惠 俊，柴洪洲，杜禎強(qiáng)

（信息工程大學(xué)，鄭州 450001）

現(xiàn)代光學(xué)陀螺儀是一種能夠精確確定運(yùn)動(dòng)物體方位的儀器，在慣性導(dǎo)航[1,2]、精密測(cè)量[3]、測(cè)地學(xué)[4]等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。光纖陀螺儀作為一種基于Sagnac 效應(yīng)的新型角速率傳感器，利用干涉儀中相向運(yùn)動(dòng)的兩束光相遇時(shí)形成干涉。光纖陀螺的相位測(cè)量精度與兩束相向運(yùn)動(dòng)的光束所包圍的面積成正比，與干涉光波的波長(zhǎng)成反比。為了提高相位測(cè)量的靈敏度，可以對(duì)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)或?qū)λ惴ㄟM(jìn)行優(yōu)化[5]。改進(jìn)測(cè)量系統(tǒng)通常采取增加光纖線圈的匝數(shù)和線圈所圍半徑以增大面積，或者采用波長(zhǎng)較短的光波[6]。

量子光學(xué)的蓬勃發(fā)展也給陀螺的高精度探索開(kāi)辟了新的道路[7,8]。相較于傳統(tǒng)光纖Sagnac 干涉儀的單光輸入雙光輸出模式，量子力學(xué)框架下的干涉儀具有雙輸入/雙輸出的特征。在傳統(tǒng)光纖陀螺中，光按經(jīng)典場(chǎng)處理，經(jīng)典光源的相位測(cè)量精度的理論極限為散粒噪聲極限（Shot Limit Noise,SNL）或標(biāo)準(zhǔn)量子極限（Standard Quantum Limit,SQL），決定了光學(xué)陀螺儀精度的理論上限[7]。利用量子信息的糾纏特性可實(shí)現(xiàn)測(cè)量精度的增益[9,10]。2019 年，F(xiàn)ink 等[11]首次提出了糾纏光子陀螺，利用雙光子糾纏態(tài)實(shí)現(xiàn)了德布羅意波長(zhǎng)的減半，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果突破了標(biāo)準(zhǔn)量子極限。張桂才等[12]研究了基于最大糾纏態(tài)（NOON 態(tài)）的光子糾纏光纖陀螺儀的相位靈敏度，理論上，相對(duì)散粒噪聲極限可提高倍（N為多光子糾纏態(tài)的光子數(shù)量）。無(wú)損條件下，對(duì)于NOON 態(tài)而言，總光子數(shù)為2N的兩束光通過(guò)Sagnac 干涉儀后，相移的測(cè)量不確定度可達(dá)到海森堡極限σφHL=1/2N[13]。雖然具有最大糾纏增益，但大量研究表明，NOON 態(tài)在實(shí)際環(huán)境中易受到干擾，其糾纏性能將被嚴(yán)重削弱，導(dǎo)致最終陀螺儀測(cè)量精度的增益有限，且多光子NOON 態(tài)也不能直接作為陀螺儀的輸入態(tài)[14]。而糾纏數(shù)態(tài)輸入則對(duì)實(shí)際環(huán)境噪聲具有更好的魯棒性，同時(shí)可在雙輸入端口直接注入糾纏數(shù)態(tài)。

對(duì)于光纖陀螺儀輸出端的測(cè)量，較為成熟的糾纏測(cè)量方案包括光強(qiáng)差檢測(cè)以及奇偶校驗(yàn)測(cè)量[15]?？紤]到雙輸出的量子陀螺儀光學(xué)結(jié)構(gòu)，如果兩個(gè)輸出端的光子數(shù)相同，那么光強(qiáng)差結(jié)果為0，此時(shí)光強(qiáng)差測(cè)量結(jié)果對(duì)相位參數(shù)不敏感，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)光纖陀螺儀的相位估計(jì)[16]。而利用奇偶校驗(yàn)測(cè)量方案不僅能實(shí)現(xiàn)糾纏數(shù)態(tài)的測(cè)量，同時(shí)可實(shí)現(xiàn)對(duì)光強(qiáng)差測(cè)量方案的改進(jìn)。

