洪寶劍

(南京工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 南京 211167)

眾所周知，許多自然科學(xué)和工程問題都可以歸結(jié)為非線性方程的求解，尤其是分數(shù)階方程幾乎應(yīng)用于社會生活的每一個領(lǐng)域.因此，研究非線性方程的解就成了國內(nèi)外學(xué)者需要關(guān)注的首要問題.迄今為止，人們提出了尋求非線性方程精確解及近似解的各種方法，如貝克隆變換法、約束方程法、同倫分析法、Adomian展開法、變分迭代法等[1-7].近年來，Laplace變換法被廣泛應(yīng)用于各類非線性系統(tǒng)的求解[8-10].論文將借助Adomian多項式和同倫攝動的理論，將Laplace變換法應(yīng)用于一類廣義分數(shù)階薛定諤方程，得到較好的結(jié)果.

考慮下列廣義不穩(wěn)定時空分數(shù)階薛定諤方程

(1)

其中：u=u(x,t),a,γ為非零常數(shù)，v(x)為實函數(shù).

1 幾個定義

為了方便后面計算，關(guān)于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和Laplace變換，給出幾個定義[7,23].

定義1一個實函數(shù)f(t)，當μ∈,t>0時，若存在實數(shù)p>μ，使得f(t)=tpf1(t)，其中：f1(t)∈C[0,∞)，則稱f(t)∈Cμ，若f(n)(t)∈Cμ,n∈，則稱

定義2函數(shù)u(x,t)關(guān)于t的Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[13,18,23]

(2)

Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有下列性質(zhì)

DαC=0,C為常數(shù),

Dαf[u(x)]=fuu(α)(x).

(3)

2 近似解的推導(dǎo)

關(guān)于Laplace變換迭代法的具體步驟可參閱文獻[8-10,24-27]，對(1)進行簡單變換得

(4)

(5)

(6)

對(6)兩邊作Laplace逆變換

(7)

構(gòu)造同倫方程

(8)

顯然當p:0→1時，u:u0→u，若令

(9)

則(1)的精確解為

(10)

比較p的同次冪，構(gòu)造迭代式

(11)

其中：An是(8)中非線性項N(u)=|u2r|u通過Adomian多項式線性化后的第n項[4,13,21].

(12)

(13)

當r≠1時，若u為實函數(shù)，則按牛頓二項公式展開，若為復(fù)函數(shù)，則按三角形式展開，均可得到An.再由(10),(11)式就可以得到方程(1)的各級近似解或精確解，下面討論(1).

情形1當r=1,v(x)=-cos2x,u0=sinx時，有

(14)

由(11),(13)式，有

u0=sinx.

(15)

(16)

[a2sin(x+2πβ)+4a(2γ+1)sin2xsin(x+πβ)-2asin(x+πβ)+

(17)

…

(18)

方程(14)的一個n級近似解為

(19)

(20)

情形2當v(x)=2λ,u0=eix時，有

(21)

構(gòu)造迭代式

(22)

有

u0=eix.

(23)

(24)

(25)

(26)

…

(27)

方程(21)的一個n級近似解為

(28)

所以方程(21)的一個精確解為

(29)

注2當γ=a,r=1,λ=0時，u1,u2,u3與文獻[23]中的結(jié)果一致.當γ=1,λ=0時，Un表達式比文獻[13]中的結(jié)果(3.18)標準.當γ=a=0.5,r=1,λ=0時,(29)式轉(zhuǎn)化為文獻[28]中的(49)式.

情形3當v(x)=k(1-x2),u0=x2時，有

(30)

接下來嘗試對迭代式的構(gòu)成方式進行修正.考慮到u(x,t)=φ(x,t)eiψ(x,t),|u(x,t)|=|φ(x,t)|，利用文獻[23]中的修正思想，構(gòu)造迭代式

(31)

有

u0=x2.

(32)

(33)

k2x2-2k2x4+k2x6]，

(34)

4γk2x4r+2+8γk(γ-k)x4r+4-4γk(2γ-k)x4r+6+4γ2kx8r+2+

4γ2(2γ-k)x8r+4+k2(2γ-k)x8-k2(4γ-3k)x6+k2(2γ-3k)x4+k3x2].

(35)

…

方程(30)的近似解為

Un=u0+u1+u2+u3+….

3 數(shù)值分析

借助Mathematica軟件，表1，2和圖1，2分別對方程(1)的n級近似解(28)式和精確解(29)式進行對比和數(shù)值模擬，分別討論當α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時的整數(shù)階方程情形和當α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時的分數(shù)階方程情形.圖3，4對方程(30)當a=k=r=1,γ=0.5時，在α,β不同參數(shù)取值的近似解的實部和虛部進行了模擬.

表1 當α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時，(28)和(29)虛部的數(shù)值結(jié)果

注3Absolute Error精確位數(shù)取為小數(shù)點后20位,迭代到50次后誤差幾乎消失了.

表2 當α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時，(28)和(29)實部的數(shù)值結(jié)果

部分數(shù)值模擬結(jié)果如圖1～4所示.

圖1 當α=1,β=1,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時,精確解與近似解迭代5,25次虛部圖

圖2 當α=0.5,β=0.8,γ=1,a=1,r=1,v(x)=0時,近似解迭代5,25,50次實部圖

圖3 不同參數(shù)下各級近似解實部變化 圖4 不同參數(shù)下各級近似解虛部變化

圖1,2的數(shù)值結(jié)果表明，U25,U50已經(jīng)和精確解靠得很近.在圖3,4中隨著α,β的增大，實部和虛部函數(shù)穩(wěn)定地向α=β=0.05及α=β=1靠攏，因而該迭代算法有效.

4 結(jié)束語

論文通過將Laplace變換和同倫攝動法相結(jié)合，求解一種不穩(wěn)定時空分數(shù)階薛定諤方程，得到了方程的各級近似解，并進行了誤差分析和數(shù)值模擬.研究結(jié)果表明，這一方法對于薛定諤類復(fù)偏微分方程近似解的處理規(guī)范有效.