高運廣，蔡艷平，盛 安

(1 湖南三一工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程機械學(xué)院，長沙 410129；2 火箭軍工程大學(xué) 作戰(zhàn)保障學(xué)院，西安 710025)

隨著導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展和普及，微慣性測量單元（Micro Inertial Measurement Unit,MIMU）在導(dǎo)航領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，MIMU 主要通過角速度和加速度傳感器將測量信息傳遞給上位計算機，以此作為載體導(dǎo)航定位解算的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)[1]。受限于制造成本，一些中低端MIMU 傳感器工作的可靠性不容易保障，因此有必要在應(yīng)用時對MIMU 傳感器的輸出進行故障監(jiān)測與診斷，以便及時發(fā)現(xiàn)故障并做出處理，從而為導(dǎo)航定位解算提供有效數(shù)據(jù)或發(fā)出警示。

目前，傳感器的故障診斷主要有基于模型和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法。兩者相比，數(shù)據(jù)驅(qū)動方法通常不需要建立精確的數(shù)學(xué)或物理模型，對專家知識依賴程度低，因此更適合工程應(yīng)用。在基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法中，主元分析（Principle Component Analysis,PCA）方法在傳感器故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用[2-5]，但是PCA畢竟是一種線性處理方法，在處理非線性問題方面存在一定局限，而實際的系統(tǒng)通常又是非線性的。為了提高PCA 的適用性，有學(xué)者將非線性的核主元分析（Kernel Principal Component Analysis,KPCA）應(yīng)用于傳感器的故障診斷[6,7]。KPCA 中核函數(shù)參數(shù)的選擇對模型性能有著重要影響，常規(guī)的選擇方法大都根據(jù)經(jīng)驗人工選定，通常需要對參數(shù)反復(fù)調(diào)整，不僅操作繁瑣，而且也難以保證得到最優(yōu)值。

鑒于此，本文研究了一種應(yīng)用于MIMU 傳感器故障診斷的KPCA 方法，KPCA 核函數(shù)參數(shù)通過模糊自適應(yīng)遺傳算法（Adaptive Genetic Algorithm，AGA）進行自動優(yōu)選，克服了常規(guī)選擇方法中人為主觀性強和操作繁瑣的問題，提高了KPCA 的應(yīng)用性能。

1 KPCA 原理

KPCA 通過非線性映射先把輸入空間映射到一個特征空間，然后在特征空間中計算主元成分，這一非線性映射通過核函數(shù)來實現(xiàn)[8]。KPCA 對任一數(shù)據(jù)樣本集x構(gòu)造一個線性變換φ(xi)，由此將x映射到高維空間，此時的協(xié)方差陣CF為：

式中，xi為數(shù)據(jù)樣本，N為樣本個數(shù)。

通過求解特征方程：

得到特征值λ和特征向量v。

式(2)中C Fv可用下式表示：

式(2)可等價于：

且存在系數(shù)a j(j=1,2…N)，使

整理式(3)(4)(5)可得：

定義一個對稱的核矩陣K，令矩陣元素K ij=φ(xi)Tφ(xj)，1≤i≤N，1≤j≤N。于是式(6)可化簡為：

式中，α為K的特征向量。由此可求得CF的特征向量v，進而可得到原始向量的主元成分：

2 模糊AGA

遺傳算法是一種模仿生物進化機制的自適應(yīng)搜索算法，具有強大的尋優(yōu)能力[9-13]。將遺傳算法應(yīng)用于KPCA 核函數(shù)參數(shù)的自動優(yōu)選，不僅可以提高參數(shù)選擇的科學(xué)性，而且可以容易獲得最優(yōu)值。在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中，由于交叉概率pc和變異概率pm是固定的，由此可能導(dǎo)致算法不能收斂到全局最優(yōu)。為此，不少學(xué)者對pc和pm自適應(yīng)選取的問題進行了研究[14,15]，這些方法大都利用平均適應(yīng)度作為選擇依據(jù)，但是平均適應(yīng)度并不能真實反映個體適應(yīng)度的一致程度，由此影響算法發(fā)揮最佳的性能。

為進一步提升遺傳算法的性能，結(jié)合模糊理論能夠模擬人類模糊邏輯思維和融合專家經(jīng)驗的優(yōu)勢[16]，這里引入模糊推理對pc和pm進行選取。其設(shè)計思想為：將能反映一致程度的個體適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)差作為模糊推理系統(tǒng)輸入；將pc和pm自適應(yīng)計算中的調(diào)整參數(shù)作為系統(tǒng)輸出。模糊推理系統(tǒng)設(shè)計如下：

（1）系統(tǒng)輸入

系統(tǒng)輸入變量為個體適應(yīng)度的標(biāo)準(zhǔn)差，計算公式為：

式中，s為適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)差，fi為個體適應(yīng)度，fa為群體平均適應(yīng)度，N為種群規(guī)模。s的論域分為5 部分，分別為NB（負大）、NS（負?。?、ZE（零）、PS（正?。?、PB（正大），論域區(qū)間為[0,50]。

