張 亮，李丹鈺，崔乃剛

（1.中山大學(xué)航空航天學(xué)院，深圳 518107；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

2021 年中國(guó)航天共實(shí)施了55 次發(fā)射任務(wù)，發(fā)射次數(shù)位居世界首位，其中包括火星探測(cè)、空間站、探月工程等國(guó)家重大工程任務(wù)。2 月，天問一號(hào)順利進(jìn)入環(huán)火軌道，成為中國(guó)第一顆人造火星衛(wèi)星。4 月，長(zhǎng)征五號(hào)B 運(yùn)載火箭攜帶天和號(hào)核心艙于海南文昌發(fā)射場(chǎng)起飛，標(biāo)志著中國(guó)空間站建造任務(wù)的全面開啟。6月，長(zhǎng)征二號(hào)F 遙十二火箭攜帶神州十二號(hào)成功發(fā)射，載著中國(guó)三位宇航員成功與天和核心艙完成對(duì)接。在國(guó)外，SpaceX 公司的獵鷹火箭重復(fù)使用，使得航天發(fā)射成本極大降低，有效促進(jìn)了航天科技的發(fā)展。然而，在未來高密度火箭發(fā)射需求下，如何快速設(shè)計(jì)出性能更好的姿態(tài)控制系統(tǒng)尤為關(guān)鍵。

在運(yùn)載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，傳統(tǒng)的方法是采用三通道解耦的PID 控制，基于頻域設(shè)計(jì)方法和校正網(wǎng)絡(luò)來獲得足夠的幅值裕度和相位裕度等性能。然而，PID 控制存在一些不足，比如設(shè)計(jì)流程復(fù)雜、參數(shù)眾多、設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)等，難以滿足我國(guó)高密度發(fā)射需求。因此一些學(xué)者在PID 的基礎(chǔ)上開展改進(jìn)設(shè)計(jì)，如徐世昊[1]等針對(duì)典型串聯(lián)構(gòu)型的火箭模型，在傳統(tǒng)PD+校正網(wǎng)絡(luò)控制的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)增廣控制模塊，提高了復(fù)雜飛行條件下的控制性能，但也存在參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律不明確的缺點(diǎn)。然而，無論如何改進(jìn)PID控制，其姿態(tài)跟蹤誤差還是比較大，難以適應(yīng)強(qiáng)耦合的捆綁火箭姿態(tài)控制[2]。為此，張亮等[3]改進(jìn)了傳統(tǒng)自抗擾控制器，利用兩次非線性控制律得到加速度指令，并且采用非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器補(bǔ)償了火箭狀態(tài)空間模型中的不確定性。相較于PID 控制器，該控制器具有設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)單和控制精度更高的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算量較大，公式復(fù)雜。對(duì)于強(qiáng)非線性、參數(shù)時(shí)變的運(yùn)載火箭模型，采用時(shí)不變模型設(shè)計(jì)的控制器會(huì)導(dǎo)致跟蹤精度較低，為此劉飛等[4]設(shè)計(jì)了微分包含鎮(zhèn)定控制器，解決了大范圍參數(shù)不確定的問題，但該控制器有一定的保守性，適用范圍受限。通過干擾觀測(cè)器可以對(duì)建模不確定性和干擾進(jìn)行補(bǔ)償[5]，Ma 等[6]研究了基于反步法和有限時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)器的控制技術(shù)。然而有限時(shí)間收斂控制器有高度依賴于初始條件的缺點(diǎn)，為此田野等[7]設(shè)計(jì)了一種新型的固定時(shí)間非奇異終端滑模控制方法，可有效解決該問題。但是，固定時(shí)間收斂控制器的實(shí)際收斂時(shí)間與多個(gè)控制參數(shù)有關(guān)，無法直觀獲得，且收斂時(shí)間是一個(gè)上界存在較大的不確定性。而指定時(shí)間收斂可以預(yù)先以參數(shù)的形式，確定系統(tǒng)的收斂時(shí)間，與系統(tǒng)的初值無關(guān)。王冠等[8]設(shè)計(jì)了一種指定時(shí)間收斂的自適應(yīng)控制方法，保證系統(tǒng)狀態(tài)變量在指定時(shí)間上趨于穩(wěn)定值,但控制器的保守性較強(qiáng)。為了改善現(xiàn)有控制器性能依賴初值且無法實(shí)現(xiàn)指定時(shí)間收斂的問題，本文將通過反步法推導(dǎo)指定時(shí)間收斂的姿態(tài)跟蹤控制律，它保證了姿態(tài)跟蹤誤差在指定時(shí)間上收斂的性能。該控制器的主要優(yōu)點(diǎn)包括：1）通過設(shè)計(jì)參考模型可預(yù)先設(shè)定控制性能指標(biāo)。2）控制器可以實(shí)現(xiàn)高精度姿態(tài)跟蹤，且收斂時(shí)間是與初始狀態(tài)無關(guān)的先驗(yàn)參數(shù)。