綜上所述，本文提出了采用雙模糾纏光子數(shù)態(tài)作為光纖陀螺儀的輸入，并闡述了基于糾纏光子數(shù)態(tài)光纖陀螺儀的基本原理。同時(shí)，針對(duì)光強(qiáng)差測(cè)量存在的不足，提出了針對(duì)其中一條光路的輸出端進(jìn)行奇偶校驗(yàn)的測(cè)量方案?；跓o(wú)損傳播模型，本文首次推導(dǎo)了雙模糾纏光子數(shù)態(tài)（孿生數(shù)態(tài)）光纖陀螺儀的相位估計(jì)誤差公式。在輸入相同光子數(shù)條件下，將其與經(jīng)典相干態(tài)和最大糾纏NOON 態(tài)輸入的光纖陀螺儀相位估值精度的極限進(jìn)行了對(duì)比，并展示了在特定情形下運(yùn)用奇偶校驗(yàn)方法來(lái)提高糾纏光纖陀螺儀測(cè)量精度的優(yōu)越性。

1 Sagnac 干涉效應(yīng)

1.1 經(jīng)典光纖Saganc 干涉儀

光纖陀螺作為一種重要的傳感器，是當(dāng)前的精密測(cè)量物理技術(shù)之一。它與基于經(jīng)典力學(xué)的機(jī)械陀螺一樣，可用于測(cè)量運(yùn)載體相對(duì)于慣性空間的旋轉(zhuǎn)角速度。V.Vali 和R.Shorthill 構(gòu)建的Sagnac 干涉儀由光纖線圈構(gòu)成閉合環(huán)路，如圖1 所示。在一個(gè)半徑為R，面積為S的圓環(huán)光纖中，由同一光源發(fā)出的光被半反射半透射分束器BS 分成兩束，分別沿順時(shí)針光路LCW和逆時(shí)針光路LCCW傳播，之后兩束光在分束器BS 處再次相遇并產(chǎn)生干涉，干涉光的強(qiáng)度由輸出端的探測(cè)器檢測(cè)。在干涉儀靜止的時(shí)候，兩者相遇無(wú)相位差，LCW=LCCW，干涉條紋的中心為（零級(jí)）明紋；而當(dāng)干涉儀以角速度Ω沿其法線方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在輸出端可以檢測(cè)到干涉光強(qiáng)的變化，這種由干涉儀旋轉(zhuǎn)引起的相位變化稱為Sagnac 相移φ。在RΩ?c的條件下，它與旋轉(zhuǎn)角速率Ω的關(guān)系為[17]：

式中，λ為旋轉(zhuǎn)參考系中的光波波長(zhǎng)；L為光纖長(zhǎng)度；R為光纖環(huán)的半徑；c為真空中的光速（如圖1）。所以，Sagnac 效應(yīng)經(jīng)常被用來(lái)測(cè)量某一慣性參考系的旋轉(zhuǎn)角速度Ω，由式(1)可知，為了提高干涉儀的角速度測(cè)量精度，可以增大圓環(huán)的面積S（增大半徑R）或者增加光纖匝數(shù)M（增加長(zhǎng)度L）。除此以外，可以通過(guò)量子技術(shù)增強(qiáng)相位測(cè)量的靈敏度從而實(shí)現(xiàn)更加精密的角速度測(cè)量[13]。

圖1 經(jīng)典光纖Sagnac 干涉儀示意圖Fig.1 Diagram of the classic fiber Sagnac interferometer

經(jīng)典Sagnac 干涉儀為單輸入/雙輸出模式，它由一個(gè)50:50 分束器和一個(gè)光纖線圈組成。輸出端可采用不同的光學(xué)測(cè)量方案，最終實(shí)現(xiàn)環(huán)路中的Sagnac相位估計(jì)。通常的測(cè)量方法是對(duì)兩個(gè)輸出端口的光強(qiáng)差進(jìn)行測(cè)量。理想情況下，兩個(gè)輸出端口的光強(qiáng)測(cè)量結(jié)果分別為[12]：

1.2 光纖Saganc 干涉儀的量子力學(xué)描述

在量子Sagnac 干涉儀中，真空?qǐng)隹偸谴嬖诘?，即使沒(méi)有光進(jìn)入分束器的另一個(gè)端口，真空?qǐng)鲆矔?huì)從這個(gè)端口進(jìn)入，因而干涉儀實(shí)際應(yīng)為雙輸入/雙輸出模式。光纖環(huán)Sagnac 干涉儀與分立形式的Sagnac 干涉儀的光學(xué)變換過(guò)程是等價(jià)的。下面對(duì)分立形式的Sagnac 干涉過(guò)程進(jìn)行量子化描述，如圖2 所示。

圖2 分立形式的Sagnac 干涉儀Fig.2 Discrete form of Sagnac interferometer

2 基于糾纏光子數(shù)態(tài)的光纖陀螺儀

2.1 雙模糾纏光纖陀螺儀的輸出態(tài)

考慮運(yùn)載體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致Sagnac 相移，假定這一相位移動(dòng)發(fā)生在b模式中，則第二次通過(guò)分束器之前的量子態(tài)為：

