劉彩云 蔣詩泉 張 濤 汪濤波

（1.銅陵學院，安徽 銅陵 244061；2.銅陵職業(yè)技術學院，安徽 銅陵 244061）

一、引言

為貫徹和落實教育部《高等學校課程思政建設指導綱要》和《教育部高等教育司2021年工作要點》，全面加強高校課程思政建設，緊緊抓住教師隊伍“主力軍”、課程建設“主戰(zhàn)場”、課堂教學“主渠道”，各高校積極響應號召，把立德樹人放在首位，轉變教學思路，積極開展課程思政建設，使各類課程與思政課程同向同行，形成協(xié)同效應，實現全員全程全方位育人[1]。但是課程思政并不是簡單地將思政內容增加到課程教學中，而是要將思想政治教育目標和課程內容有機地融合為一體，將顯性教育和隱性教育相統(tǒng)一，實現春風化雨，潤物無聲。

在此背景下，高校教師紛紛開展課程研究與實踐，將思政教育融入到教學中，且已取得了豐碩的成果[2-4]。但是，還有一些問題未得到研究。首先，這些研究大都是建立在傳統(tǒng)研究型高校基礎上，對于地方應用型高校關注甚少[5]。顯然，應用型本科高校作為高等教育體系的一個重要組成部分，其課程思政建設也理應受到重視。其次，這些研究大部分是探討人文課程思政，很少有研究基于經濟類專業(yè)的高等數學課程。經濟類高等數學課程主要是面向經濟管理類專業(yè)本科生進入大學面臨的第一門公共基礎課，課時多、時間長、抽象性、邏輯性強的特點，為后續(xù)課程的學習提供基礎和方法，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。在銅陵學院，每年大約有2，000多名經管類大一新生學習該門課程。作為一名授課教師，在傳授專業(yè)知識的同時更應該培養(yǎng)學生使其形成正確的人生觀、價值觀、價值觀，對學生進行全方位浸潤式的思政教育。因此，找到應用型本科院校實踐課程思政的邏輯及方法是一個亟待解決的問題。

本文以高等數學中定積分的概念為例，基于應用型本科高校的背景，融合課程思政特色，采用問題驅動法、案例教學法和啟發(fā)式法相結合的教學模式進行教學設計，引導學生積極參與課堂各環(huán)節(jié)，讓學生在掌握定積分的概念的同時，講中國故事，傳播中國聲音，提升學生的文化自信感和民族自豪感，并提高其解決實際問題的能力。本文提出的在高等數學課程教學中自然融入思政教育的邏輯及方法具體且可行，具有普遍性和一定的推廣價值。

二、教學設計思路

本節(jié)課將思政內容融入高等數學教學中，從講中國故事出發(fā)，圍繞“創(chuàng)設情境—提出問題—分析問題—建立模型—解決問題—課后拓展”為主線，進行定積分的概念的學習和討論。首先，通過播放中國版圖歷代演變的視頻，介紹中國輝煌的歷史，并從不規(guī)則的版圖，引出不規(guī)則圖形的面積測量計算問題，結合中國歷史、民族復興、家國情懷，激發(fā)學生興趣。其次，將問題抽象成數學模型，即曲邊梯形面積計算問題，借助于圓周率的計算過程，引導學生從類似的角度，思考曲邊梯形面積的計算問題，結合當時中國圓周率計算在世界的領先地位，增強民族自豪感。再次，對曲邊梯形面積無限細分、無限求和，演示細分的過程，歸納總結步驟，引出定積分的定義，繼而給出定義中的注意點及定積分符號表示，結合思政內容進行數學美育教育并指出暗含的哲學思想。隨后，應用上述理論引導學生回到最初需要解決的問題，并聯系身邊的實際，舉例說明如何計算生活中常見的問題，提高學生用數學知識解決實際問題的能力，并鼓勵繼續(xù)努力學習，為我國科學、經濟的發(fā)展貢獻自己的力量。最后，課堂小結及課后思考，引導學生課后繼續(xù)探索思考，落腳生活中的大思政。教學內容的設計圖如下圖1所示。

圖1 定積分的概念課程思政設計及教學內容關系圖

三、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，問題導入

以中國地圖五千年的變化視頻作為導入，簡要介紹中國輝煌的歷史：唐朝開國之后逐漸結束了自隋末以來的群雄割據局面并統(tǒng)一了全國，唐高宗在位期間唐朝疆域面積達到最大值，約為1,237萬平方公里[6]。由此增強學生的民族自豪感，激發(fā)學生學習的興趣。隨后，從不規(guī)則的版圖測量問題，引出不規(guī)則圖形的面積計算問題。

（二）分析問題，數學建模

進一步引導，同學們畢業(yè)后從事國家建設，你如何解決此類問題呢？大到國家版圖小到自己生活的小區(qū)經常要測量一些不規(guī)則圖形的面積。以一幅小區(qū)規(guī)劃圖為例，如何計算面積呢？先讓學生思考，然后給出自己的做法，以小區(qū)周圍的馬路為直線，以湖為曲線抽象到平面直角坐標系中，利用動畫展示實際問題抽象為數學模型問題，形成一個即由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的類似于梯形的圖形，我們稱之為曲邊梯形，由此建立了一個數學模型，求解一個曲邊梯形的面積問題，其中函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù)。過程中的部分截圖如圖2所示。

圖2 實際問題抽象為數學模型的過程

那么圖2中的曲邊梯形的面積又如何計算呢？從實際問題出發(fā)，展示數學模型建立過程，解決問題，體現學以致用，以后從事社會主義建設，要有一定的職業(yè)意識、職業(yè)素養(yǎng)。