本文的文章結(jié)構(gòu)如下：首先，在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，建立了運(yùn)載火箭姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。然后，基于文獻(xiàn)[9]-[11]作者研究成果和一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)指定時(shí)間收斂函數(shù)，通過反步法設(shè)計(jì)出指定時(shí)間收斂控制律，然后借助李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，證明了控制器的指定時(shí)間收斂性能。最后，通過仿真分析，驗(yàn)證了本文所提出的控制器性能。

1 運(yùn)載火箭姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 狀態(tài)方程的建立

考慮如圖1 所示的捆綁運(yùn)載火箭，在主動(dòng)段飛行過程中，8 臺(tái)規(guī)格一致的主發(fā)動(dòng)機(jī)（單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)推力460 t）參與推力矢量控制。其中，每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)有兩個(gè)噴管，助推發(fā)動(dòng)機(jī)兩個(gè)噴管均參與控制，擺角分別為δi（i=I,II,III,IV）,而芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)只有遠(yuǎn)離火箭軸線的外部噴管參與控制，擺角分別定義為δi（i=1,2,3,4）。

圖1 運(yùn)載火箭的擺動(dòng)角度分布Fig.1 Swing angle distribution for launch vehicle

此外，r E和rC分別是助推發(fā)動(dòng)機(jī)和芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)距離箭體軸線的距離。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)單機(jī)推力為P，則每個(gè)噴管的推力為P/2。則根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]，可建立如下所示的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

其中，m為火箭的質(zhì)量，m0為火箭的初始質(zhì)量值，m˙為8 臺(tái)主發(fā)動(dòng)機(jī)的總秒耗量，t為主發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間。r、P和RS分別為位置矢量、推力矢量和氣動(dòng)力矢量。PC、g、ωe和v分別代表發(fā)動(dòng)機(jī)擺動(dòng)慣性力、重力加速度、地球角速度和速度。MT、MS、MD、Mδ和MB分別是推力力矩、空氣動(dòng)力力矩、空氣動(dòng)力阻尼、發(fā)動(dòng)機(jī)擺動(dòng)慣性矩和結(jié)構(gòu)擾動(dòng)或外部擾動(dòng)。此外，火箭的角速度定義為ω=[ωxωyωz]T，火箭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣定義為J=diag（[J xJyJz]），角動(dòng)量為h=Jω。

另外，可定義狀態(tài)變量為X1=[γψ?]T，X2=[ωxωyωz]T和U=[δγδψδ?]T。其中?為俯仰角，γ為滾轉(zhuǎn)角，ψ為偏航角。δγ、δψ和δ?代表了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的等效三通道獨(dú)立發(fā)動(dòng)機(jī)擺動(dòng)角。U表示等效發(fā)動(dòng)機(jī)擺角向量。則狀態(tài)空間方程可建立為：其中，θ為彈道傾角，A為實(shí)際的風(fēng)向角，Aw為風(fēng)矢量角，Af為發(fā)射方位角，As為風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)表中的方向角，Wp為平穩(wěn)風(fēng)的風(fēng)速，Wq為切變風(fēng)速。

1.2 參考模型設(shè)計(jì)

為了保證運(yùn)載火箭在主動(dòng)段具有良好的動(dòng)態(tài)控制性能，可設(shè)計(jì)一個(gè)有預(yù)期超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間的二階系統(tǒng)。假設(shè)姿態(tài)控制系統(tǒng)的目標(biāo)就是跟蹤預(yù)先設(shè)計(jì)的程序角，則參考模型有如下所示：

2 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

2.1 引理和定理

為了設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，本文首先引入一些定義和基本引理，考慮如下所示的系統(tǒng)：

