趙柯昕，甘慶波，*，劉靜

1．中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家天文臺(tái)，北京 100101

2．國(guó)家航天局 空間碎片監(jiān)測(cè)與應(yīng)用中心，北京 100101

3．中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)相比于傳統(tǒng)地基監(jiān)測(cè)具有全天時(shí)、全天候、靈活機(jī)動(dòng)等優(yōu)勢(shì)，受到了國(guó)內(nèi)外極大的關(guān)注。20世紀(jì)90年代到21世紀(jì)初，美國(guó)實(shí)施了多個(gè)空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)技術(shù)試驗(yàn)項(xiàng)目，包括中段空間試驗(yàn)衛(wèi)星（Midcourse Space Experimen， MSX）［1］、試 驗(yàn) 衛(wèi) 星 系 統(tǒng)10/11（Experimental Satellite System 10/11， XSS-10/11）、微衛(wèi)星技術(shù)試驗(yàn)A/B等（Microsatellite Technology Experiment A/B， MiTex-A/B），演示驗(yàn)證了低、高軌天基空間目標(biāo)監(jiān)視任務(wù)，囊括普查和精測(cè)技術(shù)，極大地推動(dòng)了天基空間態(tài)勢(shì)感知技術(shù)的發(fā)展進(jìn)程［2-3］。

2009年太空跟蹤與監(jiān)視系統(tǒng)先進(jìn)技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)降低衛(wèi)星（Space Tracking and Surveillance System Advanced Technology Risk Reduction satellite， STSS-ATRR）發(fā)射入軌，是典型的特定目標(biāo)監(jiān)視衛(wèi)星，用于驗(yàn)證跟蹤導(dǎo)彈能力［4］。2010年天基監(jiān)視系統(tǒng)-1（Space-Based Surveillance System-1， SBSS-1）衛(wèi)星成功發(fā)射，標(biāo)志著空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)正式進(jìn)入天基時(shí)代［5］。預(yù)計(jì)將美國(guó)的空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)能力提高50%，可以覆蓋高中低軌道的各類(lèi)衛(wèi)星或?qū)椖繕?biāo)，并具有對(duì)特定目標(biāo)的探測(cè)能力。2014年2顆地球同步軌道空間態(tài)勢(shì)感知計(jì)劃（Geosynchronous Space Situational Awareness Program， GSSAP）衛(wèi) 星和評(píng)估局部空間自主守衛(wèi)納衛(wèi)星（ARGOS Neo on a Generic Economical and Light Satellite，ANGELS）發(fā)射入軌。2016年剩余2顆GSSAP衛(wèi)星以及第2顆ANGELS發(fā)射升空。由此GSSAP衛(wèi)星正式完成組網(wǎng)，該星座大幅提高了美國(guó)對(duì)GEO目標(biāo)的持續(xù)監(jiān)測(cè)和抵近偵察能力［6-7］。ANGELS是位于同步軌道具有較強(qiáng)機(jī)動(dòng)能力的微衛(wèi)星，可實(shí)現(xiàn)對(duì)地球同步軌道（Geostationary Orbit， GEO）目 標(biāo) 抵 近 偵 察［8］。2014年投用的藍(lán)寶石（Sapphire）衛(wèi)星專(zhuān)門(mén)用于對(duì)高軌空間目標(biāo)進(jìn)行跟蹤監(jiān)測(cè)，并為空間態(tài)勢(shì)感知提 供 數(shù) 據(jù) 服 務(wù)［9］。操 作 響 應(yīng) 空 間-5（Operationally Responsive Space-5， ORS-5）衛(wèi)星于2017年發(fā)射入軌，能夠從低地球軌道（Low Earth Orbit， LEO）掃描GEO帶，協(xié)助跟蹤GEO上衛(wèi)星與空間碎片［10］。此外商業(yè)衛(wèi)星公司和研究機(jī)構(gòu)也積極參與空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)任務(wù)。2013和2014年Livermore實(shí)驗(yàn)室發(fā)射了2顆天基空間目標(biāo)星歷改進(jìn)（Space-based Telescopes for the Actionable Refinement of Ephemeris A/B，STARE A/B）衛(wèi)星，通過(guò)對(duì)危險(xiǎn)交會(huì)目標(biāo)近距離監(jiān)測(cè)以降低危險(xiǎn)交會(huì)的虛警率［11］。

