劉江艷

單元作業(yè)在整體思維的引領(lǐng)下，注重各單元知識間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)從問題解決層面引導(dǎo)學(xué)生感悟知識的整體性，有利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)。筆者基于單元整體教學(xué)理念，從“課時內(nèi)作業(yè)、跨課時作業(yè)、跨單元作業(yè)”三個維度，談?wù)剬ψ鳂I(yè)設(shè)計的思考。

課時內(nèi)、跨課時和跨單元三類作業(yè)的選題注重各單元知識間的關(guān)聯(lián)，考查點分別指向基礎(chǔ)夯實、知識遷移和能力提升，同時兼顧分層，以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。以下是學(xué)生分課時學(xué)習(xí)一元二次方程解法及根與系數(shù)的關(guān)系后，筆者設(shè)計的作業(yè)。

一、課時內(nèi)作業(yè)設(shè)計策略

課時內(nèi)作業(yè)針對每課時的重點知識和技能設(shè)計，是單元作業(yè)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，面向全體學(xué)生。這部分作業(yè)旨在幫助學(xué)生梳理“一元二次方程”單元內(nèi)相關(guān)知識點，宜選考查點相對單一的常規(guī)典型題，幫助學(xué)生鞏固“雙基”，訓(xùn)練靈活解方程的能力。本單元知識點包含一元二次方程的定義和四種解法、根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系等。據(jù)此，筆者在控制題目難度和體量的基礎(chǔ)上，設(shè)計了以下作業(yè)。

1.下列方程是一元二次方程的是（? ?）。

A.x²+y+3=0? ? ? B.3x²－2=0

C.x²+1/x=7? ? ? ? D.5x+3=0

2.若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x²+x+a²－1=0的一個根是0，則a的值為（? ?）。

A.1? ? ?B.－1? ?C.±1? ? ? D.0

3.一元二次方程4x²+1=4x的根的情況是（? ?）。

A.無實數(shù)根

B.只有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根

D.有兩個不相等的實數(shù)根

4.用配方法解方程x²+4x+1=0，配方正確的是（? ?）。

A.（x－2）²=5? ? ? B.（x－2）²=3

C.（x+2）²=5? ? ?D.（x+2）²=3

5.已知α、β是一元二次方程x²+x-2=0的兩個實數(shù)根，則α+β－αβ的值是__________________。

6.關(guān)于x的方程mx²－2x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么m的取值范圍是______________。

7.設(shè)x₁、x₂是一元二次方程x²－mx－6=0的兩個根，且x₁+x₂=1，則x₁=__________，x₂=____________。

8.解方程：①3x²+5（2x+1）=0

②3（x－2）²=x（x－2） （用兩種不同的方法解）

以上題目中，第1～7題涉及考點一元二次方程的定義、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、配方法等；第6、7題變換題型進(jìn)一步鞏固單元重點知識；第8題針對解方程的基本技能而設(shè)計，“用兩種不同的方法解”旨在讓學(xué)生感受方法選擇的必要性。

二、跨課時作業(yè)設(shè)計策略

跨課時作業(yè)是將單元內(nèi)各知識點融合起來進(jìn)行綜合考查的作業(yè)。與課時內(nèi)作業(yè)相比，跨課時作業(yè)的綜合性增強(qiáng)，難度有所提升，有利于促進(jìn)學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用知識解決問題的能力，從而完成對所學(xué)知識的遷移。

對于“一元二次方程”單元，方程解法是基本技能，解法與根的判別式不可分割；根與系數(shù)的關(guān)系與根的意義關(guān)系密切；解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系均與一元二次方程的一般式緊密相連。筆者抓住這部分知識間的橫向聯(lián)系，關(guān)注解題方法的多樣性，注意控制題目難度和深度，設(shè)計了如下作業(yè)。

