孔維娜 陳惠汝 冷 悅

（黃岡師范學(xué)院 湖北黃岡 438000）

一、背景信息

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya，1887-1985）為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，專門研究了解題的思維過(guò)程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是分析解題的思維過(guò)程得到一張“怎樣解題”表，該表包括“了解問(wèn)題”“擬定計(jì)劃”“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四個(gè)步驟。波利亞曾說(shuō)“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，它不僅是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的手段，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力具有非常重要的作用。通過(guò)解題教學(xué)理論學(xué)習(xí)與教學(xué)實(shí)踐，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

本案例源于一次模擬題，將其作為教學(xué)案例，是因?yàn)樗怀隽藢W(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，全面滲透了波利亞“怎樣解題表”的過(guò)程，教學(xué)設(shè)計(jì)具有典型，具有推廣的價(jià)值。通過(guò)設(shè)計(jì)解題教學(xué)，解決了三角函數(shù)中一道看似無(wú)從下手的求余弦值題目。教師認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握了三角函數(shù)的性質(zhì)、定理以及垂線的定理、向量的計(jì)算。但是學(xué)生對(duì)于題目中給出的垂線條件卻無(wú)法應(yīng)用，于是出現(xiàn)了教與學(xué)思維不同步以及學(xué)生之間認(rèn)知沖突的矛盾，經(jīng)過(guò)教師的啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生將已有的概念進(jìn)行整合，利用向量的數(shù)量積實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，不僅解決了這道問(wèn)題，而且通過(guò)舉一反三，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步提升。

G老師任教于南京普通高中多年，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富。他的這節(jié)解題教學(xué)案例選用的是一次模擬考試，在考試結(jié)束后他發(fā)現(xiàn)有道題的檢測(cè)結(jié)果非常不理想，正確率只有9%。該題目顯示在△ABC中，已知是的垂心（三角形三條高所在直線的交點(diǎn)），，求cos∠BAC的值。

老師反思：為什么這么多的學(xué)生都不會(huì)做這道題甚至毫無(wú)頭緒呢？而關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)、定理，向量的計(jì)算都教過(guò)了，課后習(xí)題掌握的也不錯(cuò)，但是學(xué)生為什么無(wú)法解出這道題呢？

教師通過(guò)合理地設(shè)計(jì)解題教學(xué)，有效地組織解題教學(xué)，可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高他們的數(shù)學(xué)教學(xué)基本素養(yǎng)?；诖?，老師發(fā)現(xiàn)波利亞的解題理論和這一題目相契合，因此編制了關(guān)于本題的解題教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、案例正文

在上課前，G老師把測(cè)試卷發(fā)放到同學(xué)們手中，并和該題正確的學(xué)生進(jìn)行了短暫的交流。上課開始的時(shí)候，G老師表明今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是解決一道正確率極低的題，隨后，將本題寫到了黑板上，讓大家仔細(xì)審題。

【教學(xué)片段1】

1.已知和未知弄清楚了嗎？

師：請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)看，解題之前要做什么？

生1：明白已知和未知。

師：數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“回答一個(gè)尚未弄清的問(wèn)題是愚蠢的”。我相信大家都不愿意成為一個(gè)愚蠢的人，那我們先來(lái)看看這道題所包含的已知信息和未知信息有哪些？

生1：已知：

未知的是cos∠BAC的值。

師：已知的H和向量AH有什么特征？

生1：已知的H是△ABC的垂心且知道向量的關(guān)系式。

師：那你能從已知得到什么呢？

教師自評(píng)：在開展本次案例教學(xué)之前，我聽(tīng)過(guò)幾位教師的同題講解，有的教師直接省略審題環(huán)節(jié)，對(duì)例題進(jìn)行講解，節(jié)省了大把的時(shí)間，但不利于學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。因此，我毫不猶豫地帶領(lǐng)學(xué)生從審題環(huán)節(jié)入手，讓學(xué)生通過(guò)審題抓住題目中的關(guān)鍵信息，進(jìn)而為解決問(wèn)題打好基礎(chǔ)。