從以往項(xiàng)目看，空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)任務(wù)以光學(xué)設(shè)備為主要載荷，以獲得更多更精確的空間編目數(shù)據(jù)為首要指標(biāo)。天基自主空間目標(biāo)的軌道和信息確定是實(shí)現(xiàn)天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ)，其中初軌確定是一切監(jiān)測(cè)活動(dòng)的前提。

天基空間目標(biāo)初軌確定具有2個(gè)基本特征：觀測(cè)弧段短和數(shù)學(xué)奇點(diǎn)（平凡解）問(wèn)題。針對(duì)這些特征國(guó)內(nèi)外近些年都有相關(guān)研究，提出了多種求解方法。2007年筆者等［12］指出了Laplace定軌方法在天基監(jiān)測(cè)中收斂到觀測(cè)平臺(tái)本身的現(xiàn)象，并給出了一類(lèi)求解方法，但是文中對(duì)一些描述并不清晰，定軌方法的適用范圍和精度存在局限。2009年南京大學(xué)劉林和張?。?3］確認(rèn)了改進(jìn)Laplace方法收斂到觀測(cè)平臺(tái)這一現(xiàn)象。之后國(guó)防科技大學(xué)劉光明等［14-16］給出了一些基于最優(yōu)化方法的解法，這類(lèi)方法較難以應(yīng)用于普適的天基初軌確定中，計(jì)算效率、穩(wěn)定性以及置信程度在工程應(yīng)用中具有局限性。2014年武漢大學(xué)桑吉章等［17］給出了一種類(lèi)似Gooding方法的基于距離搜索初軌確定方法，而Gooding類(lèi)型方法都要面臨距離初值選取問(wèn)題。從測(cè)試結(jié)果上看，如果初值選擇不合理該類(lèi)型方法也會(huì)收斂到平臺(tái)自身軌道。

針對(duì)天基光學(xué)平臺(tái)監(jiān)測(cè)空間目標(biāo)的初軌確定問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。通過(guò)構(gòu)建Laplace法的八次方程，分析了空間目標(biāo)、觀測(cè)平臺(tái)和地心的相對(duì)位置與方程系數(shù)和根的性質(zhì)之間的關(guān)系。對(duì)天基初軌確定收斂到平凡解的問(wèn)題給出了數(shù)學(xué)表征和解決方法。對(duì)Gooding法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種可適用于天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)的初軌確定方法和流程。利用低軌目標(biāo)監(jiān)測(cè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和高軌目標(biāo)監(jiān)測(cè)的仿真數(shù)據(jù)對(duì)方法進(jìn)行了校驗(yàn)。最后對(duì)未來(lái)天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)的發(fā)展提出了長(zhǎng)遠(yuǎn)建議。

1 初軌確定的平凡解問(wèn)題及解法

1.1 Laplace八次方程

典型的空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)問(wèn)題指的是在一個(gè)時(shí)間序列ti(i=1，2，…，n）下，具有地心位置矢量Ri的地基或天基平臺(tái)觀測(cè)到目標(biāo)，并提取出目標(biāo)相對(duì)平臺(tái)的方向矢量Li，由此來(lái)確定空間目標(biāo)的軌道參數(shù)。單次觀測(cè)時(shí)刻的空間目標(biāo)、地基或天基觀測(cè)平臺(tái)和地心構(gòu)成了三角幾何，如圖1所示。

圖1 地基與天基目標(biāo)監(jiān)測(cè)幾何構(gòu)型Fig. 1 Geometrical configuration of ground-based and space-based space surveillance

空間目標(biāo)單次觀測(cè)的幾何構(gòu)型為

其一階、二階的導(dǎo)數(shù)分別為

空間目標(biāo)的短弧運(yùn)動(dòng)方程遵循Kepler運(yùn)動(dòng)：

式中：μ為地球引力常數(shù)；r為目標(biāo)的地心距離。將式（5）代入式（3）中，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得中間觀測(cè)時(shí)刻斜距ρ2為

