)處海水深度Dj=70 m。測(cè)線(xiàn)距中心點(diǎn)處的距離為[-800，800]，單位長(zhǎng)度為200 m，海域中心處的測(cè)線(xiàn)編號(hào)為5。利用模型可求解出結(jié)果如表1。

表1 問(wèn)題一模型求解結(jié)果

2 問(wèn)題二模型的建立與求解

問(wèn)題二設(shè)定為三維立體海域背景，測(cè)線(xiàn)方向與海底坡面法向量在水平面上投影的夾角為β。建立合適的三維坐標(biāo)系以表示測(cè)量船坐標(biāo)及測(cè)量船在海底坡面上投影點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)點(diǎn)法式，由坡面法向量和坡面上一點(diǎn)確定坡面方程，并由坡面與多波束平面相交得到覆蓋線(xiàn)的方向向量，進(jìn)而計(jì)算覆蓋線(xiàn)與水平面的夾角，最終基于問(wèn)題一的模型求解多波束覆蓋寬度的數(shù)學(xué)模型。

2.1 確定測(cè)量船的坐標(biāo)

以海域中心點(diǎn)垂直向下與海底坡面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，坡面法向量在水平投影方向?yàn)閤 軸正方向，以垂直于x 軸、水平向右為y 軸正方向，以垂直于水平面、豎直向上為z 軸正方向，建立三維坐標(biāo)系，如圖2 所示。

圖2 三維坐標(biāo)系示意

測(cè)量船始終在海平面航行，海平面與海域中心豎直距離為D0，因此測(cè)量船z 軸坐標(biāo)始終為D0。設(shè)定測(cè)量船距海域中心的距離為A，測(cè)線(xiàn)方向與海底坡面法向量在水平面上投影的夾角為β，根據(jù)測(cè)線(xiàn)方向分別在x、y 軸上的投影可得，測(cè)量船x、y 軸坐標(biāo)分別為Acos β、Asin β。

測(cè)量船坐標(biāo)為

2.2 計(jì)算坡面法向量坐標(biāo)

2.3 計(jì)算測(cè)量船處的海水深度

海底坡面過(guò)點(diǎn)（0，0，0），同時(shí)坡面法向量為（1，0，cotα），根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程[2]，可求得坡面方程為

測(cè)量船在坡面上投影點(diǎn)的坐標(biāo)為

由測(cè)量船投影點(diǎn)坐標(biāo)可知，測(cè)量船處海水深度的計(jì)算公式為

2.4 計(jì)算測(cè)量船覆蓋線(xiàn)與水平面的夾角

圖3 測(cè)量船覆蓋線(xiàn)示意

測(cè)量船發(fā)出多波束產(chǎn)生的覆蓋線(xiàn)同時(shí)存在于坡面及多波束所在平面。圖3 中表示多波束產(chǎn)生的覆蓋線(xiàn)方向向量，有

通過(guò)坡面法向量和多波束所在平面法向量可以求得

計(jì)算得到覆蓋線(xiàn)的方向向量為

將式（18）進(jìn)行變換，得到夾角γ，

其中，γ∈[0，π/2]。

2.5 計(jì)算多波束覆蓋寬度

基于問(wèn)題一，可得到三維坐標(biāo)系中覆蓋寬度計(jì)算公式，

2.6 問(wèn)題二模型的求解

若多波束換能器開(kāi)角θ = 120°，坡度α =1.5°，海域中心點(diǎn)處的海水深度D0=120 m，以測(cè)量船距海域中心點(diǎn)處的距離為0.3 海里，測(cè)線(xiàn)方向與坡面法向量夾角β=0°時(shí)為例，求解多波束覆蓋寬度。船與海域中心的距離A=0.3×1 852=555.6 m，測(cè)線(xiàn)方向與坡面法向量夾角β= 0°，由式（19）計(jì)算得到覆蓋線(xiàn)與水平面夾角γ = 0°，由式（20）得多波束覆蓋寬度W=466.09 m。同理可換算測(cè)量船其余位置距海域中心點(diǎn)處的距離，求解出各位置多波束測(cè)深的覆蓋寬度，并進(jìn)行可視化處理，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 覆蓋寬度三維示意

3 問(wèn)題三模型的建立與求解

問(wèn)題三給定了一個(gè)限定邊界的矩形待測(cè)海域，要求設(shè)計(jì)一組測(cè)量長(zhǎng)度最短并滿(mǎn)足約束條件的測(cè)線(xiàn)。首先將待測(cè)海域網(wǎng)格化，并分析不同行駛角度下測(cè)線(xiàn)的覆蓋效率，再通過(guò)算法求解最短測(cè)線(xiàn)的總長(zhǎng)度。

3.1 矩形海域網(wǎng)格化

將海域長(zhǎng)度單位轉(zhuǎn)換為米，矩形海域南北長(zhǎng)3 704 m，東西寬7 408 m。將矩形海域網(wǎng)格化，如圖5 所示。由西向東為x 軸正方向，由南向北為y軸正方向，建立矩形海域水平面坐標(biāo)系。

