鄢然，劉軍良，鄭曉龍，武建鋒，胡永輝

(1.中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100190；3.火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

0 引言

高質(zhì)量的時(shí)頻信號(hào)是導(dǎo)航定位、時(shí)頻計(jì)量、航空航天等眾多領(lǐng)域的基礎(chǔ)條件，通過(guò)高精度鎖相環(huán)技術(shù)實(shí)現(xiàn)原子鐘頻率凈化，以獲得高質(zhì)量時(shí)頻信號(hào)是工程實(shí)踐中常采用的方法[1]。原子鐘頻率凈化技術(shù)是通過(guò)一個(gè)高性能的鎖相環(huán)，將原子鐘頻率優(yōu)良的長(zhǎng)期特性與高穩(wěn)壓控振蕩器(voltage controlled oscillator，VCO)良好的短期特性結(jié)合起來(lái)，使得輸出頻率信號(hào)既能保持原子鐘良好的長(zhǎng)期穩(wěn)定度，同時(shí)又獲得較好的短期穩(wěn)定度。圖1為原子鐘頻率凈化框圖。同時(shí)國(guó)內(nèi)外各大時(shí)頻設(shè)備生產(chǎn)廠商的原子鐘頻率凈化設(shè)備，例如中國(guó)天奧生產(chǎn)的XHTF3328A、美國(guó)Microsemi生產(chǎn)的4145C、俄羅斯VREMYA-CH生產(chǎn)的VCH-317、德國(guó)Timetech生產(chǎn)的Clean-up Oscillator等均基于這一思路構(gòu)建各自的頻率凈化系統(tǒng)[2]。

圖1 原子鐘頻率凈化框圖

為了獲得最佳的凈化效果，鎖相環(huán)環(huán)路的工作帶寬通常選取最優(yōu)帶寬。為了得到最優(yōu)的環(huán)路帶寬，文獻(xiàn)[2-7]提及環(huán)路最優(yōu)帶寬的求解規(guī)則，即鎖相環(huán)環(huán)路的最優(yōu)帶寬應(yīng)該選取在參考相位噪聲功率譜密度與VCO相位噪聲功率譜密度交點(diǎn)的橫坐標(biāo)附近(本文稱(chēng)“相噪交點(diǎn)法”)，但該規(guī)則的成立近乎理想，且未曾考慮不同類(lèi)型、不同階數(shù)的鎖相環(huán)對(duì)該規(guī)則的影響情況；文獻(xiàn)[8-11]分析了鎖相環(huán)的相位噪聲為確定信號(hào)前提下的環(huán)路最優(yōu)帶寬表達(dá)式，而這樣的表達(dá)式無(wú)法應(yīng)用于原子鐘頻率凈化，因?yàn)橛绊懺隅婎l率不穩(wěn)定的噪聲不僅僅是白噪聲，往往還有有色噪聲。文獻(xiàn)[12-13]結(jié)合鎖相環(huán)環(huán)路特性分析了鎖相環(huán)中的相位噪聲，并指出在環(huán)路帶寬內(nèi)，輸出信號(hào)相位噪聲可以約等于參考源相位噪聲；在環(huán)路帶寬外，輸出信號(hào)相位噪聲約等于VCO相位噪聲。過(guò)往學(xué)者關(guān)于鎖相環(huán)最優(yōu)帶寬的研究表明，準(zhǔn)確地選取鎖相環(huán)環(huán)路帶寬對(duì)原子鐘頻率凈化的效果有著至關(guān)重要的影響。本文將從影響環(huán)路帶寬選取的相位噪聲入手，針對(duì)幾種不同類(lèi)型不同階數(shù)的鎖相環(huán)環(huán)路特性，結(jié)合相噪交點(diǎn)法，利用開(kāi)環(huán)增益穿越頻率點(diǎn)與相位噪聲相交頻率點(diǎn)的偏離程度，對(duì)最優(yōu)帶寬進(jìn)行求解并評(píng)估。

1 基本理論

1.1 鎖相環(huán)環(huán)路帶寬

鎖相環(huán)環(huán)路帶寬的選取對(duì)原子鐘頻率凈化的效果有著重要的影響。以一個(gè)基本結(jié)構(gòu)的鎖相環(huán)為例，如圖2所示。定義其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)、閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)如下：