簡(jiǎn)化式(13)就可以得到：

等式(14)兩邊同時(shí)積分可得：

則等式(15)的解為：

2.2 控制律設(shè)計(jì)

針對(duì)前述建立的跟蹤誤差姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)外界干擾的良好跟蹤與估計(jì)，可設(shè)計(jì)如下形式的擾動(dòng)觀測(cè)器[11]：

其中，Z1、Z2是對(duì)式(18)中X1和D的估計(jì)值。k1、k2、L1和L2是觀測(cè)器的增益，0＜p＜1,q＞ 1為冪次系數(shù)。

定理 2：針對(duì)姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)模型式(18)，基于定理1 和擾動(dòng)觀測(cè)器式(24)，設(shè)計(jì)控制器式(21)，則可認(rèn)為本文設(shè)計(jì)的控制器是指定時(shí)間收斂的。下面給出詳細(xì)證明過程。

證.定義李雅普諾夫函數(shù)為：

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)有：

第一步：當(dāng)t≤TC時(shí)，將控制器式(21)代入式(26)，可得：

由于擾動(dòng)觀測(cè)器式(24)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的精確估計(jì)，因此HJ-1D1-Z2=0，則有：

由定理1 可知，系統(tǒng)是指定時(shí)間收斂的，且收斂時(shí)間為TC。

第二步：當(dāng)t＞TC時(shí)，有

綜上所述，即完成了定理2 的證明。

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制器的指定性能指標(biāo)效果以及性能，引入傳統(tǒng)滑?？刂破骱蛡鹘y(tǒng)的PID 控制器以作對(duì)比分析。

（1）傳統(tǒng)滑?？刂破鱗15]

其中，β和b是設(shè)計(jì)的正實(shí)數(shù)，需滿足1＜b＜ 2?？刂坡蒛可設(shè)計(jì)為：

（2）PID 控制器

其中，KP、KI、KD分別代表比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

3.1 特征點(diǎn)仿真

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)控制器的有效性，首先選擇了某一個(gè)特征點(diǎn)進(jìn)行分析，如第70 s 火箭飛行狀態(tài)，具體的火箭參數(shù)選取如表1 所示，而控制器參數(shù)取為p=2.2，τ=0.4，λ=1.8，TC=2s。觀測(cè)器的參數(shù)設(shè)計(jì)為k1=k2=20，L1=L2=100，p=0.9和q=1.8。同時(shí)，系統(tǒng)的初始條件一般可設(shè)置為X1=[0.01 0.01 0.01]Trad，X2=[0.01 0.01 0.01]Trad/s，=[0 0 0]T,UC=[5° 8° 10° ]T?；？刂破鞯膮?shù)設(shè)計(jì)為b=1.32,β=0.32,ρ=0.036，而PID 控制器參數(shù)為KP=diag（[2.8 20 20]），KI=diag（[0.2 0.3 0.3]）和KD=diag（[0.8 15 15]）。特征點(diǎn)處的大氣密度為ρ1=0.3558g/cm3。通過跟蹤參考模型，得到的性能指標(biāo)（以γ通道為例）如表2 所示。隨后，針對(duì)上述的三種控制器，本文同時(shí)開展仿真分析，則仿真結(jié)果可參見表3 和圖2-4。

表1 火箭特征點(diǎn)處的參數(shù)Tab.1 Parameters of the launch vehicle

圖2 姿態(tài)跟蹤響應(yīng)Fig.2 Attitude tracking response

圖3 姿態(tài)跟蹤誤差Fig.3 Attitude tracking errors

圖4 等效舵擺角Fig.4 Equivalent swing angles

由表2 可以看出，通過跟蹤二階參考模型的信號(hào)，本文提出的控制器的性能指標(biāo)（超調(diào)量、上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間）非常接近參考模型而得到預(yù)定的性能指標(biāo)，其他兩種控制器的性能都與參考模型的預(yù)定性能指標(biāo)有較大的差距，因此只有本文提出的控制器實(shí)現(xiàn)了預(yù)定性能要求。

表2 控制性能指標(biāo)Tab.2 Control performance indicators

此外，為了對(duì)比本文所提出控制器的指定時(shí)間收斂性能，給出如表3 所示三種控制器三通道（t=10s時(shí)刻）的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差、最大姿態(tài)角跟蹤誤差和收斂時(shí)間。