式中：

其中：R2為中間觀測(cè)時(shí)刻觀測(cè)平臺(tái)的地心距離、μ為地球引力常數(shù)，其他符號(hào)定義如下：

Laplace法利用式（8）獲得空間目標(biāo)在定軌時(shí)刻的位置與速度矢量初值即r0與r?0，求解斜距和斜距變率ρ0與ρ?0，最終求解出軌道根數(shù)。

1.2 天基目標(biāo)監(jiān)測(cè)初軌確定的平凡解及消去

1.2.1 八次方程根的性質(zhì)

八次方程包含了空間目標(biāo)和觀測(cè)平臺(tái)的位置、速度和加速度等信息。方程中的系數(shù)取決于地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)的相對(duì)位置。因此，方程根的性質(zhì)也取決于三者的相對(duì)位置關(guān)系。方程（6）系數(shù)與根的性質(zhì)可以總結(jié)為：①系數(shù)A和C是恒負(fù)的；②系數(shù)B可能是正的也可能是負(fù)的；③系數(shù)B<0時(shí)，方程存在1個(gè)正實(shí)根、1個(gè)負(fù)實(shí)根和6個(gè)虛根；④系數(shù)B>0時(shí)，方程存在至多3個(gè)正實(shí)根、1個(gè)負(fù)實(shí)根和虛根。

地基初軌確定過(guò)程中，可以證明該情況下系數(shù)B<0，八次方程只會(huì)存在1個(gè)正實(shí)根。而在天基初軌過(guò)程中，八次方程往往會(huì)存在3個(gè)正實(shí)根，其中一個(gè)根為代表觀測(cè)平臺(tái)軌道的平凡解，可以利用1.2.2節(jié)的方法去除，但還會(huì)存在至多2個(gè)使得斜距量有意義的根，即非偽解。由Charlier提出的非偽解個(gè)數(shù)條件方程［18-19］，將距離量使用測(cè)站的地心距進(jìn)行歸一化后，進(jìn)一步可以得到空間目標(biāo)在不同相對(duì)位置時(shí)對(duì)應(yīng)八次方程擁有不同非偽解數(shù)量的示意圖，如圖2所示。圖中分界線(xiàn)ρ2=r2+2 3r3?5 3和以地心為圓心以觀測(cè)時(shí)刻觀測(cè)平臺(tái)地心距R為半徑的圓可以將空域分為A、B、C和D 4個(gè)區(qū)域。當(dāng)空間目標(biāo)位于區(qū)域A和C時(shí)，求解方程會(huì)得到2個(gè)非偽解。空間目標(biāo)位于區(qū)域B和D時(shí)，方程僅會(huì)得到1個(gè)非偽解。

圖2 非偽解個(gè)數(shù)與地心、觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)三者相對(duì)位置的關(guān)系Fig. 2 Relationship between number of non-spurious so?lutions and geometrical configuration of geocen?ter， observation platform and space target

1.2.2 天基定軌中的平凡解問(wèn)題

從觀測(cè)幾何構(gòu)型來(lái)看，天基和地基定軌不存在本質(zhì)區(qū)別，即式（1）是一致的，而在利用類(lèi)Laplace法進(jìn)行定軌時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)結(jié)果收斂到觀測(cè)平臺(tái)軌道的情況。這其中主要是因?yàn)槭剑?），空間目標(biāo)的短弧運(yùn)動(dòng)方程基本遵循Kepler運(yùn)動(dòng)（以下公式中使用下標(biāo)0表示定軌歷元時(shí)刻）：

式（3）右邊的R?代表觀測(cè)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)觀測(cè)平臺(tái)位于地面上時(shí)，R?遵循的是地球表面測(cè)站的運(yùn)動(dòng)［18］：

而當(dāng)觀測(cè)平臺(tái)被發(fā)射入軌后，R?則遵循與空間目標(biāo)一樣的Kepler運(yùn)動(dòng)：

式中：R0為觀測(cè)平臺(tái)的地心距離。

由此進(jìn)行歸一化后，原八次方程出現(xiàn)一個(gè)公因子(r0?R0)，則式（7）可表示為

因此迭代計(jì)算時(shí)會(huì)收斂到如下平凡解：

將式（15）代入式（1），得到的解是觀測(cè)平臺(tái)自身的軌道參數(shù)，這就是天基定軌中出現(xiàn)收斂到觀測(cè)平臺(tái)軌道的本因。所以在天基初軌確定中，首先要提前消去平凡解消去。