式中，k∈[0,N]。

2.2 奇偶校驗(yàn)方案與相位測(cè)量精度估計(jì)

本文設(shè)計(jì)的光纖陀螺儀干涉系統(tǒng)中采用半反半透分束器，即認(rèn)為分束器的分光比為50:50，且無(wú)能量損耗。為了避免入射到光纖環(huán)中的光返回光源，從而對(duì)入射光路徑造成干擾，實(shí)驗(yàn)中采用環(huán)形器代替耦合器。環(huán)形器作為一種多輸入輸出的光學(xué)器件，主要用于光的傳輸路徑選擇，其結(jié)構(gòu)圖如圖3 所示。從端口1 輸入的光僅從端口2 輸出，從端口2 輸入的光僅從端口3 輸出，并假定傳輸過(guò)程沒(méi)有光子損失。

圖3 光纖環(huán)形器結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of optical fiber circulator

3 對(duì)比和仿真

3.1 糾纏光子數(shù)態(tài)與NOON 態(tài)的比較

在糾纏光子數(shù)態(tài)光纖Sagnac 干涉儀中，最優(yōu)的輸入態(tài)為NOON 態(tài)，通過(guò)光強(qiáng)差測(cè)量，NOON 態(tài)可以實(shí)現(xiàn)的相位測(cè)量精度為1/N。對(duì)于總光子數(shù)為2N的NOON 態(tài)輸入，經(jīng)過(guò)Sagnac 相移φ有：

當(dāng)N＞ 1時(shí)，僅通過(guò)Sagnac 干涉儀的光學(xué)變換難以得到最大糾纏NOON 態(tài)，多光子NOON 態(tài)的制備必然要更改Sagnac 光路結(jié)構(gòu)，增加了干涉儀的復(fù)雜程度。鑒于量子Sagnac 干涉儀初始輸入的雙模輸入特征，可以在兩個(gè)輸入端口輸入糾纏光子數(shù)態(tài)，從而在現(xiàn)有光路的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)干涉儀相位測(cè)量精度的提高。本文以孿生數(shù)態(tài)輸入為例，即兩個(gè)輸入端口輸入的光子個(gè)數(shù)相同（對(duì)于總光子數(shù)為 2N的孿生數(shù)態(tài)，其雙模糾纏光子數(shù)態(tài)的粒子數(shù)統(tǒng)計(jì)分布滿足離散反正弦律，故又稱之為反正弦態(tài)），可將具有相同總光子數(shù)的孿生數(shù)態(tài)與具有最大糾纏性質(zhì)的NOON態(tài)統(tǒng)計(jì)分布結(jié)果PNOON(2k,2N-2k)=(δk,0+δk,N)/2（δi,j為狄拉克符號(hào)，下標(biāo)不等為0，相等為1）作一比較，如圖4 所示。

圖4 雙模糾纏光子數(shù)態(tài)與NOON 態(tài)的粒子數(shù)與相位統(tǒng)計(jì)分布（總光子數(shù)2N=20）Fig.4 Statistical distribution of the number and phase of the two-mode entangled Fock state and NOON state (total photon number of 2N=20)

當(dāng)2N= 2時(shí)，由式(19)可知，孿生數(shù)態(tài)在第二次通過(guò)分束器之前，恰好轉(zhuǎn)換為最大糾纏NOON 態(tài)，由標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量理論知，對(duì)其進(jìn)行光強(qiáng)差測(cè)量，將無(wú)法獲得符合計(jì)數(shù)結(jié)果（光子數(shù)差為零），從而無(wú)法估計(jì)得到相位估計(jì)。若在輸出端進(jìn)行奇偶校驗(yàn)測(cè)量，同樣取2N= 2，則由式(16)知輸入孿生數(shù)態(tài)經(jīng)過(guò)Sagnac干涉儀并最終由奇偶校驗(yàn)測(cè)量結(jié)果得到的統(tǒng)計(jì)均值為：

由式(15)知，奇偶校驗(yàn)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為：

由誤差傳播公式（式(17)）知，相位測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為：

顯然，這一結(jié)果達(dá)到了總光子數(shù)為2N= 2的海森堡極限=1/2N=1/2。由此可見(jiàn)，N = 1時(shí)的孿生數(shù)態(tài)輸入經(jīng)過(guò)光纖Sagnac 干涉儀制備成了NOON 態(tài)，表明奇偶校驗(yàn)方案完全適用于NOON 態(tài)的測(cè)量，且同樣能達(dá)到糾纏光纖陀螺儀相位測(cè)量的海森堡極限。

