李 航,彭 程,楊 芳,侯澤群,李楊龍
(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003)
運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬裝置能夠?qū)崿F(xiàn)特定目標(biāo)的速度、軌跡等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模擬,主要用于檢驗(yàn)跟蹤裝備的跟蹤性能,是裝備從研制到應(yīng)用過程中一種至關(guān)重要的測(cè)試設(shè)備。目前使用的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬裝置[1-2]結(jié)構(gòu)形式多為串聯(lián)結(jié)構(gòu),運(yùn)動(dòng)部件慣性較大、工作空間小,只能進(jìn)行運(yùn)動(dòng)目標(biāo)低速、簡單軌跡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模擬,不能進(jìn)行運(yùn)動(dòng)目標(biāo)高運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(高速、急變速、急轉(zhuǎn)彎)模擬,適用范圍受到很大限制。
繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種繼承了剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu),其使用質(zhì)量輕的繩索代替?zhèn)鹘y(tǒng)的剛性支鏈。此類并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要利用多根繩索來調(diào)控末端執(zhí)行器位姿及運(yùn)動(dòng)軌跡,具有工作空間大、運(yùn)動(dòng)速度高、慣性小、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)[3-5],在大型射電望遠(yuǎn)鏡饋源支撐系統(tǒng)、飛行器風(fēng)洞支撐系統(tǒng)、人體康復(fù)訓(xùn)練器、三維打印設(shè)備等方面得到應(yīng)用[6-14]。
近年來,國內(nèi)外學(xué)者在繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器位姿測(cè)量方面進(jìn)行了一些研究工作。文獻(xiàn)[15]提出了一種結(jié)合繩索長度測(cè)量數(shù)據(jù)和角位移測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)融合方法,解決了通過測(cè)量繩索長度得到末端執(zhí)行器位置精度不高的問題,獲得了更為精確的末端執(zhí)行器位姿。文獻(xiàn)[16]開發(fā)了繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)視覺測(cè)量平臺(tái),編寫了一種在線圖像處理程序,對(duì)末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)位置進(jìn)行了實(shí)時(shí)跟蹤,提取了末端執(zhí)行器位姿數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[17]提出了一套三維姿態(tài)伺服系統(tǒng),可間接測(cè)量出末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。文獻(xiàn)[18]針對(duì)用于風(fēng)洞試驗(yàn)的多自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu),用雙目視覺測(cè)量系統(tǒng)分別對(duì)3種典型運(yùn)動(dòng)軌跡下末端執(zhí)行器動(dòng)態(tài)位姿進(jìn)行了測(cè)量。文獻(xiàn)[19]提出了一種基于彩色編碼的機(jī)器視覺位姿測(cè)量方法,實(shí)現(xiàn)了副油箱風(fēng)洞模型的位姿動(dòng)態(tài)測(cè)量。由于繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)還沒有在運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬裝置中應(yīng)用,故極少見到與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬相關(guān)的研究文獻(xiàn)。
對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬裝置,其末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡精度直接影響了運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬的質(zhì)量。本文針對(duì)用于高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬的平面4繩牽引2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),基于末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡離散點(diǎn)測(cè)量數(shù)據(jù),研究末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡精度評(píng)價(jià)方法,為提高末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡控制精度提供理論依據(jù)。
針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬裝置需要模擬的直線、拋物線和圓運(yùn)動(dòng)軌跡,研究基于最小二乘法的軌跡誤差評(píng)價(jià)方法。
基于最小二乘法[20]對(duì)直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差進(jìn)行評(píng)價(jià),以最小二乘中線為直線運(yùn)動(dòng)軌跡的理想直線,與之平行的兩條距離最近且包容實(shí)際軌跡線的平行線之間的距離為直線軌跡誤差的最小二乘評(píng)價(jià)值。計(jì)算時(shí)以各測(cè)量軌跡坐標(biāo)點(diǎn)偏差值的最小二乘法中線作為評(píng)價(jià)基線,求得評(píng)價(jià)基線兩側(cè)最遠(yuǎn)測(cè)量點(diǎn)至該基線的距離,即可求出末端執(zhí)行器直線運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差最小二乘法評(píng)價(jià)值。
按照最小二乘法中線法評(píng)價(jià)直線軌跡誤差,其誤差值是唯一確定的,具體的步驟如下:
①求解出最小二乘法中線。設(shè)工作平面為XOY,平面內(nèi)的直線方程可表示為:
y=kx+b,
(1)
其中:k、b分別為直線的斜率和在Y軸上的截距。
軌跡上各測(cè)量點(diǎn)為Pi(xi,yi),i=1,2,…,n,由最小二乘法原理,得到目標(biāo)函數(shù)為:
(2)
然后,根據(jù)極值原理,要使式(2)的目標(biāo)函數(shù)最小,即:
(3)
聯(lián)合式(2)和式(3)可得矩陣方程:
(4)
由式(4)可得最小二乘法中線斜率k和截距b,所以,最小二乘法中線方程為:
(5)
②求各測(cè)量點(diǎn)Pi到最小二乘法中線的距離hi,如式(6)所示,然后分別找出兩側(cè)測(cè)量點(diǎn)至該中線距離的最大值hr-max和hl-max,進(jìn)而求得末端執(zhí)行器直線運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差值δl,
(6)
式(6)為點(diǎn)到直線的距離公式,本文不對(duì)其取絕對(duì)值,主要原因?yàn)椋涸谠摴街挟?dāng)點(diǎn)位于直線的左側(cè)時(shí)得到的hi為負(fù)值,點(diǎn)位于直線的右側(cè)時(shí)得到的hi為正值,所有負(fù)值中的最小值即hl-max,所有正值中的最大值即hr-max,這樣可以很方便地獲得直線兩側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)到直線的距離。
δl=hr-max+|hl-max|。
(7)
基于最小二乘法對(duì)拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差進(jìn)行評(píng)價(jià),首先使用最小二乘法擬合得到最小二乘法拋物線,然后計(jì)算出各實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到最小二乘法拋物線的最小法向距離,得到外側(cè)測(cè)量點(diǎn)到最小二乘法拋物線的最小法向距離中的最大值和內(nèi)側(cè)測(cè)量點(diǎn)的最小法向距離中的最小值,最后求出平面內(nèi)拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差值。本文中定義最小法向距離為測(cè)量點(diǎn)與該點(diǎn)的拋物線法線與拋物線的最近交點(diǎn)的距離。軌跡誤差評(píng)價(jià)流程如下:
①擬合出最小二乘拋物線。設(shè)平面內(nèi)的拋物線方程為:
f(x,y)=Ax2+Bx+C-y。
(8)
拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡上各測(cè)量點(diǎn)為Pi(xi,yi),i=1,2,…,n,根據(jù)最小二乘法原理得到目標(biāo)函數(shù)為:
(9)
根據(jù)極值原理,要使式(9)的目標(biāo)函數(shù)最小,有:
(10)
聯(lián)合式(9)和式(10)可得矩陣方程為:
(11)
對(duì)式(11)進(jìn)一步求解,可得最小二乘拋物線的A、B、C值,即可得最小二乘拋物線方程。
圖1 軌跡測(cè)量點(diǎn)與最小二乘拋物線關(guān)系圖
(12)
(13)
③判斷各測(cè)量點(diǎn)在最小二乘拋物線的方位。根據(jù)拋物線的幾何知識(shí),通過計(jì)算測(cè)量點(diǎn)在最小二乘拋物線方程中值的大小,可以判斷出各個(gè)測(cè)量點(diǎn)是位于拋物線的外側(cè)還是內(nèi)側(cè)。將各測(cè)量點(diǎn)分別代入式(8),當(dāng)f(x,y)>0時(shí),表明測(cè)量點(diǎn)是位于最小二乘拋物線的外側(cè),此時(shí)di為正值;當(dāng)f(x,y)<0時(shí),表明測(cè)量點(diǎn)是位于最小二乘拋物線的內(nèi)側(cè),此時(shí)di為負(fù)值。
④計(jì)算拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差。將拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差δp定義為外側(cè)各測(cè)量點(diǎn)到最小二乘拋物線的最小法向距離中的最大值dmax與內(nèi)側(cè)各測(cè)量點(diǎn)的最小法向距離中的最小值dmin之間的差值,即:
δp=dmax-dmin。
(14)
基于最小二乘法對(duì)圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差進(jìn)行評(píng)價(jià),以最小二乘圓作為評(píng)價(jià)基準(zhǔn),求各測(cè)量點(diǎn)到最小二乘圓圓心距離的最大值和最小值,即可求出圓運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差值。如圖2所示,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,設(shè)最小二乘圓的圓心為O′點(diǎn),在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)為(a,b),最小二乘圓的半徑為R0。圓的軌跡方程可以表示為:
圖2 最小二乘圓法
(15)
圓運(yùn)動(dòng)軌跡上各測(cè)量點(diǎn)為Pi(xi,yi),i=1,2,…,n,根據(jù)最小二乘原理得到目標(biāo)函數(shù)為:
(16)
為了得到最小化問題的直接解,并且避免平方根,對(duì)式(16)進(jìn)行改進(jìn),即:
(17)
進(jìn)一步可化為:
(18)
(19)
要使目標(biāo)函數(shù)最小,即:
(20)
聯(lián)立式(19)和式(20)可求得A、B、C,然后,根據(jù)式(21)可以求出最小二乘圓的圓心坐標(biāo)和半徑值,即:
(21)
定義各測(cè)量點(diǎn)到最小二乘圓圓心的距離Δri為:
(22)
圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差δc為Δri中的最大值Δrmax和最小值Δrmin的差值,即:
δc=Δrmax-Δrmin。
(23)
圖3為繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)和末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡機(jī)器視覺測(cè)量系統(tǒng)。利用基于高速攝像機(jī)的視覺測(cè)量系統(tǒng)對(duì)末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行采集和處理,獲取末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡離散點(diǎn)的二維坐標(biāo)值。
圖3 繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)和末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡測(cè)量系統(tǒng)