1.2.3 消去平凡解的七次方程及求解

經(jīng)過(guò)消除平凡解操作后，原八次方程降階為七次方程為式（14），可利用牛頓迭代法進(jìn)行求解：

式中：r0k為r0迭代第k次的值，經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算得到初值r0，從而可以得到空間目標(biāo)的斜距與斜距變率的估計(jì)值：

由此利用式（1）與式（2）就可以獲得定軌時(shí)刻空間目標(biāo)的位置和速度。

1.2.4 方法的適用性和精度

1.2.1~1.2.3節(jié)所述的方法本質(zhì)上還是Laplace型的，其特點(diǎn)是對(duì)平凡解進(jìn)行了消除，對(duì)初值的敏感度不高。從仿真結(jié)果來(lái)看，對(duì)高中低軌目標(biāo)，初值設(shè)置為1倍地球半徑時(shí)，都會(huì)收斂到真解附近。但是該方法也存在局限性：①面對(duì)超短弧段，定軌結(jié)果并不理想，在低軌觀測(cè)弧段不足1 min，高軌弧段低于10 min的情況，定軌精度都很差；②如果觀測(cè)資料稀疏，造成對(duì)方向矢量的擬合精度太差，也會(huì)使得方法得到不理想的解［12］。

2 適合稀疏點(diǎn)資料天基定軌方法

1975年 及1993年，Gooding［20］在 基 于 其 對(duì)Lambert問(wèn)題求解方法研究，并受到Escobal［21］提出的雙r迭代算法的影響，提出了一類(lèi)基于距離搜索的初軌確定方法。Gooding法適用于各種軌道，具有很好的收斂特性，近年來(lái)應(yīng)用較多。著名的衛(wèi)星工具包軟件STK的定軌模塊ODTK和法國(guó)Orekit軟件包也使用了該方法。Vallado［22］對(duì)Gooding法應(yīng)用于天基監(jiān)測(cè)的效果也做了數(shù)值仿真。

2.1 Gooding方法原理

求解Lambert問(wèn)題確定人造衛(wèi)星的初始軌道非常適用于雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)。雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)一般可以直接獲得方位角、俯仰角和相對(duì)偽距。通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以獲得空間目標(biāo)在觀測(cè)時(shí)刻的地心位置矢量，從而建立Lambert方程直接求解觀測(cè)首末時(shí)刻的位置與速度。然而利用光學(xué)望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)時(shí)獲得的是測(cè)角資料，缺少相對(duì)距離信息，因此需要進(jìn)行大量迭代計(jì)算求解。以三次方向觀測(cè)為定軌最小原型，詳述基于Lambert問(wèn)題的測(cè)角資料的初軌確定方法。

首先定義三次方向觀測(cè)量：

3個(gè)量分別是觀測(cè)時(shí)刻t、赤經(jīng)α和赤緯δ，下標(biāo)為觀測(cè)次序。算法的基本流程是：利用第1次和第3次觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建Lambert方程，以第2次觀測(cè)為外復(fù)合判斷標(biāo)準(zhǔn)。因此在第1次和第3次觀測(cè)之間建立Kepler無(wú)攝運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到的軌道能和第2次觀測(cè)量最佳逼近。將該問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榈?和第3觀測(cè)時(shí)刻相對(duì)斜距變量的尋優(yōu)問(wèn)題。

可以采用微分改進(jìn)法構(gòu)建具體算法。定義微分改進(jìn)量為第1和第3次觀測(cè)時(shí)刻的相對(duì)斜距變量(ρ1，ρ3)。目標(biāo)函數(shù)為第2次觀測(cè)時(shí)刻由計(jì)算得到的位置矢量r2o和實(shí)測(cè)的位置矢量r2c重合，即

式中：f、g是以(ρ1，ρ3)為變量的，即

(f，g)為r2c在垂直r2o相平面上的2個(gè)分量。顯然當(dāng)(f，g)=(0，0)時(shí)，計(jì)算得到的位置矢量與觀測(cè)矢量為最佳逼近狀態(tài)。由于法向沒(méi)有距離觀測(cè)信息，因此不做第3個(gè)條件方程。