圖5 給出了相同光子數(shù)條件下（2N= 20）的相干態(tài)粒子數(shù)統(tǒng)計(jì)分布與相位統(tǒng)計(jì)分布結(jié)果。將其與圖4 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，由于光子的糾纏效應(yīng)，使得糾纏數(shù)態(tài)的光子統(tǒng)計(jì)分布和相位統(tǒng)計(jì)分布發(fā)生了改變，NOON 態(tài)作為最大糾纏態(tài)輸入，對(duì)光纖陀螺儀的輸出增益性能最強(qiáng)。NOON 態(tài)輸入的Sagnac 相移分布呈諧波振蕩特征，其峰谷之間的距離要小于相干態(tài)輸入；而孿生數(shù)態(tài)輸入時(shí)，雖然由于糾纏度較低，由圖4(d)中可見(jiàn)僅有由相位差π 隔開(kāi)的兩個(gè)尖峰，然而隨著總光子數(shù)的增加，其峰谷距離將趨于NOON 態(tài)輸入的情形。因此，對(duì)于某些特定的光子數(shù)態(tài)輸入，光子的相位分布仍然可以進(jìn)一步壓縮，這就類似于利用量子光場(chǎng)的壓縮特性，在某些有用的窗口內(nèi)可以減少場(chǎng)的正交波動(dòng)，從而打破測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)量子極限，提升相位估計(jì)的精度。

圖5 相干態(tài)的粒子數(shù)與相位統(tǒng)計(jì)分布（總光子數(shù)2N=20）Fig.5 Statistical distribution of the number and phase of ccoherent state (total photon number of 2N=20)

3.2 不同糾纏輸入態(tài)與相位測(cè)量的精度估計(jì)

除了利用量子壓縮特性，利用量子糾纏同樣可實(shí)現(xiàn)測(cè)量精度的增益。無(wú)損條件下，對(duì)于最大糾纏態(tài)（NOON 態(tài)）而言，總光子數(shù)為2N的兩束光第二次通過(guò)分束器BS 后，相對(duì)相位（相移）的測(cè)量不確定度可達(dá)到海森堡極限=1/2N。雖然，NOON 態(tài)具有最大的糾纏特性，最有利于實(shí)現(xiàn)相位的高精度測(cè)量，但當(dāng)輸入端的總光子數(shù)2N＞ 2時(shí)，利用現(xiàn)有的Sagnac 干涉儀無(wú)法直接輸入最大糾纏NOON 態(tài)，通過(guò)非線性或組合光路結(jié)構(gòu)制備N(xiāo)OON 態(tài)無(wú)疑增加了實(shí)際應(yīng)用的難度。即便制備得了NOON 態(tài)，在某些情況下，還可能出現(xiàn)光子數(shù)差為0 的情況，也就是說(shuō)，當(dāng)計(jì)算兩個(gè)輸出端口的光子數(shù)平均值時(shí)，其結(jié)果相等且不依賴于Sagnac 相移φ，因此在探測(cè)器的兩個(gè)輸出端口進(jìn)行光強(qiáng)差探測(cè)時(shí)無(wú)法得到符合計(jì)數(shù)，從而無(wú)法通過(guò)誤差傳遞公式對(duì)Sagnac 相位進(jìn)行估計(jì)，導(dǎo)致方法失效。此時(shí)便可采取奇偶校驗(yàn)方案，而干涉儀的初始輸入態(tài)只需輸入糾纏光子數(shù)態(tài)即可（不一定是最大糾纏態(tài)），以雙模輸入光子數(shù)相同的孿生數(shù)態(tài)為例，進(jìn)一步考察由奇偶校驗(yàn)測(cè)量結(jié)果所得到的相位估值精度。取2N= 4，則由式(16)(17)(18)可知，相位測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為：

通過(guò)上述分析，所提方法能夠增強(qiáng)光纖陀螺儀Sagnac 相位輸出精度。具體地，以光纖陀螺為例，討論該方法對(duì)陀螺性能指標(biāo)的改善。在光纖陀螺儀中靈敏度檢測(cè)極限，即可測(cè)量的最小角速度，是一項(xiàng)極為重要的指標(biāo)。通常，以能檢測(cè)到的最高相位靈敏度對(duì)應(yīng)為最小可測(cè)角速度：

式中，h為普朗克常數(shù)，c為光速，Δf為信號(hào)測(cè)量的帶寬，η D為探測(cè)器的量子效率，PD為探測(cè)器接收的光功率。對(duì)于一個(gè)波長(zhǎng)λ=1550nm、光纖長(zhǎng)度L=5km、線圈半徑R=0.1m、探測(cè)器量子效率ηD=0.9、信號(hào)帶寬Δf=0.01Hz、光功率PD=10μW的光纖陀螺，最小可測(cè)角速度為1.9 ×10-4°/h。