相關(guān)參數(shù)設(shè)置:運(yùn)動(dòng)圖像分辨率為1 600 pixel×1 086 pixel,采集幀率為30幀/s,直線、拋物線、圓運(yùn)動(dòng)軌跡圖像各采集3組。
末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡方程分別為:
直線運(yùn)動(dòng)軌跡方程:
y=x,x∈[-283,283]。
(24)
拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡方程:
y=0.007 2x2-300,x∈[-283,283]。
(25)
圓運(yùn)動(dòng)軌跡方程:
x2+y2=4002,x∈[-400,400]。
(26)
對(duì)末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡離散點(diǎn)進(jìn)行擬合,可得到末端執(zhí)行器的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖4、圖5和圖6所示。
利用第1節(jié)提出的末端執(zhí)行器軌跡精度評(píng)價(jià)方法,分別對(duì)圖4、圖5和圖6中測(cè)量軌跡所表示的數(shù)據(jù)計(jì)算其軌跡誤差。表1、表2和表3分別展示了3種軌跡測(cè)量數(shù)據(jù)的相關(guān)計(jì)算結(jié)果。
圖4 直線運(yùn)動(dòng)測(cè)量軌跡
圖5 拋物線運(yùn)動(dòng)測(cè)量軌跡
圖6 圓運(yùn)動(dòng)測(cè)量軌跡
表1 直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差計(jì)算結(jié)果
表2 拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差計(jì)算結(jié)果
表3 圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差計(jì)算結(jié)果
由表1~表3中的計(jì)算結(jié)果可知:直線、拋物線、圓3種運(yùn)動(dòng)軌跡的最大誤差絕對(duì)數(shù)值分別為12.341 810 mm、16.428 087 mm、18.063 675 mm。為更好評(píng)判得到的誤差能否滿足裝置的運(yùn)行精度要求,在測(cè)量范圍內(nèi)對(duì)最大誤差絕對(duì)數(shù)值進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算。
①直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差:
(27)
其中:L為直線運(yùn)動(dòng)軌跡長度。
②拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差:
(28)
其中:Lp為拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡長度。
③圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差:
(29)
其中:D為圓運(yùn)動(dòng)軌跡直徑。
由上述計(jì)算結(jié)果可以看出:分別對(duì)3種運(yùn)動(dòng)軌跡的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,得到末端執(zhí)行器直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差為1.54%,拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差為1.23%,圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差為2.26%,圓運(yùn)動(dòng)軌跡誤差大于直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差,直線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差大于拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡誤差。
對(duì)軌跡誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析,主要原因有4個(gè):
(Ⅰ)繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)試驗(yàn)樣機(jī)的制造和安裝誤差。試驗(yàn)樣機(jī)在研制時(shí)零部件的加工制造誤差以及安裝定位誤差將直接影響到末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡精度。
(Ⅱ)繩索彈性形變?cè)斐傻恼`差。在末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)過程中,由于繩索受拉力會(huì)有彈性形變,導(dǎo)致繩索實(shí)際長度與理論計(jì)算長度之間存在偏差,從而使末端執(zhí)行器實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置與理論運(yùn)動(dòng)位置之間存在誤差。
(Ⅲ)控制系統(tǒng)的控制誤差。由于控制系統(tǒng)本身的制造誤差再加上存在外界擾動(dòng)使得期望輸出量與實(shí)際輸出量存在偏差,從而使運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生了一定的誤差。
(Ⅳ)測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量誤差。由于測(cè)量系統(tǒng)中單目攝像機(jī)存在標(biāo)定誤差以及環(huán)境亮度等對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的影響,導(dǎo)致測(cè)量值與真實(shí)值之間存在誤差。
本文采用基于機(jī)器視覺的測(cè)量系統(tǒng)對(duì)繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器直線、拋物線和圓運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了測(cè)量,基于最小二乘法對(duì)測(cè)量得到的運(yùn)動(dòng)軌跡離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算,得到了3種運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差值,完成了末端執(zhí)行器的軌跡精度評(píng)價(jià),為提高末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡控制精度提供了理論依據(jù)。