（2）系統(tǒng)輸出

此處，pc和pm的計算公式如下：

式中，fm為最大適應(yīng)度，fa為平均適應(yīng)度，f′為交叉?zhèn)€體中的較大適應(yīng)度，p1f和p2f為pc的最大和最小值，p3f和p4f為pm的最大和最小值。p1f、p2f、p3f和p4f作為模糊推理系統(tǒng)的輸出變量，其論域同樣劃分為5 部分，即NB、NS、ZE、PS和PB，論域區(qū)間根據(jù)pc和pm的取值范圍選取，分別為[0.7,0.9]、[0.5,0.6]、[0.1,0.2]和[0.005,0.06]。

（3）推理規(guī)則設(shè)計

根據(jù)AGA 中交叉和變異概率的變化規(guī)律，模糊推理規(guī)則設(shè)計如下：

式中，pif為第i個輸出變量，i=1,2 … 4。

（4）隸屬度函數(shù)設(shè)計

系統(tǒng)隸屬度函數(shù)采用三角形函數(shù)。對于輸入變量s，隸屬度函數(shù)設(shè)計如圖1 所示。對于輸出變量pif，根據(jù)不同的論域取值范圍進行設(shè)計，以p1f為例，其隸屬度函數(shù)設(shè)計如圖2 所示。

圖1 輸入隸屬度函數(shù)Fig.1 Input membership function

圖2 輸出隸屬度函數(shù)Fig.2 Output membership function

3 MIMU 故障診斷

應(yīng)用KPCA對MIMU傳感器進行故障診斷的過程主要包括KPCA 建模、故障監(jiān)測、故障定位和故障識別，故障診斷流程如圖3 所示。

圖3 故障診斷流程Fig.3 Flow of fault diagnosis

3.1 KPCA 建模

首先選取某型MIMU 的7 個傳感器變量構(gòu)建KPCA 模型，所取變量分別為3 個方向的角速度輸出、3 個方向的加速度輸出和1 個溫度輸出。取輸出的200組數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)樣本，維數(shù)為7。在這些樣本中，100組為MIMU 實測的正常數(shù)據(jù)，余下的100 組為故障仿真數(shù)據(jù)，包括傳感器常見的偏差、漂移、精度等級下降和完全失效四種故障。KPCA 模型中的核函數(shù)參數(shù)通過模糊AGA 自動優(yōu)選。

3.2 故障監(jiān)測

通過KPCA 模型在特征空間計算Q統(tǒng)計量，即平方預(yù)測誤差（Square Predicted Error,SPE），表示每次采樣在變化趨勢上與統(tǒng)計模型之間的誤差，可度量外部數(shù)據(jù)的變化。此處將SPE 作為故障監(jiān)測量：

式中，DSPE為SPE 計算值，φ(x)為非零特征值對應(yīng)的主元和特征向量乘積之和，φ p(x)為前p個主元和特征向量乘積之和，化簡后可得：

式中，t j為第j個主元；n為非零特征值的個數(shù)；p為主元數(shù)，可通過式(16)求出：

式中，λk為非零特征值。

SPE的監(jiān)測限可根據(jù)其分布估計得出：

式中，Thα為監(jiān)測限值，α為顯著水平，g為SPE的權(quán)重參數(shù)，h為χ2分布的自由度。假設(shè)a和b是SPE的估計均值和方差，則g和h可由式(18)求出：

為了提高故障監(jiān)測的可靠性，在計算SPE 前先對傳感器數(shù)據(jù)進行平滑處理，計算公式如下：

式中，x k+i為傳感器變量的測量數(shù)據(jù)；ω i為權(quán)重系數(shù)，且；q、r和M分別為設(shè)定的整數(shù)，S為數(shù)據(jù)個數(shù)，且q+r+1=M，k=q+1,q+2…S-r。此處，q取10，r取9，ωi取0.05。

3.3 故障定位

監(jiān)測出故障后，需進一步定位故障。在PCA 方法中，發(fā)生故障的傳感器變量和監(jiān)測量之間存在一定的線性關(guān)系，但在KPCA 的非線性變換中并沒有使用顯式的非線性變換函數(shù)，而且核函數(shù)無法提供傳感器變量和監(jiān)測量之間的對應(yīng)關(guān)系，因此PCA 的貢獻圖法不能直接用于KPCA 模型中故障傳感器變量的識別?；谟脗鞲衅髯兞控暙I量來識別故障的思想，為了完成KPCA 中傳感器變量對故障的貢獻量求解，此處定義第j個傳感器的變量貢獻量Conj,i為：

變量貢獻量所占百分比PertT,j為：

變量貢獻量變化ΔPertT,j為：

式中，ti和xj分別為第i個主元和第j個傳感器變量；λi為第i個特征值；T表示時間，TF和T0分別為傳感器發(fā)生和未發(fā)生故障的時刻；N為傳感器個數(shù)。當(dāng)監(jiān)測出故障后，分析故障發(fā)生前后的ΔPertT,j，則可識別出故障傳感器。如果某個ΔPertT,j最大，則可認定與此對應(yīng)的傳感器發(fā)生了故障，從而實現(xiàn)故障定位。