當(dāng)采用文中方法時(shí)，相位輸出靈敏度的關(guān)系為Ωmin,twin=σφtwin/σφSQL·Ωmin,c≈ 1.1 ×10-4°/h。隨著輸入總光子數(shù)N的增大，光纖陀螺儀的靈敏度將逐漸達(dá)到海森堡極限。由于光纖陀螺儀相位測(cè)量的靈敏度與平均輸入光子數(shù)成正比關(guān)系增長(zhǎng)，因此增加輸入光子數(shù)也能增加干涉靈敏度，但基于奇偶校驗(yàn)方法的糾纏數(shù)態(tài)測(cè)量方案隨著光功率的增加，靈敏度的增加會(huì)更快。如圖6 所示，當(dāng)輸入總光子數(shù)僅僅增加到2N=100時(shí)，光纖陀螺的最小可測(cè)角速度相對(duì)于傳統(tǒng)方案所能達(dá)到的最高精度就提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖6 不同輸入態(tài)的相位估值精度隨總光子數(shù)N的變化曲線Fig.6 Variation curve of the phase estimation accuracy of different input states with N photons

表1 給出了經(jīng)典相干態(tài)和NOON 態(tài)、糾纏光子數(shù)態(tài)輸入的量子光纖陀螺儀得到的相位檢測(cè)靈敏度對(duì)比。可以看出，經(jīng)典相干態(tài)在理想條件下僅能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限，最大糾纏NOON 態(tài)突破了散粒噪聲極限，并可達(dá)到海森堡極限；而利用光強(qiáng)差測(cè)量方案在某些情況下無(wú)法獲得相位估值。對(duì)于一般糾纏光子數(shù)態(tài)的二階符合計(jì)數(shù)雖然存在Sagnac 相位φ的信息，但因?yàn)椴⒎撬械妮敵鰬B(tài)都對(duì)二階符合計(jì)數(shù)有貢獻(xiàn)，存在一個(gè)固有效率或概率，因此基于光強(qiáng)差測(cè)量未能突破標(biāo)準(zhǔn)量子噪聲極限；如果采用奇偶校驗(yàn)方案，則對(duì)上述情況均能有效處理，獲得相位估值精度的提高，對(duì)于NOON 態(tài)輸入的測(cè)量結(jié)果可達(dá)到海森堡極限，而對(duì)于一般的糾纏光子數(shù)態(tài)輸入的測(cè)量結(jié)果隨著總光子數(shù)N的增大漸進(jìn)達(dá)到海森堡極限。

表1 不同輸入態(tài)與相位估值精度對(duì)比Tab.1 Comparison of different input states and phase estimation accuracy

4 結(jié)論

基于光子糾纏光纖陀螺的雙輸入/雙輸出模式，仔細(xì)討論了光纖陀螺儀的量子描述框架，設(shè)計(jì)了一種采用雙環(huán)形器進(jìn)行奇偶性探測(cè)的光路結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)糾纏光子數(shù)態(tài)光纖陀螺儀測(cè)量原理的考察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)輸出態(tài)的光子數(shù)差算符為0 時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)光強(qiáng)差測(cè)量方法將失效，針對(duì)光強(qiáng)差測(cè)量方案存在的不足，提出了對(duì)其中一條光路的輸出端進(jìn)行奇偶性檢驗(yàn)的測(cè)量方案。此外，本文基于無(wú)損傳播模型，首次推導(dǎo)了一種基于雙模糾纏光子數(shù)態(tài)的光纖陀螺儀相位估計(jì)誤差公式。在相同輸入光子數(shù)條件下，將其與經(jīng)典相干態(tài)和最大糾纏NOON態(tài)輸入的光纖陀螺儀相位測(cè)量精度的極限進(jìn)行了對(duì)比，并展示了特定情況下利用奇偶校驗(yàn)方法來(lái)提高糾纏光纖陀螺儀測(cè)量精度的優(yōu)越性。分析表明，基于糾纏光子數(shù)態(tài)輸入的光纖陀螺儀雖然不能達(dá)到海森堡極限，但將隨著N的增大不斷趨于海森堡極限。對(duì)于輸入量子態(tài)的優(yōu)化選擇以及輸出態(tài)優(yōu)化測(cè)量方案仍然需要深入探討。此外，光子糾纏陀螺儀的研制還需要考慮光子傳輸?shù)膿p耗特性以及退相干的影響等問(wèn)題，依然有待進(jìn)一步研究。