董濤

“田忌賽馬”是人教版數(shù)學(xué)四年級上冊第八單元的例3。本課時是在學(xué)生掌握運籌問題的基礎(chǔ)上教學(xué)的，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從多種“對策”方案中尋找“最優(yōu)策略”的過程，形成優(yōu)化思想。

一、借助游戲，萌發(fā)優(yōu)化意識

《田忌賽馬》是最古老、最成功的對策論的案例。如何引導(dǎo)學(xué)生從故事中發(fā)掘數(shù)學(xué)知識，在分析不同策略中理解優(yōu)化過程，形成優(yōu)化意識呢？

上課伊始，筆者引導(dǎo)學(xué)生用撲克牌玩“比大小”游戲，感知“以小勝大”。筆者先用課件呈現(xiàn)如下兩組撲克牌及游戲規(guī)則：

接著，筆者要求同桌兩人各選一組撲克牌進行游戲，看誰能贏得比賽。游戲結(jié)束后，筆者組織學(xué)生交流。一名學(xué)生說：“黑牌先出，我用紅桃8、6、4分別與黑桃9、7、5比，結(jié)果三場都輸了?！绷硪幻麑W(xué)生說：“紅牌先出，我用黑桃5、7、9分別與紅桃4、6、8比，結(jié)果我贏了三場?！惫P者順勢設(shè)疑：“為什么剛才兩組都是紅牌輸了比賽，是不是每張黑牌都比紅牌大？”一名學(xué)生說：“是的，黑牌整體要比紅牌大，紅牌不可能贏黑牌?！惫P者暫不給予評判，而是提示：“雖然黑牌整體比紅牌大，但是將紅牌的出牌順序打亂，有沒有可能獲勝？”一名學(xué)生說：“有可能。若用紅桃4與黑桃9比，再用紅桃8與黑桃7比，最后用紅桃6與黑桃5比，紅牌就會贏兩場，持紅牌者會以2：1獲勝?！惫P者肯定道：“你真棒！竟然用小牌戰(zhàn)勝了大牌。雖然黑牌整體比紅牌大，但只要我們對應(yīng)的策略運用得當(dāng)，就能以小牌勝大牌?！?/p>

撲克牌“比大小”活動激活了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，使學(xué)生感知到對策問題中的可能性大小，體會到“以小勝大”事實的存在，初步產(chǎn)生了優(yōu)化意識，為后續(xù)探究奠定了基礎(chǔ)。

二、借助故事，突出優(yōu)化思想

優(yōu)化思想就是從優(yōu)化的角度在多種解決問題的方案中尋找最優(yōu)方案，體會最優(yōu)思想在實際生活中的應(yīng)用，進而形成基本的策略模型的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中，筆者將“田忌賽馬”中的六匹馬的實力分別用數(shù)據(jù)表示，引導(dǎo)學(xué)生借助“以小勝大”的經(jīng)驗，探究“以弱勝強”的策略。課堂上，筆者呈現(xiàn)例3后，組織如下教學(xué)活動。

師：若用4～9這六個數(shù)字給齊王、田忌的馬按實力打分，最高分應(yīng)該給哪匹馬？為什么？

生₁：最高分9分應(yīng)該給齊王的上等馬，因為齊王的三個層次馬的實力都優(yōu)于田忌的三個層次的同等馬。

師：田忌的上等馬應(yīng)該打多少分呢？為什么？

生₂：田忌的上等馬應(yīng)該打8分，因為上等馬優(yōu)于中等馬，中等馬優(yōu)于下等馬。

師：其他的馬呢？

生₃：齊王的中等馬應(yīng)該打7分，下等馬應(yīng)該打5分；田忌的中等馬應(yīng)該打6分，下等馬應(yīng)該打4分。

師：田忌是不是沒有可能戰(zhàn)勝齊王？

生₄：只要對應(yīng)策略正確，還是有可能戰(zhàn)勝齊王的。

師：田忌要想戰(zhàn)勝齊王，第一場應(yīng)該用哪種馬去對陣齊王的上等馬？為什么？

生₅：田忌應(yīng)該用下等馬（4分）對陣齊王的上等馬（9分）。田忌表面看是輸了第一場，實際上他不僅消耗了齊王3分的優(yōu)勢，還“賺了”2分，接下來的兩場比賽田忌就有優(yōu)勢了。