3.4 故障識別

通過故障定位可以找到發(fā)生故障的傳感器，要進一步識別故障的類型，可通過如下故障模型進行判斷：

（1）偏差故障

其中，es為系統(tǒng)測量誤差，co為常數(shù)。

（2）漂移故障

其中，k為常數(shù)，Δtf為故障持續(xù)時間。

（3）精度等級下降故障

（4）完全失效故障

其中，cf為常數(shù)，xm為變量真實值，er為測量隨機誤差。

4 仿真試驗

首先應(yīng)用模糊AGA 對KPCA 的核函數(shù)寬度σ進行自動優(yōu)選，求解步驟如下：

（1）編碼

編碼采用實數(shù)編碼方式，取值范圍為[0.01,10]。

（2）遺傳操作

選擇算子采用適應(yīng)度比例方法，并采用最佳保留策略以提高算法執(zhí)行效率。交叉算子采用算術(shù)交叉，變異算子采用非均勻一致變異，交叉和變異概率通過式(11)(12)自適應(yīng)確定。

（3）適應(yīng)度評價

KPCA 提取特征的主要目的是增強類的可分性，因此將類的可分性作為遺傳算法適應(yīng)度的評價準(zhǔn)則。類的可分性通過類間散度矩陣Sb和類內(nèi)散度矩陣Sw來衡量：Sb越大說明類間的差別越大，分類效果越好；Sw越小說明類內(nèi)間的差別越小，類內(nèi)聚類效果越好。根據(jù)這一準(zhǔn)則，此處的適應(yīng)度函數(shù)Fg為：

式中，

式中，L為類別數(shù)，Ci(i=1,2...L)為每類的幾何中心，C0為所有類別的中心，X為數(shù)據(jù)向量。

（4）其它設(shè)定

初始群體采取隨機方式生成，種群規(guī)模為60，遺傳解算在執(zhí)行到500 代時終止。

遺傳解算過程中適應(yīng)度的變化如圖4 所示，求得σ=0.2837，根據(jù)式(16)得到主元數(shù)p=4。

圖4 適應(yīng)度變化過程Fig.4 Process of fitness change for resolving

得到KPCA 優(yōu)化模型后，取400 組MIMU 數(shù)據(jù)輸入模型進行分析，其中前200 組數(shù)據(jù)為傳感器正常數(shù)據(jù)，后200 組數(shù)據(jù)通過仿真對第一個傳感器的數(shù)據(jù)引入偏差、漂移、精度等級下降和完全失效四種故障。

為了說明本文方法的優(yōu)勢，此處與人工選擇核參數(shù)的常規(guī)KPCA 方法（參數(shù)σ取1）進行對比，兩種方法的故障監(jiān)測結(jié)果如圖5 所示，監(jiān)測限顯著水平α取0.01。由圖5 可見，本文方法均能很好地監(jiān)測出四種故障；常規(guī)方法對故障的敏感程度不僅降低，而且存在一定程度的漏檢。兩種方法的故障監(jiān)測結(jié)果對比如表1 所示，表1 中的準(zhǔn)確率為準(zhǔn)確識別正常（無誤檢）和檢出故障個數(shù)之和與監(jiān)測數(shù)據(jù)點總個數(shù)的比值。由表1 可得本文方法對四種故障監(jiān)測的平均準(zhǔn)確率比常規(guī)方法高出18.44%。

圖5 故障監(jiān)測結(jié)果Fig.5 Diagram of fault detection results

表1 兩種方法故障監(jiān)測結(jié)果對比Tab.1 Fault detection results of two methods

根據(jù)式(22)計算故障發(fā)生前后各傳感器變量貢獻的百分比變化，結(jié)果如圖6 所示。由圖6 可見，故障發(fā)生后第一個傳感器變量貢獻百分比變化最大，說明故障的部位均為第一個傳感器，與實際完全相符，由此也說明了本文方法的有效性。

圖6 故障量貢獻百分比變化Fig.6 Diagram of contribution percentage change of faults

5 結(jié)論

作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動方法，PCA 在傳感器故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用，但它是一種線性模型，為了更好地適用于實際的非線性系統(tǒng)，本文提出了一種基于模糊AGA 的KPCA 非線性模型并應(yīng)用于MIMU 傳感器故障診斷。一方面，模型將SPE 作為故障監(jiān)測量，利用傳感器變量貢獻百分比變化來定位故障；另一方面，為了提高KPCA 中核函數(shù)參數(shù)選擇的科學(xué)性和減少建模工作量，采用模糊AGA 對核函數(shù)參數(shù)進行了自動優(yōu)選。仿真試驗結(jié)果表明，模糊AGA-KPCA 方法不僅可以有效地監(jiān)測和識別MIMU 傳感器故障，而且相比于常規(guī)的KPCA 方法更具有顯著優(yōu)勢。