9.已知關(guān)于x的一元二次方程x²+kx-6=0有一個根為-3，則方程的另一個根為___________。

10.已知等腰三角形ABC的兩邊AB、BC的長是關(guān)于x的方程x²－mx+m/2－1/4=0的兩個實數(shù)根。①求證：無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；②如果三角形第三邊AC的長為2，那么等腰三角形ABC的周長是多少？

11.如下圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm。在其四個角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，矩形硬紙板剩下的面積為500cm²？當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的底面積為200cm²？

從題意看，第9題是考查一元二次方程的根的意義，但其解法涉及解方程的技能、根與系數(shù)關(guān)系的理解，能體現(xiàn)以上知識點間的相關(guān)性；第10題將根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及根的定義等知識融合，并置于幾何問題背景中，要求學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為探究方程根的問題，再加以解決；第11題是方程的實際應(yīng)用問題，其本質(zhì)是探究方程的解是否符合題意，解決此題需要學(xué)生建立方程模型。

三、跨單元作業(yè)設(shè)計策略

跨單元作業(yè)是基于單元整體教學(xué)理念設(shè)計的、旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作業(yè)。該作業(yè)注重體現(xiàn)單元與單元知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中體會單元內(nèi)容所蘊含的數(shù)學(xué)思想。

一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程（組）以及一元二次方程等小單元歸屬于“方程與不等式”這個大單元。“方程與不等式”單元內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的基本工具，為學(xué)生展開數(shù)學(xué)應(yīng)用提供了基本模型，也是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。不僅如此，解二元一次方程（組）的“消元”和解一元二次方程的“降次”等方法都體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。筆者結(jié)合以上分析，重點圍繞化歸思想設(shè)計了3道作業(yè)題。以閱讀探究題為例：

12.觀察下列式子，完成后面的問題。

x²+4x+2=（x²+4x+4）－2=（x+2）²－2

∵（x+2）²≥0，∴x²+4x+2=（x+2）²－2≥－2，原式有最小值，是－2;

－x²+2x－3=－（x²－2x+1）－2=－（x－1）²－2

∵－（x－1）²≤0，

∴－x²+2x－3=－（x－1）²－2≤－2，原式有最大值，是－2。

問題：①求代數(shù)式－2x²+100x的最值；②解決實際問題“在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個長方形花圃（如下圖），設(shè)長方形一邊長x米，花圃的面積為S平方米。完成下列任務(wù)：用含x的式子表示花圃的面積S；說明當(dāng)x取何值時，花圃的面積S為1200平方米？當(dāng)x取何值時，花圃的面積S最大？最大面積是多少平方米？

這道題以閱讀材料的方式呈現(xiàn)，為學(xué)生探究問題提供了支架。其內(nèi)容融合了配方法和以實際問題為背景的最值問題，體現(xiàn)了方程與函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性。解決問題①時，學(xué)生在閱讀材料的提示下，利用“配方法”對代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出代數(shù)式的最值，并在解決問題的過程中體會“配方法”所蘊含的化歸思想。解決問題②時，學(xué)生先探究數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式“-2x²+100x”，呈現(xiàn)函數(shù)模型“S=-2x²+100x”；接著針對“當(dāng)x取何值時，花圃的面積為1200平方米？”的問題，構(gòu)建一元二次方程模型“-2x²+100x=1200”，并計算解決；“當(dāng)x取何值時，花圃的面積S最大？花圃的最大面積是多少平方米？”的問題是函數(shù)最值問題，學(xué)生將其巧妙地轉(zhuǎn)化為問題①，即求代數(shù)式“-2x²+100x”的最值，問題解決便水到渠成。該題有一定的難度，適合學(xué)有余力的學(xué)生完成，或全班學(xué)生在教師的引導(dǎo)下完成。

一般來講，課時內(nèi)作業(yè)在課堂上完成，跨課時作業(yè)在課后完成，跨單元作業(yè)是選做作業(yè)。

（作者單位：襄陽市第三十五中學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