師：后兩場比賽，田忌無論怎樣對陣是不是都能獲勝？

生₆：不是。如果第二場齊王用中等馬（7分）出陣，田忌就出上等馬（8分）對陣；如果齊王用下等馬（5分）出陣，田忌就出中等馬（6分）對陣，這樣田忌才能確保贏兩場，以2∶1的結(jié)果獲勝，實現(xiàn)“以弱勝強”。

師：田忌一共有多少種方案對陣齊王？田忌戰(zhàn)勝齊王的策略是唯一的嗎？請同學(xué)們小組研究后匯報。

生₇：田忌一共有6種對陣策略，其中5種策略齊王可以獲勝，只有1種策略田忌可以獲勝。具體對陣策略如下表。

師：通過比賽可以看出，田忌要想獲勝，除了運用最優(yōu)策略外，還有一個重要的條件，那就是齊王必須先出馬，否則田忌無法獲勝。

以上教學(xué)，學(xué)生通過數(shù)據(jù)的分析、比較，不僅感受到數(shù)據(jù)的力量，而且體會到對陣策略的多樣性，深化了對優(yōu)化思想的理解。

三、借助“做一做”，掌握優(yōu)化策略

為幫助學(xué)生理清優(yōu)化思路，形成對優(yōu)化策略的清晰認知，課堂上，筆者把教材第106頁的“做一做”（如下圖）設(shè)計成“三種假設(shè)”并展開活動。

假設(shè)一：假設(shè)對方第一場出紅桃9，小紅該怎樣出牌才能獲勝？

第一小組代表回答：“第一場小紅應(yīng)出黑桃3，輸?shù)舻谝痪?。第二場對方若出紅桃7，小紅就出黑桃8，第三場小紅就以黑桃6贏紅桃5；第二場對方若出紅桃5，小紅就出黑桃6，第三場小紅就用黑桃8贏紅桃7。這樣最終結(jié)果都是小紅以2∶1獲勝?！惫P者追問：“為什么小紅要故意輸?shù)舻谝粓鲞@一局？”該名學(xué)生回答：“因為紅桃9在六張牌中最大，小紅不論用哪一張牌去比，都會輸?shù)暨@一局，既然這一局肯定會輸，那就用小紅最小的牌去比，這樣就極大地消耗了對方的優(yōu)勢，為后面兩場比賽獲勝提供了保障?！?/p>

假設(shè)二：假設(shè)對方第一場出紅桃7，小紅該怎樣出牌才能獲勝？

第二小組代表回答：“第一場小紅應(yīng)該出黑桃8，贏第一局，第二場對方若出紅桃9，小紅就出黑桃3，第三場小紅用黑桃6贏紅桃5；第二場對方若出紅桃5，小紅就出黑桃6。這樣小紅仍以2∶1獲勝。”筆者追問：“為什么第一場不故意輸?shù)舯荣?？”他接著回答：“因為后面兩場比賽中，肯定有一場要輸，若第一場輸?shù)袅吮荣?，那小紅就沒有獲勝的機會了，所以第一場必須贏得比賽，整體才有機會獲勝。”

假設(shè)三：假設(shè)對方第一場出黑桃5，小紅該怎樣出牌才能獲勝？

第三小組代表回答：“第一場小紅應(yīng)該出黑桃6，贏第一局。第二場對方若出紅桃9，小紅就出黑桃3，輸?shù)暨@一局，第三場小紅就穩(wěn)贏了；第二場對方若出紅桃7，小紅出黑桃8，第三場小紅會輸?shù)舯荣悾罱K結(jié)果小紅還是以2∶1獲勝?！惫P者追問：“第一場小紅為什么不用黑桃8對戰(zhàn)紅桃5？”他接著回答：“如果第一場小紅用黑桃8去贏得比賽，那后面兩場無論怎么出牌，小紅都會輸，最后就不可能獲勝了。”

經(jīng)歷了實踐活動，學(xué)生找到了“以小勝大”的策略，“讓對方先出、以最小對戰(zhàn)最大、最終贏兩場”，感悟到最優(yōu)策略的價值。

（作者單位：應(yīng)城市楊嶺鎮(zhèn)中心小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