圖2 鎖相環(huán)S域信號(hào)傳遞關(guān)系

(1)

(2)

式(1)和(2)中:θi(s)、θo(s)、θe(s)分別表示輸入、輸出、相差信號(hào)相位的拉普拉斯變換；s是拉普拉斯變換域中的復(fù)頻率；Kd為鑒相器系數(shù)，單位為V/rad；Kv為VCO系數(shù)，單位為rad/(V·s)；F(s)是環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)；N為分頻器的系數(shù)。

對(duì)于鎖相環(huán)環(huán)路帶寬有很多種定義，固有頻率ωn、噪聲帶寬BL、環(huán)路增益K，其中文獻(xiàn)[14]中對(duì)環(huán)路帶寬定義如式(3)，單位為Hz，適用于任何類(lèi)型的鎖相環(huán)，故本文所提及的環(huán)路帶寬即

K=KdKvK1Fhf(0)，

(3)

式(3)中，K1是環(huán)路濾波器的無(wú)量綱比例系數(shù)，F(xiàn)hf(0)是濾波器“高”頻部分的極值。

1.2 冪律譜噪聲模型

對(duì)于原子鐘頻率凈化系統(tǒng)而言，頻率源是鎖相環(huán)的基本單元，一個(gè)設(shè)計(jì)良好的凈化系統(tǒng)，相位噪聲應(yīng)該主要來(lái)自頻率源[14]。冪律譜噪聲模型是使用最廣泛的頻率源噪聲模型，它的有效性已經(jīng)被許多實(shí)驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，并為國(guó)際學(xué)術(shù)界所普遍接受[15]。在原子鐘頻率凈化系統(tǒng)中，其參考源相位噪聲與VCO相位噪聲均可用冪律譜噪聲模型來(lái)表征。其噪聲鐘差的功率密度譜函數(shù)用5種相互獨(dú)立的隨機(jī)噪聲來(lái)描述振蕩器的頻率波動(dòng)過(guò)程，表達(dá)式為

(4)

式(4)中，hα為常數(shù)，α=-2,-1,0,1,2分別對(duì)應(yīng)著頻率隨機(jī)游走噪聲、頻率閃爍噪聲、頻率白噪聲、相位閃爍噪聲、相位白噪聲5種不同的噪聲類(lèi)型。fh為頻率測(cè)量過(guò)程中低通濾波器的截止頻率。

本文采用了文獻(xiàn)[15]提及的原子鐘鐘差產(chǎn)生方法，產(chǎn)生了不同參考源(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)與OCXO 8607高穩(wěn)晶振的噪聲鐘差序列，并繪制了不同參考源與高穩(wěn)晶振VCO的相位噪聲譜密度如圖3所示。

圖3 不同類(lèi)型原子鐘與VCO相位噪聲功率譜密度

從圖3可以看出，根據(jù)相噪交點(diǎn)法，不同類(lèi)型的原子鐘與VCO的相位噪聲功率譜密度確有一交點(diǎn)，且對(duì)于MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘的頻率凈化的環(huán)路最優(yōu)帶寬分別在K1=0.14 Hz,K2=2.7×10-4Hz,K3=3.8×10-5Hz附近。

在僅考慮參考源和VCO相位噪聲的鎖相環(huán)系統(tǒng)中，根據(jù)環(huán)路傳輸模型，輸出信號(hào)相位的通式為

(5)

式(5)中，φref(s)，φvco(s)為參考源、VCO的相位噪聲；H(s)，E(s)為環(huán)路閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)。

因此，輸出信號(hào)相位噪聲功率譜密度為

Sθo(f)=|H(f)|2Sφref(f)+|E(f)|2Sφvco(f)。

(6)

式(6)中，Sφref(f)和Sφvco(f)分別表示參考源和VCO的功率譜密度函數(shù)。從式(6)可得知，環(huán)路的閉環(huán)傳輸函數(shù)、誤差函數(shù)和參考源相位噪聲、VCO相位噪聲均對(duì)系統(tǒng)輸出信號(hào)的相位噪聲有著重要的影響。