一個(gè)簡(jiǎn)單的方式是利用牛頓迭代法求解，具體推導(dǎo)過(guò)程如下：

從而得到改正量：

顯然這是一個(gè)線(xiàn)性迭代過(guò)程，如果需要提高精度也可以采用高階進(jìn)行改進(jìn)。即由牛頓線(xiàn)性迭代拓展為二階泰勒展開(kāi)：

進(jìn)行迭代計(jì)算直到滿(mǎn)足收斂條件。其中fx、gx、fx、gx分別 為f、g對(duì)變 量x或g的一階偏導(dǎo)數(shù)；fxx、fxy、fyy、gxx、gxy、gyy分別為f、g對(duì)變量x或g的二階偏導(dǎo)數(shù)。

常規(guī)Gooding法中得到目標(biāo)地心距后再通過(guò)Lambert方程可以獲得中間時(shí)刻的速度矢量，由此直接求解出6個(gè)軌道根數(shù)。而實(shí)際上，在迭代過(guò)程中已經(jīng)獲得了3個(gè)時(shí)刻地心位置矢量，由于隨著微分階數(shù)上升而計(jì)算精度下降，之后獲得的速度矢量精度并不高，且初軌確定又是短弧段定軌問(wèn)題，因此可以使用三矢量定軌算法，也就是Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法［22］。

2.2 利用三矢量定軌算法方法改進(jìn)

經(jīng)過(guò)以上過(guò)程，可以相對(duì)精確地獲得3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的位置矢量(t1；r1)、(t2；r2)和(t3；r3)。下一步采用Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法確定目標(biāo)速度矢量。

Gibbs方法是直接由3個(gè)位置矢量經(jīng)過(guò)變換得到第2觀測(cè)時(shí)刻速度矢量的分析解［22］：

式中：

而Herrick-Gibbs方法采用了以時(shí)間展開(kāi)的方法［22］：

當(dāng)觀測(cè)弧段的地心張角超過(guò)1°，采用Gibbs方法，如果小于1°，則采用Herrick-Gibbs方法。

該方法的特點(diǎn)是收斂性好，適用于各種類(lèi)型的軌道。但是該方法依然存在距離搜索初值選擇的問(wèn)題，在初值提供不準(zhǔn)確以及弧段超短的情況下，定軌依然會(huì)出現(xiàn)收斂到平臺(tái)軌道或者不收斂的情況，這從Lambert問(wèn)題的定義不難理解，從Vallado［22］的仿真計(jì)算結(jié)果也說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。因此可以采用第1節(jié)中介紹的消去平凡解的方法求出初值，再利用第2節(jié)提出的流程進(jìn)行迭代求解。

3 實(shí)測(cè)與仿真數(shù)值驗(yàn)證

3.1 低軌天基平臺(tái)觀測(cè)定軌

采集某光學(xué)衛(wèi)星對(duì)某空間目標(biāo)的觀測(cè)圖像，3次采樣的中心時(shí)刻點(diǎn)、觀測(cè)平臺(tái)地心位置矢量和觀測(cè)數(shù)據(jù)平滑結(jié)果如表1所示，角度測(cè)量精度為10?。觀測(cè)時(shí)刻使用簡(jiǎn)約儒略日（Modified Julian Date， MJD）表示。距離量的單位為地球半徑REarth=6 378.14 km。測(cè)角數(shù)據(jù)和觀測(cè)平臺(tái)位置矢量都位于J2000地心天球坐標(biāo)系下。

由表1中數(shù)據(jù)以式（7）形式構(gòu)建八次方程，方程系數(shù)分別為A=?35.882 525，B=88.510 190，C=?56.428 083。求解該方程所得8個(gè)根：1.083 742 08，1.093 472 53，5.955 225 33，?6.024 001 75，?0.588 654 67+0.874 109 39i，?0.588 654 67?0.874 109 39i，?0.465 564 43+0.989 148 32i，?0.465 564 43?0.989 148 32i。

共有3個(gè)正實(shí)根，1個(gè)負(fù)實(shí)根和4個(gè)虛根。Vallado［22］指出代表目標(biāo)真實(shí)軌道的根是3個(gè)正實(shí)根中的一個(gè)，而該方程存在多個(gè)使得斜距有意義的根，真解的選擇較為困難。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步計(jì)算，3個(gè)正實(shí)根對(duì)應(yīng)3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的斜距量如表2所示。