2.解題思維如何產(chǎn)生？

在完成初步的審題之后，G老師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題方法的探索。

【教學(xué)片段2】

G老師給了同學(xué)們10分鐘獨(dú)立思考的時(shí)間。他在教室轉(zhuǎn)了一圈，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)的狀態(tài)是緊鎖眉頭，仰視著黑板，沒(méi)有什么思路的樣子。個(gè)別同學(xué)在紙上寫出了一些關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式得出了一個(gè)式子，但大多數(shù)同學(xué)止步于此，再無(wú)其他進(jìn)展。G老師便開始詢問(wèn)同學(xué)們?cè)诮忸}的過(guò)程中遇到了哪些困難？好多同學(xué)反映：結(jié)論要求cos∠BAC就需要知道△ABC中邊角關(guān)系，將兩邊平方，平方后雖然出現(xiàn)了cos∠BAC，但也出現(xiàn)了無(wú)法處理，也就沒(méi)辦法解題。這時(shí)，G老師啟發(fā)學(xué)生們將各種數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。

師：這道題考察什么樣的方法，源頭在哪里？教材中有沒(méi)有此類方法的例子？大家找找看課本中是否有這樣的例子。同學(xué)可以小組合作。5分鐘過(guò)后，G老師請(qǐng)各小組代表匯報(bào)本組的討論進(jìn)展。

組1：回歸教材（蘇教版）必修5第13頁(yè)余弦定理的證明。教材中對(duì)向量等式兩邊平方證得余弦定理。我們這個(gè)方法，將兩邊進(jìn)行了平方，卻沒(méi)有辦法做下去。

在這里教師詢問(wèn)1組的學(xué)生，那么你們有什么條件沒(méi)有用到呢？是不是一定要平方才能得到邊角關(guān)系呢？在教師的提問(wèn)下，其他小組得到了啟發(fā)。

組2：小組2在教師的啟發(fā)下，回歸教材（蘇教版）必修5第6頁(yè)正弦定理的證法2，在△ABC中，不妨設(shè)∠C為最大角，過(guò)點(diǎn)A做AD⊥BC于D。

師：大家找的都很好，我們通過(guò)對(duì)余弦定理和正弦定理的回歸學(xué)習(xí)，理解了“向量的數(shù)量積是將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式的常用工具”。同時(shí)發(fā)現(xiàn)原題目中H是△ABC的垂心這一條件，可以將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。請(qǐng)各小組繼續(xù)討論，數(shù)量積應(yīng)該怎么轉(zhuǎn)化？

2.鐘后，小組3的同學(xué)們舉手，躍躍欲試，G老師請(qǐng)他們分享結(jié)果。

組3：老師，我們可以利用H是△ABC的垂心這一條件，知道，同理我們可得，通過(guò)兩個(gè)垂直的條件利用數(shù)量積的轉(zhuǎn)化可得出cos∠BAC的值。師：很好，請(qǐng)說(shuō)出你的推導(dǎo)過(guò)程。

師：這個(gè)解法很漂亮。那是怎么想到的呢？

組3：我們就是根據(jù)回顧的正弦和余弦定理的證明過(guò)程得知的，通過(guò)把向量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出∠ BAC 的余弦值。

師：一個(gè)好的解題方式就這樣產(chǎn)生了，哪個(gè)同學(xué)愿意分享一下自己的收獲呢？

生2：在解題思路的探索過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性，將一個(gè)未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自己所學(xué)過(guò)的知識(shí)，降低解題的難度。另外，通過(guò)本題的學(xué)習(xí)，我還知道好的念頭是解決成功的法寶，在本題中數(shù)量積是很有用的一個(gè)工具。

師：這位同學(xué)總結(jié)得很好。

教師自評(píng)：“H是△ABC的垂心”這個(gè)條件怎么用是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。在整個(gè)解題的過(guò)程中，我覺(jué)得解題的目標(biāo)重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考構(gòu)建數(shù)學(xué)思維是非常重要的，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化思想更為重要。只有將已學(xué)的各個(gè)部分有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，才能夠成功地將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化，即形成初步的數(shù)學(xué)思維，使問(wèn)題迎刃而解。波利亞告訴我們：“一個(gè)好念頭的基礎(chǔ)是過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和已知的知識(shí)，僅僅到記憶不足以產(chǎn)生好的念頭。”因此，我覺(jué)得鼓勵(lì)學(xué)生將已有知識(shí)和現(xiàn)有的知識(shí)連接起來(lái)是很重要的。