2 最優(yōu)環(huán)路帶寬求解方法

鎖相環(huán)環(huán)路的最優(yōu)帶寬被定義為使得輸出信號(hào)相位抖動(dòng)最小的頻率點(diǎn)[16]。相位抖動(dòng)的計(jì)算是對(duì)輸出信號(hào)的相位噪聲功率密度譜進(jìn)行積分，可以理解為相位噪聲功率密度譜與坐標(biāo)軸所圍成的面積。單一使用“相噪交點(diǎn)法”沒(méi)有考慮鎖相環(huán)的閉環(huán)傳輸函數(shù)、誤差函數(shù)對(duì)輸出信號(hào)的相位噪聲的影響，這樣的使用規(guī)則近乎理想化，可以表達(dá)為下式：

(7)

從式(7)可知，“相噪交點(diǎn)法”是在式(6)的基礎(chǔ)上衍生而來(lái)，其忽略了環(huán)路傳輸函數(shù)與誤差函數(shù)的交點(diǎn)是否與參考源、VCO相位噪聲功率譜密度交點(diǎn)重合的問(wèn)題，而這一點(diǎn)忽略極有可能導(dǎo)致輸出信號(hào)Allan偏差在交點(diǎn)附近惡化，出現(xiàn)“鼓包”現(xiàn)象。

基于以上對(duì)環(huán)路輸出信號(hào)相位噪聲和單一使用“相噪交點(diǎn)法”弊端的分析，本文提出了結(jié)合閉環(huán)傳遞函數(shù)與誤差傳遞函數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的交點(diǎn)ωc與環(huán)路帶寬K的偏離程度來(lái)求解并評(píng)估環(huán)路最優(yōu)帶寬。

環(huán)路閉環(huán)傳遞函數(shù)與誤差傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)相交的頻率點(diǎn)被定義為開(kāi)環(huán)增益穿越頻率ωc，并以Hz為單位。同時(shí)，ωc亦是使得|G(jωc)|=1的頻率點(diǎn)。

圖4繪制了一組MHM2010氫原子鐘、高穩(wěn)晶振的相位噪聲譜密度與二階二類(lèi)鎖相環(huán)環(huán)路函數(shù)幅頻響應(yīng)的特性曲線(xiàn)。

圖4 “環(huán)路函數(shù)交點(diǎn)法”結(jié)合“相噪交點(diǎn)法”評(píng)估環(huán)路最優(yōu)帶寬

圖4通過(guò)對(duì)比分析了同一組頻率源相位噪聲及VCO相位噪聲在二階二類(lèi)鎖相環(huán)ωc>K與ωc≈K的兩種情況。結(jié)合式(6)，可以得到，若ωc>K，那么系統(tǒng)輸出的相位噪聲低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還將受VCO相位噪聲的影響，其輸出相位噪聲為

Sφo(f)=|H(f)|2[Sφref(f)+Sφvco(f)]+|E(f)|2Sφvco(f)。

(8)

同理，若ωc

對(duì)于原子鐘頻率凈化而言，一階鎖相環(huán)的研究看似意義不大，但是往往能從一階鎖相環(huán)環(huán)路行為近似推廣到較為復(fù)雜、較難分析的其他階數(shù)、其他類(lèi)型鎖相環(huán)。因此對(duì)于一階鎖相環(huán)有，F(xiàn)(s)=K1，F(xiàn)hf(0)=1，它的開(kāi)環(huán)增益穿越頻率有：

(9)

ωc=K。

(10)

從式(10)可以得知，對(duì)于一階鎖相環(huán)而言，開(kāi)環(huán)增益穿越頻率ωc和環(huán)路帶寬K相等。而對(duì)于其他幾種類(lèi)型、階數(shù)的鎖相環(huán)，開(kāi)環(huán)增益穿越頻率ωc與環(huán)路帶寬K的關(guān)系均可由式(9)進(jìn)行計(jì)算，具體結(jié)果如表1所示。

表1 幾種不同類(lèi)型不同階數(shù)鎖相環(huán)增益穿越頻率與環(huán)路帶寬關(guān)系

從表1可以得知，單一使用“相噪交點(diǎn)法”存在一個(gè)默認(rèn)ωc≈K的前提條件，而通過(guò)上述的論證可以看出，只有一階鎖相環(huán)才滿(mǎn)足該條件，而其他類(lèi)型、其他階數(shù)的鎖相環(huán)需在一定限制條件下才滿(mǎn)足ωc≈K。