利用1.2節(jié)的方法構(gòu)建七次方程求解，可以去除代表觀測(cè)平臺(tái)軌道的根，即第1個(gè)正實(shí)根。而在低軌觀測(cè)平臺(tái)觀測(cè)低軌目標(biāo)時(shí)，斜距不應(yīng)過(guò)大，可以去除第3個(gè)正實(shí)根。因此，可以得到真解為r0=1.903 472 53。

為了直觀的觀察原八次方程和降階后七次方程根的情況，分別繪制了f(r)和隨r的變化趨勢(shì)，如圖3所示。圖3（a）為r/REarth從?10變化到10的情況，圖3（b）為f(r)和在0附近放大的情況。實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別為八次方程f(r)和七次方程的變化趨勢(shì)，點(diǎn)劃線(xiàn)為f(r)=0的直線(xiàn)。

表1 低軌平臺(tái)觀測(cè)低軌目標(biāo)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Table 1 Actual measurements from LEO observation platform to LEO target

表2 正實(shí)根所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)時(shí)刻斜距值Table 2 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

圖3 LEO f(r)和隨r/REarth變化趨勢(shì)Fig. 3 Trend off(r) andwithr/REarthof LEO

由此可以直觀的發(fā)現(xiàn)，原八次方程在r=1附近存在2個(gè)十分接近的根，而七次方程則可以消去平凡解，在r=1附近僅有1個(gè)根，避免后續(xù)計(jì)算收斂到觀測(cè)平臺(tái)軌道。

使用求解出的斜距作為Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空間目標(biāo)在中間觀測(cè)時(shí)刻的Kepler軌道根數(shù)為

式中：a、e、i、Ω、ω、M分別為軌道半長(zhǎng)軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和平近點(diǎn)角。

為進(jìn)一步分析本方法的性能，選取不同的斜距作為Gooding法的初值，考察迭代次數(shù)和最終收斂到的斜距值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 LEO目標(biāo)不同斜距的迭代次數(shù)和收斂結(jié)果Table 3 Iterations and convergence results of LEO target corresponding to different slant-ranges

由此可以看出，當(dāng)初值選擇與真實(shí)情況偏差較大時(shí)，計(jì)算結(jié)果會(huì)收斂到觀測(cè)平臺(tái)自身軌道或錯(cuò)解。當(dāng)選擇初值在真實(shí)軌道附近時(shí)，則會(huì)收斂到相同的軌道，但與真實(shí)軌道相差越遠(yuǎn)所需要迭代的次數(shù)越多。從低軌觀測(cè)平臺(tái)觀測(cè)低軌目標(biāo)的情況來(lái)看，使用消去平凡解方程計(jì)算出的初值可以有效的避免Gooding法收斂到觀測(cè)平臺(tái)自身軌道和偽解的情況，同時(shí)可以使用最少的迭代次數(shù)收斂到正確軌道。

3.2 高軌天基平臺(tái)觀測(cè)定軌

利用同步軌道平臺(tái)觀測(cè)空間目標(biāo)，特別是觀測(cè)同步軌道衛(wèi)星，近些年越來(lái)越受到關(guān)注。由于沒(méi)有實(shí)測(cè)資料，采用仿真光學(xué)觀測(cè)數(shù)據(jù)。觀測(cè)平臺(tái)和空間目標(biāo)軌道外推考慮了J2攝動(dòng)、太陽(yáng)和月球引力攝動(dòng)的影響。截取了仿真數(shù)據(jù)中間隔10 min的3個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)角度量增加了5?的隨機(jī)誤差，使用的仿真數(shù)據(jù)如表4所示。

使用表4數(shù)據(jù)構(gòu)建八次方程，方程系數(shù)分別為A=?5 105.372，B=2 727 175.455，C=?367 101 221.891。求解該方程所得8個(gè)根分別為：6.427 777 89，6.499 000 30，71.399 459 37，?71.399 459 37，?3.384 905 13+5.404 027 43i，?3.384 905 13?5.404 027 43i，?3.026 168 26+5.759 754 17i，?3.026 168 26?5.759 754 17i。同樣共有3個(gè)正實(shí)根，1個(gè)負(fù)實(shí)根和4個(gè)虛根。3個(gè)正實(shí)根所對(duì)應(yīng)的3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的斜距量如表5所示。