圖5 矩形海域網(wǎng)格示意

3.2 確定測(cè)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方向

當(dāng)測(cè)量船行駛一定距離時(shí)，通過(guò)多波束測(cè)量，可以形成覆蓋線(xiàn)。這些覆蓋線(xiàn)所圍成的形狀似梯形，其面積計(jì)算公式為

其中，S覆蓋是行駛過(guò)程中測(cè)線(xiàn)所圍成的面積，WA是測(cè)量船起始位置覆蓋線(xiàn)長(zhǎng)度，WB是測(cè)量船行駛距離r 后終止位置覆蓋線(xiàn)長(zhǎng)度，φ 是測(cè)線(xiàn)方向與坡面所形成的線(xiàn)面角。

測(cè)量船行駛相同的距離，覆蓋面積越大，測(cè)量效率越高，測(cè)線(xiàn)覆蓋效率ζ 定義如下：

覆蓋線(xiàn)與水平面形成的線(xiàn)面γ 角計(jì)算公式為

測(cè)線(xiàn)在海底坡面投影線(xiàn)與水平面形成的線(xiàn)面角φ 計(jì)算公式為

聯(lián)立式（20）—（24），并代入多波束開(kāi)角θ =120°，則測(cè)線(xiàn)覆蓋效率公式化簡(jiǎn)為

因海域坡面坡度不變，海域中心處海水深度穩(wěn)定，故α 和D0為常值，測(cè)線(xiàn)覆蓋效率僅與行駛角度即測(cè)線(xiàn)方向與海底坡面法向量在水平面上投影的夾角β 有關(guān)。測(cè)量船行駛角度與測(cè)線(xiàn)覆蓋率函數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)如圖6 所示。

圖6 測(cè)量船行駛角度與測(cè)線(xiàn)覆蓋效率函數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)

由圖6 可知，當(dāng)測(cè)量船行駛角度為90°時(shí)，航行相同的距離，測(cè)量船發(fā)出多波束所覆蓋的面積最大，測(cè)線(xiàn)覆蓋效率最高。

3.3 測(cè)線(xiàn)邊界條件

第一根測(cè)線(xiàn)的邊界條件為

其中，W1，1表示第1 根測(cè)線(xiàn)靠近坡角一側(cè)產(chǎn)生的覆蓋寬度；若W1，1＜x1/cos α，表明最靠近坡角的測(cè)線(xiàn)無(wú)法覆蓋坡角所在邊，產(chǎn)生漏測(cè)。

其余測(cè)線(xiàn)邊界條件為：多波束第i 根測(cè)線(xiàn)覆蓋條帶與第i-1 根測(cè)線(xiàn)覆蓋條帶的重疊率為

綜合考慮測(cè)量效率及覆蓋度，測(cè)線(xiàn)產(chǎn)生覆蓋條帶重疊率應(yīng)為10 %～20 %，即0.1≤ηi≤0.2。

最后一根測(cè)線(xiàn)的邊界條件為

其中，WI，2表示第I 根測(cè)線(xiàn)（最后一根測(cè)線(xiàn)）遠(yuǎn)離坡角一側(cè)產(chǎn)生的覆蓋寬度；若WI，2＜（7 408-xI）/cosα，表明最遠(yuǎn)離坡角的測(cè)線(xiàn)無(wú)法覆蓋坡角所在邊，產(chǎn)生漏測(cè)。

綜上，針對(duì)問(wèn)題三的矩形海域建立測(cè)線(xiàn)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型如下：

3.4 最佳測(cè)線(xiàn)間距離求解

根據(jù)模型建立結(jié)果，測(cè)線(xiàn)規(guī)劃為南北向直線(xiàn)即β=90°時(shí)，矩形海域測(cè)線(xiàn)覆蓋效率最高。根據(jù)上述模型的邊界條件，可采用遍歷搜索法求解測(cè)線(xiàn)間距。測(cè)線(xiàn)布設(shè)求解結(jié)果如圖7 所示。

圖7 問(wèn)題3 測(cè)線(xiàn)布設(shè)求解結(jié)果

由西到東，海水深度逐漸變小。由圖7 可知，自西向東測(cè)線(xiàn)之間的間距逐漸減小，測(cè)線(xiàn)越來(lái)越密集，同時(shí)測(cè)線(xiàn)間距下降幅度也逐漸減小。

行駛角度為90°時(shí)，共有34 條測(cè)線(xiàn)，則總測(cè)線(xiàn)長(zhǎng)度為L(zhǎng)=34×3 704=125 936 m。

4 問(wèn)題四模型的建立與求解

根據(jù)問(wèn)題三的結(jié)論，當(dāng)測(cè)線(xiàn)與等深線(xiàn)平行時(shí)，測(cè)線(xiàn)覆蓋效率最高。因此，針對(duì)該題盡量沿著與等深線(xiàn)平行方向研究并設(shè)計(jì)測(cè)線(xiàn)分布方案。

4.1 克里格插值法補(bǔ)充缺失數(shù)據(jù)

由于在同一海域中，海水深度具有較強(qiáng)的空間自相關(guān)性，因此采用克里格插值法[3]對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充，原理見(jiàn)圖8。