3.解題計(jì)劃的實(shí)施過(guò)程

與同學(xué)們一起制定解題計(jì)劃之后，G老師安排生3到黑板上書寫解題過(guò)程，并要求其他同學(xué)在草稿紙上完成。

【教學(xué)片段3】

師：請(qǐng)大家看黑板，說(shuō)一說(shuō)生3的解題過(guò)程是不是很完整？

生4：他在計(jì)算時(shí)，雖然將兩種情況都寫了出來(lái)，但是沒(méi)有將兩個(gè)結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，故沒(méi)有得出的余弦值。

師：那我們應(yīng)該怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生5：應(yīng)該將（2）中得出的結(jié)論代入到（1）式中才能得出正確的結(jié)論。

師：數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)對(duì)人的考驗(yàn)更大。在條件不充分的情況下就不能下結(jié)論，具有整體的聯(lián)系觀念也是非常重要的。如果解題不規(guī)范，就不能算是完整的解題。通過(guò)這一點(diǎn)，波利亞告訴了我們，相比擬定解題計(jì)劃，實(shí)施計(jì)劃要容易得多。但在這一過(guò)程中，最主要的就是耐心！耐心寫出每一步，確保每一步計(jì)算的準(zhǔn)確性，而且要學(xué)會(huì)將解出的答案進(jìn)行前后聯(lián)系。

G老師利用實(shí)物投影儀展示了其他四個(gè)同學(xué)的解題過(guò)程，對(duì)他們的解題過(guò)程進(jìn)行了評(píng)價(jià)，對(duì)他們忽略的細(xì)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)充。

教師自評(píng)：在解題的過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)為對(duì)問(wèn)題有了解題的思路且算出結(jié)果就是完成任務(wù)了。但是他們對(duì)解題過(guò)程的規(guī)范性卻不夠重視，常常出現(xiàn)會(huì)做的題目拿不到滿分的情況，或是因?yàn)闀鴮憜?wèn)題導(dǎo)致失分現(xiàn)象嚴(yán)重，這些都不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，我覺(jué)得解題教學(xué)中的書寫環(huán)節(jié)是非常重要的，要求學(xué)生必須在黑板上或者筆記本上規(guī)范的寫出解題過(guò)程，進(jìn)而及時(shí)的發(fā)現(xiàn)他們的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正，讓他們產(chǎn)生深刻的印象。解題計(jì)劃的實(shí)施是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性的重要環(huán)節(jié)，是不能忽視的。

4.反思過(guò)程是必要的嗎？

完成了前面三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之后，解題回顧與反思還有必要嗎？老師通過(guò)下面的教學(xué)片段充分體現(xiàn)了回顧和反思在解題教學(xué)中的重要性。

【教學(xué)片段4】

師：請(qǐng)大家先不要收起草稿本，你們有沒(méi)有在解題結(jié)束之后回頭再看看解題過(guò)程呢？也許你會(huì)有意想不到的發(fā)現(xiàn)。

（聽(tīng)到老師發(fā)問(wèn)之后，同學(xué)們一個(gè)個(gè)瞪大了雙眼，在同學(xué)寫的解題過(guò)程中尋找。）

生6：老師，我發(fā)現(xiàn)這道題很典型，知道∠BAC的余弦值，如果再給定一個(gè)條件，關(guān)于正弦的，也可以求出它的正弦值，知道正弦值和余弦值之后，同樣也可以得出正切值。

師：很好，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們真正的掌握了這節(jié)課所要達(dá)到的目標(biāo)。

生7：老師，我發(fā)現(xiàn)只要是與向量有關(guān)，均可將向量積轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

師：是不是很有趣？你有什么感悟呢？

生8：很多題目之間都是有關(guān)聯(lián)的，舉一反三的思維是非常重要的。

師：是的。當(dāng)我們做完一個(gè)題目后，一定要學(xué)會(huì)檢查與回顧，解題的最大收益不在于做的題多，而在于質(zhì)量，“題海戰(zhàn)術(shù)”是我們現(xiàn)在最不提倡的。

教師自評(píng)：在教學(xué)的過(guò)程中，很多老師往往最容易忽略的是檢驗(yàn)與回顧。波利亞在《怎樣解題》中指出：解題“最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答”，解題教學(xué)的舉一反三是必要的。