表3 三種不同控制器下的仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results under three different controllers

通過對(duì)比滑模控制器、PID 控制器和本文提出控制器的數(shù)值仿真結(jié)果可知，三者均能在一定程度上跟蹤期望參考模型，獲得一定期望的超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間，但是滑?？刂破骱蚉ID 控制器的最終姿態(tài)角誤差都比本文設(shè)計(jì)的控制器大，且不能保證指定時(shí)間的收斂性能。雖然PID 控制器的最大姿態(tài)角誤差最?。ㄔ诔跏茧A段），但會(huì)產(chǎn)生較大的超調(diào)量（如圖3 所示）。相比之下，本文提出的控制器實(shí)現(xiàn)了更高的姿態(tài)控制精度（10-7度量級(jí)），且三通道的控制指令均是平滑且不飽和的。

3.2 不同指定收斂時(shí)間的控制仿真

為了驗(yàn)證所提出控制器的指定時(shí)間收斂性能，在控制器其他參數(shù)不變的條件下，參數(shù)TC分別設(shè)置為2 s、3 s、4 s 和5 s，以俯仰通道為例，得到的仿真結(jié)果如圖5 所示，其他兩個(gè)通道均具有類似結(jié)果，在此不再贅述。

圖5 俯仰通道姿態(tài)角跟蹤誤差Fig.5 Attitude tracking errors of pitch channel

由圖5 可以看出，本文提出的控制器可以保證指定時(shí)間收斂的控制效果，實(shí)際收斂時(shí)間等于控制器設(shè)計(jì)參數(shù)，且控制的姿態(tài)角誤差曲線均是平滑無抖振的，俯仰角的最大跟蹤誤差為0.65926 °。

3.3 仿真結(jié)果分析

通過特征點(diǎn)仿真，三種控制器都能在7s 內(nèi)跟蹤參考模型。但由于其他控制器的收斂時(shí)間與參數(shù)之間沒有明確的關(guān)系，調(diào)整收斂時(shí)間需要復(fù)雜的調(diào)參過程，且另外兩種控制器穩(wěn)態(tài)誤差分別為10-3和10-1量級(jí)，跟蹤誤差較大，所以未能很好的實(shí)現(xiàn)參考模型的指定性能。本文所提出的控制器在指定的時(shí)間收斂，誤差收斂的過程平滑、收斂速度均勻沒有突變，且穩(wěn)態(tài)誤差為10-7度量級(jí)，所以在產(chǎn)生更加平滑和不飽和的三通道控制指令的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了最高精度的跟蹤。

通過修改指定收斂時(shí)間，提出的控制器在指定的時(shí)間實(shí)現(xiàn)了高精度的控制。但收斂時(shí)間增加至5 s 乃至更大的情況下，由于李雅普諾夫函數(shù)有兩項(xiàng)，所以姿態(tài)跟蹤誤差有一定的超調(diào)量，且存在一定的提前收斂情況，但不影響性能。

4 結(jié)論

本文針對(duì)捆綁運(yùn)載火箭跟蹤控制性能易受參數(shù)影響而不確定的問題，提出了一種控制性能指標(biāo)可預(yù)先定制的姿態(tài)控制方法。基于參考模型、姿態(tài)跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)模型和指定時(shí)間收斂函數(shù)，使用反步法設(shè)計(jì)了一種能夠?qū)崿F(xiàn)參考模型預(yù)設(shè)的超調(diào)量為4.57%、上升時(shí)間為2.64 s 和調(diào)整時(shí)間為4.78 s 的指定時(shí)間收斂控制器。同時(shí)，控制器的收斂時(shí)間可以被定義為單一的控制參數(shù)，便于控制器設(shè)計(jì)。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明了該控制器的全局穩(wěn)定性和指定時(shí)間收斂性能。此外，單一特征點(diǎn)處的數(shù)值仿真結(jié)果表明，該控制器具有較高的精度（穩(wěn)態(tài)誤差小于10-6度）和較強(qiáng)的魯棒性，在外部干擾下能夠?qū)崿F(xiàn)指定時(shí)間收斂，且相較于傳統(tǒng)滑模控制器和PID 控制器，本文設(shè)計(jì)的控制器具有更好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。