圖8 插值補(bǔ)充缺失數(shù)據(jù)示意

缺失數(shù)據(jù)計(jì)算公式為

式中，Dx為所求點(diǎn)的海水深度，D1—D4分別為距離所求點(diǎn)最近的已知深度數(shù)據(jù)，d1—d4為已知點(diǎn)到所求點(diǎn)的距離。

4.2 分析矩形海域海底情況

圖9 為海水深度的等深線(xiàn)。圖9 顯示，該海域西南部分地勢(shì)較高，東南部分地勢(shì)較低，海域西南至東北方向呈U 型，東南部分的等深線(xiàn)近似平行。

圖9 海水深度等深線(xiàn)

考慮測(cè)量效率，測(cè)線(xiàn)的方向宜平行于等深線(xiàn)的方向[4]。對(duì)于該海域依照等深線(xiàn)分布劃分區(qū)域，分別討論劃分區(qū)域的測(cè)線(xiàn)布設(shè)，具體布設(shè)如圖10所示。以西南至東北方向的連線(xiàn)作為分界線(xiàn)，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，等深線(xiàn)為U 型時(shí)，測(cè)線(xiàn)為相互垂直的兩條直線(xiàn)。當(dāng)測(cè)線(xiàn)掃描完?yáng)|北角后，測(cè)線(xiàn)布設(shè)為相互平行的直線(xiàn)。

圖10 測(cè)線(xiàn)布設(shè)示意

基于問(wèn)題三的模型，當(dāng)β=90°且測(cè)線(xiàn)靠近矩形海域邊緣時(shí)，采用遍歷搜索得到起始測(cè)線(xiàn)的橫軸坐標(biāo)為41 m。

4.3 起始測(cè)線(xiàn)布設(shè)多目標(biāo)規(guī)劃模型建立

目標(biāo)函數(shù)為：

1）測(cè)線(xiàn)掃描所形成的條帶盡量覆蓋整個(gè)待測(cè)海域，即漏測(cè)區(qū)域面積S漏盡可能??；

2）測(cè)量船掃過(guò)面積S覆蓋最大；

3）測(cè)線(xiàn)盡量沿著海域等深線(xiàn)布設(shè)。

約束條件為：

1）起始測(cè)線(xiàn)的起點(diǎn)在x 軸上；

3）測(cè)線(xiàn)重疊率η 盡量不超過(guò)20 %。

綜上，建立研究海域起始測(cè)線(xiàn)布設(shè)多目標(biāo)規(guī)劃模型為：

其中，Δd 表示移動(dòng)前后海水深度的變化，Δr 表示測(cè)量船行駛的單位距離。

4.4 網(wǎng)格化求解覆蓋寬度

由于海水深度不規(guī)律，需要網(wǎng)格化求解覆蓋寬度，幾何關(guān)系如圖11 所示。

圖11 網(wǎng)格化求解的幾何關(guān)系示意

設(shè)船在測(cè)線(xiàn)上某一位置的坐標(biāo)為（x，y），測(cè)線(xiàn)行駛角度為β，定義網(wǎng)格大小為Δx，則在多波束上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（xk，yk），

根據(jù)克里格插值法，可得某一坐標(biāo)的海水深度為D（x，y）。設(shè)多波束開(kāi)角θ=120°，當(dāng)多波束上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足

即該點(diǎn)剛好落在海底面上，則船在該坐標(biāo)點(diǎn)的覆蓋寬度為

4.5 問(wèn)題四模型求解

測(cè)線(xiàn)布設(shè)如圖12 所示，其中黑實(shí)線(xiàn)為測(cè)線(xiàn)航跡，虛線(xiàn)下方為漏測(cè)寬度，上方為可覆蓋寬度。由圖12 可知，漏測(cè)面積近似為三角形面積。

圖12 問(wèn)題四測(cè)線(xiàn)布設(shè)

1）測(cè)線(xiàn)最佳偏移角度求解

根據(jù)上述測(cè)線(xiàn)布設(shè)方案，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，計(jì)算測(cè)線(xiàn)偏移不同角度時(shí)的單位海洋深度差來(lái)衡量測(cè)線(xiàn)布設(shè)與海洋等深線(xiàn)的契合度。當(dāng)起始位置為（41，0），測(cè)線(xiàn)與x 軸偏移角度為74°時(shí)，單位距離的海洋深度差最小，即與海洋等深線(xiàn)最接近。

2）測(cè)線(xiàn)間距求解

在得到最佳起始位置和偏移角度后，為使總測(cè)線(xiàn)長(zhǎng)度最小，各測(cè)線(xiàn)在滿(mǎn)足重疊率的要求下，要使測(cè)線(xiàn)間距最大。沿用問(wèn)題三的求解模型，設(shè)定搜索步長(zhǎng)為Δl=5 m。

將得到的測(cè)線(xiàn)間距帶入網(wǎng)格化處理模型，可計(jì)算得相關(guān)指標(biāo)結(jié)果如表2。

由表2 可知，重疊率超過(guò)20 %的測(cè)線(xiàn)長(zhǎng)度占比較高，而漏測(cè)海區(qū)占待測(cè)海域總面積的比例較低。