表4 GEO平臺(tái)觀測(cè)GEO目標(biāo)的仿真數(shù)據(jù)Table 4 Simulation measurements from GEO observation platform to GEO target

表5 正實(shí)根所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)時(shí)刻斜距值Table 5 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

利用1.2節(jié)操作可以去除第1個(gè)正實(shí)根，而第3個(gè)正實(shí)根對(duì)應(yīng)的斜距太大不符合條件，由此可以選擇出第2個(gè)正實(shí)根為所需要的代表目標(biāo)真實(shí)情況的根。

同樣分別繪制了f(r)和隨r變化的趨勢(shì)，如圖4所示。圖4（a）為r從?10變化 到10的情況，圖4（b）為f(r)和在0附近放大的情況。實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別為八次方程f(r)和七次方程的變化趨勢(shì)，點(diǎn)劃線(xiàn)為f(r)=0的直線(xiàn)。

由此可以直觀的發(fā)現(xiàn)，原八次方程在r=6.5附近存在2個(gè)根，而七次方程則可以消去平凡解，使得在此附近僅存在1個(gè)根，避免了后續(xù)計(jì)算收斂到觀測(cè)平臺(tái)軌道。且由八次方程和七次方程所得的真解差別很小，也保證了計(jì)算精度。

使用求解出的斜距作為Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空間目標(biāo)在中間觀測(cè)時(shí)刻的Kepler軌道根數(shù)為

圖4 GEOf(r)和隨r/REarth變化趨勢(shì)Fig. 4 Trend off(r) andwithr/REarthof GEO

選取不同的斜距作為Gooding法的初值，考察迭代次數(shù)和最終收斂的結(jié)果，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

由此可以看出，當(dāng)初值比真實(shí)情況差別較大時(shí)，同樣會(huì)導(dǎo)致結(jié)果收斂到觀測(cè)平臺(tái)本身，而使用本文的初值選擇方法，不僅可以避免此類(lèi)情況的發(fā)生，還可以將迭代次數(shù)降至最小。

表6 GEO目標(biāo)不同斜距的迭代次數(shù)和收斂結(jié)果Table 6 Iterations and convergence results of GEO target corresponding to different slant-ranges

從總體定軌情況來(lái)看，結(jié)果是較滿(mǎn)意的。低軌平臺(tái)天基監(jiān)測(cè)定案例雖然使用的弧段較長(zhǎng)，但是采用了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，定軌結(jié)果較有說(shuō)服力。高軌監(jiān)測(cè)平臺(tái)仿真案例采用了10 min弧段，高軌對(duì)高軌的監(jiān)視依然能快速收斂到標(biāo)稱(chēng)軌道參數(shù)附近，說(shuō)明本文方法具有良好的性能。

4 天基定軌流程

從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)校驗(yàn)的結(jié)果上看，平凡解去除方法和Gooding方法可以做到互補(bǔ)。在短弧資料情況下，可以利用消去平凡解的方法獲得第1和第3時(shí)刻斜距，作為Gooding法的初值進(jìn)行計(jì)算，最后利用Gibbs法或Herrick-Gibbs法得到軌道參數(shù)。具體流程如下：

步驟1 基于光學(xué)望遠(yuǎn)鏡拍攝的空間目標(biāo)圖像，經(jīng)過(guò)平滑和擬合等操作，提取出預(yù)處理后的角度測(cè)量值。

步驟2 以時(shí)間跨度長(zhǎng)和圖像成像質(zhì)量好為標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)選出首末觀測(cè)時(shí)刻和中間觀測(cè)時(shí)刻的角度測(cè)量值。

步驟3 利用觀測(cè)值構(gòu)建消去平凡解的七次方程，求解該方程并選擇出正確的解，經(jīng)計(jì)算得到選取的觀測(cè)時(shí)刻目標(biāo)斜距值。

步驟4 將計(jì)算得到的目標(biāo)斜距值作為Gooding方法的初值進(jìn)行迭代，求解得到3個(gè)觀測(cè)時(shí)刻空間目標(biāo)的地心距離。