根據(jù)以上的分析可以得知，僅僅根據(jù)“相噪交點(diǎn)法”來(lái)確定環(huán)路最優(yōu)帶寬是一種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，通過(guò)結(jié)合本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點(diǎn)法”共同求解并評(píng)估環(huán)路最優(yōu)帶寬將更為準(zhǔn)確、可靠。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證單一使用“相噪交點(diǎn)法”的局限性，及本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點(diǎn)法”結(jié)合“相噪交點(diǎn)法”求解環(huán)路最優(yōu)帶寬的正確性，以帶滯后濾波器二階鎖相環(huán)為例，仿真對(duì)比分析了在滿(mǎn)足ωc≈K及ωc?K兩種條件下，不同類(lèi)型原子鐘的頻率凈化效果。

3.1 原子鐘頻率凈化算法實(shí)現(xiàn)

文獻(xiàn)[17]指出，在使用雙線(xiàn)性變換法的二階環(huán)路設(shè)計(jì)中，歸一化噪聲帶寬小于0.1時(shí)，數(shù)字鎖相環(huán)系統(tǒng)可以使用模擬鎖相環(huán)的方法進(jìn)行分析。因此，參考原子鐘及高穩(wěn)晶振VCO輸出信號(hào)相位可分別表示為：

φref(n)=2πf0t(n)+2πf0xref(n)，

(11)

和

φvco(n)=Δφ(n-1)+2πf0t(n)+2πf0xvco(n)。

(12)

式(11)和(12)中：f0為標(biāo)稱(chēng)頻率；t(n)為仿真時(shí)間；xref(n)，xvco(n)分別代表了參考源和VCO的相位噪聲鐘差；Δφ(n-1)表示在n-1時(shí)刻VCO輸出信號(hào)與參考源信號(hào)相位偏差量。兩信號(hào)在通過(guò)鑒相器之后的信號(hào)相位差可表示為

Δφ(n)=φref(n)-φvco(n)。

(13)

環(huán)路濾波器表達(dá)式為

(14)

通過(guò)雙線(xiàn)性變換可以得到其在離散域的表達(dá)式為

(15)

式(15)中，Y代表了環(huán)路濾波器的輸出，X代表了環(huán)路濾波器的輸入。利用Z的逆變換可得

(2τ+TL)y(n)=(x(n)+x(n-1))TLK1-(TL-2τ)y(n-1)。

(16)

在本文中，y(n)代表了環(huán)路濾波器在n時(shí)刻輸出的頻偏Δf(n)，x(n)代表了環(huán)路濾波器在n時(shí)刻的輸入即鑒相器的輸出Δφ(n)。在得到了n時(shí)刻VCO輸出信號(hào)相對(duì)于參考源信號(hào)的相對(duì)頻偏后，則有

Δφ(n)=Δφ(n-1)+2πf0(t(n-1)-t(n))。

(17)

本文的算法實(shí)現(xiàn)如下所述：

①利用式(11)和(12)分別產(chǎn)生標(biāo)稱(chēng)頻率f0=10 MHz，時(shí)間間隔為1 s，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1×106的參考原子鐘和VCO信號(hào)相位數(shù)據(jù)；

②設(shè)置環(huán)路參數(shù)，例如Kd=1(V/rad)，Kv=1(rad/(V·s))，因此環(huán)路帶寬為K=K1，環(huán)路更新時(shí)間TL=1 s，因此環(huán)路的更新次數(shù)num為106次。

③循環(huán)求得兩信號(hào)之間的相位差Δφ(n)，并通過(guò)環(huán)路濾波器得到相對(duì)頻率偏差Δf(n)，用于對(duì)VCO進(jìn)行頻率調(diào)整，如圖5所示。

圖5 原子鐘頻率凈化算法流程圖

④通過(guò)鎖相環(huán)的作用，VCO輸出信號(hào)相位最終與參考源信號(hào)相位同步，實(shí)現(xiàn)頻率凈化。

3.2 原子鐘頻率凈化結(jié)果

由圖3可知，參考原子鐘(MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘)相位噪聲功率密度譜與VCO相位噪聲功率密度譜交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在K1=0.14 Hz，K2=2.7×10-4Hz，K3=3.8×10-5Hz附近。在仿真試驗(yàn)中，根據(jù)“相噪交點(diǎn)法”的原則，這3個(gè)頻率點(diǎn)將作為環(huán)路的最優(yōu)帶寬帶入不同類(lèi)型鎖相環(huán)進(jìn)行原子鐘頻率凈化仿真。圖6(a)，(b)，(c)分別為MHM2010氫原子鐘、HP5071A銫原子鐘、PRS10銣原子鐘頻率凈化仿真試驗(yàn)結(jié)果，其中通過(guò)設(shè)置環(huán)路帶寬K及環(huán)路濾波器時(shí)間常數(shù)τ，使得其均滿(mǎn)足Kτ≈0，從而滿(mǎn)足ωc≈K，輸出信號(hào)Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差以方框線(xiàn)型表示；為了形成對(duì)比，唯一改變環(huán)路濾波器時(shí)間常數(shù)τ，使ωc?K，輸出信號(hào)Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差以五角星線(xiàn)型表示。

圖6 不同類(lèi)型原子鐘的凈化結(jié)果

圖6對(duì)比分析了不同類(lèi)型原子鐘在帶滯后濾波器二階環(huán)路下的頻率凈化仿真結(jié)果。其中實(shí)線(xiàn)線(xiàn)型代表著參考源相位噪聲的Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差，虛線(xiàn)線(xiàn)型代表著VCO相位噪聲的Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差，方框標(biāo)記的線(xiàn)型代表著輸出信號(hào)在滿(mǎn)足ωc≈K條件下的Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差，五角星標(biāo)記的線(xiàn)型代表著輸出信號(hào)在ωc?K條件下的Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差。從圖中可以看出，在滿(mǎn)足ωc≈K條件下(方框線(xiàn)型)，不同類(lèi)型的原子鐘的頻率凈化效果最佳，輸出信號(hào)同時(shí)具備優(yōu)秀的長(zhǎng)、短期穩(wěn)定度；而在ωc?K時(shí)(五角星線(xiàn)型)，凈化效果不佳，且集中表現(xiàn)為在交點(diǎn)附近出現(xiàn)“鼓包”。而這樣一種現(xiàn)象，也正是因?yàn)槠洇豤?K或ωc?K，導(dǎo)致輸出信號(hào)在通過(guò)環(huán)路時(shí)，低通部分不再主要受參考相位噪聲的影響，還受VCO相位噪聲的影響或高通部分不再主要受VCO相位噪聲的影響，還將受參考相位噪聲的影響。

圖6證實(shí)了本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點(diǎn)法”結(jié)合“相噪交點(diǎn)法”求解的環(huán)路最優(yōu)帶寬均使得不同類(lèi)型原子鐘頻率凈化取得了良好的凈化效果。在帶滯后濾波器的二階鎖相環(huán)下，氫原子鐘頻率凈化效果改善明顯，凈化后的輸出信號(hào)Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差由2.44×10-13@ 26 s提高至1.77×10-14@ 26 s，最佳改善略大于1個(gè)量級(jí)；銫原子鐘頻率凈化效果較明顯，由8.17×10-13@ 4 096 s提高至1.76×10-13@ 4 096 s，最佳改善大于0.5個(gè)量級(jí)；銣原子鐘頻率凈化后的信號(hào)Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差由7.87×10-13@ 16 384 s提高至4.14×10-13@ 16 384 s，改善小于0.5個(gè)量級(jí)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)幾種不同類(lèi)型不同階數(shù)的鎖相環(huán)，在“相噪交點(diǎn)法”的基礎(chǔ)上，根據(jù)開(kāi)環(huán)增益穿越頻率與環(huán)路帶寬的偏離程度，提出了一種原子鐘頻率凈化的鎖相環(huán)環(huán)路最優(yōu)帶寬的求解方法。通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法，驗(yàn)證結(jié)果表明在鎖相環(huán)開(kāi)環(huán)增益穿越頻率約等于環(huán)路帶寬時(shí)，求取的最優(yōu)帶寬在不同類(lèi)型原子鐘頻率凈化中均能得到良好的凈化效果，輸出信號(hào)Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差均有不同程度的改善，最大改善量可略大于1個(gè)量級(jí)；反之，均有不同程度的劣化，集中表現(xiàn)為交點(diǎn)附近的“鼓包”現(xiàn)象。本文提出的“環(huán)路函數(shù)交點(diǎn)法”結(jié)合“相噪交點(diǎn)法”可更為快速、簡(jiǎn)便、直觀地評(píng)估環(huán)路的最優(yōu)帶寬。