步驟5 根據(jù)觀測(cè)弧段長(zhǎng)度選擇Gibbs或Herrick-Gibbs方法進(jìn)行改進(jìn)，得到定軌時(shí)刻目標(biāo)速度，最后計(jì)算目標(biāo)的軌道根數(shù)。

5 天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)發(fā)展建議

天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)在具備良好初軌算法的基礎(chǔ)上可以實(shí)現(xiàn)自主的空間目標(biāo)編目，并能獲得更實(shí)時(shí)、更高精度、更高維度信息的能力?，F(xiàn)對(duì)天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)提出幾點(diǎn)展望與建議：

1）泛在組網(wǎng)監(jiān)測(cè)

在近地軌道上廣泛分布著光學(xué)衛(wèi)星，這些衛(wèi)星中相當(dāng)一部分衛(wèi)星具有對(duì)空間目標(biāo)成像的能力，如果能提前規(guī)劃，將自動(dòng)構(gòu)成一張泛在的空間目標(biāo)監(jiān)視網(wǎng)絡(luò)。

2） 基于軟件定義網(wǎng)絡(luò)的彈性空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)

軟 件 定 義 網(wǎng) 絡(luò)（Software Definition Network，SDN）近年來(lái)在信息科學(xué)領(lǐng)域逐漸興起并應(yīng)用。同樣，對(duì)于天基泛在網(wǎng)絡(luò)，也可采用SDN技術(shù)，按需重構(gòu)天基監(jiān)測(cè)功能與任務(wù)，得到定制的產(chǎn)品，如軌道、特征以及行為意圖等。

3） 人工智能優(yōu)化調(diào)度與信息關(guān)聯(lián)

天基監(jiān)視無(wú)論是個(gè)體還是泛在網(wǎng)絡(luò)，都將獲得大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，人工智能算法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)、發(fā)現(xiàn)新目標(biāo)或異常目標(biāo)、對(duì)任務(wù)的規(guī)劃調(diào)度都將發(fā)揮重要的作用。

4） 面向更實(shí)時(shí)更高精度更高維度信息邊緣計(jì)算

空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)不滿(mǎn)足于目標(biāo)軌道參數(shù)的認(rèn)知以及編目庫(kù)的定期維護(hù)與更新，必將追求更實(shí)時(shí)、更高維度特征信息（姿態(tài)、材質(zhì)、來(lái)源、輻射）等，而天基監(jiān)測(cè)龐大的信息量必將給下行鏈路帶來(lái)負(fù)荷，因此，可以利用邊緣計(jì)算等新計(jì)算新概念，在傳感器端或在區(qū)域小網(wǎng)絡(luò)端獲得產(chǎn)品，極大地減少鏈路和中心的負(fù)擔(dān)。

6 結(jié) 論

通過(guò)構(gòu)建Laplace法的八次方程分析了方程系數(shù)和根的性質(zhì)，討論了空間目標(biāo)與地心、觀測(cè)平臺(tái)處于不同的相對(duì)位置時(shí)所得到的非偽解的個(gè)數(shù)情況。針對(duì)天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)時(shí)遇到計(jì)算過(guò)程中收斂到平凡解的情況，給出了數(shù)學(xué)表征和消去方法。通過(guò)對(duì)平凡解的消除，可獲得相對(duì)距離初值。

對(duì)Gooding方法應(yīng)用于空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)流程進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種可適用于天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)的初軌確定方法和流程。該方法能有效解決收斂到平凡解的問(wèn)題，降低了距離初值在定軌過(guò)程中的敏感度。針對(duì)低軌天基監(jiān)測(cè)和高軌天基監(jiān)測(cè)進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文所提方法性能優(yōu)良。

最后給出了對(duì)未來(lái)天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)發(fā)展的建議，認(rèn)為隨著高速互聯(lián)的大型星座開(kāi)始部署運(yùn)行，天基空間目標(biāo)監(jiān)視將會(huì)構(gòu)成泛在的網(wǎng)絡(luò)，能自主、智能地監(jiān)測(cè)編目，并基于先進(jìn)的天基網(wǎng)絡(luò)技術(shù)以及信息技術(shù)，使天基空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)成為空間態(tài)勢(shì)感知的主要手段。