（三）模型分析，概念講解

要解決所提出的問題，引導學生能否從古人的智慧中得到啟發(fā)？舉出我國數學家劉徽關于圓周率計算的例子。早在1,700年前我國偉大數學家劉徽在《九章算術》中就提出了“割圓術”，用圓的內接正多邊形近似代替圓，讓多邊形的邊數增加，然后求出多邊形的面積近似代替圓的面積，進而求出圓周率。劉徽計算到3，072邊形的面積，得到圓周率為3.141，6。此時進一步介紹數學家劉徽的關于圓周率的科學計算，奠定了此后一千多年中國圓周率的計算在世界的領先地位，讓學生了解中國數學的輝煌歷史，以此激發(fā)學生愛國情懷，引導他們未來的學習和工作中奮發(fā)圖強承接中國科學之光。同時人工計算3，072邊形的面積，計算的繁雜要求付出大量的時間和堅持不懈的毅力，讓學生體會數學家們求知、求真、努力、創(chuàng)新、堅持的科學家精神。如今中美貿易戰(zhàn)，美國在科技等方面打壓中國，特別是芯片、刻錄機等領域的限制與封鎖，鼓勵學生發(fā)揚古代數學家的科研精神，研發(fā)更多自主知識產權的核心技術，為科技強國而貢獻自己的力量。在課程中將思想政治教育目標和課程內容有機的融合為一體，將顯性教育和隱性教育相統(tǒng)一，起到育人效果。接著借助教具演示割圓術的過程，如圖3所示。

圖3 割圓術的過程

進而引導學生思考割圓術的核心思想是什么呢？此時，大部分學生都能知道是極限。進一步了解極限的產生過程，無論是從我國《莊子·天下篇》中體現的極限思想開始，還是從古希臘哲學家對“不可再分”的想法開始，到書本中標準的、教科書式的極限定義，時間跨度近兩千多年。在這兩千多年里，有多少天才數學家在為“極限”這一思想貢獻智慧，當我們看到書本中短短幾行的極限概念時，應意識到這簡練的、嚴謹的定義是千百年來無數數學家和思想家們智慧的結晶。此處體現數學學科的嚴謹、精練和數學家們精神。

接下來引導利用極限的這種無限逼近的思想來測量不規(guī)則圖形的面積。如果用1個矩形面積近似曲邊梯形的面積，此時誤差較大，如何縮小誤差呢？如果把圖形隨機劃分成4個小的曲邊梯形，用4個矩形的面積和近似替代4個曲邊梯形的面積，相比1個矩形4個矩形的誤差明顯縮小。進一步如果把4個曲邊梯形隨機劃分成8個曲邊梯形，用8個矩形的面積和近似替代8個曲邊梯形的面積，如此劃分下去，將大曲邊梯形轉化為n個小的曲邊梯形，每個小的矩形面積近似為曲邊梯形的面積，當無限細分，n無限細分趨于∞時，無限求和，面積之和的極限是固定值，由此取極限求出曲邊梯形的面積。此處，大到小是對立的，但通過求和得到了統(tǒng)一；常量與變量、近似值與精確值是對立的，但通過求和得到了統(tǒng)一，體現了唯物辯證法中對立統(tǒng)一規(guī)律。在教學中加強對學生哲學思想的滲透，不僅能夠使學生更好地了解并掌握相關的數學基礎知識，更能夠提高學生運用唯物辯證法的觀點發(fā)現問題、分析問題、最終解決問題。過程如圖4。

圖4 曲邊梯形的分割過程

通過分析，得到了解決此類問題的方法和思路，即把整體分割成局部，用好求的量近似代替，然后求和得到整體的近似值，最后取極限得到精確值[7]。整個過程的思路就是：無限細分，無限求和。有了求解類似問題的思路和方法，然后用嚴格的數學語言求出曲邊梯形的面積。具體的方法分為4個步驟：

(1)分割（大化?。涸趨^(qū)間[a,b]中任意插入n-1個分點a=x0＜x1＜x2＜…xn-1＜xn=b，過那些插入的點作Y軸的平行線，將曲邊梯形分割成n個小的曲邊梯形，每一個小梯形的區(qū)間長度記為△xi=xi-xi-1。

(2)近似（常代變）：在第i個小梯形中任取一點ζ∈[xi-1,xi]，對應的函數值f(ζi)，以f(ζi)為高和△xi為寬作小矩形，得到第i個曲邊梯形的面積△Ai≈f(ζi)△xi，其他小曲邊梯形作類似的近似。

(3)求和（近似和）：將n個小矩形面積之和當作曲邊梯形面積A的近似值。

(4)極限（取極限）：為保證所有小區(qū)間的長度都無限縮小，將小區(qū)間中最大長度趨于0，即(這時分段數n無限增多，即n→∞)，得到曲邊梯形的面積A=。

在這4個步驟中無論是分割、近似、求和都是量變的過程，求出來的都是精確值，但通過取極限，實現了質的飛躍，得到的是精確值，體現了唯物辯證法中量變質變規(guī)律。通過此問題的求解，既訓練的學生的數學建模過程，又得到了一種重要的思想和方法，把它歸納成一個概念，就是定積分。然后給出定積分的完整定義，強調一定要掌握定積分中所蘊含的方法和思路，后面將要學習的二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分都要用到定積分的這種方法和思想。從大局上說明高等數學中大部分內容和定積分有關，后面常用到定積分，給定積分一些符號說明。進而采用PPT動畫對符號進行說明，如下圖5。

圖5 符號說明

然后指出定義的邏輯性和嚴謹性及積分符號的演變史，積分符號是求和英文字母首字母的變形，引導對科學的嚴謹態(tài)度和體會數學符號的簡潔美。然后回到最初的問題，用定積分表示出最初的曲邊梯形的面積。拓展到以后求不規(guī)則圖形的面積，只要用定積分，達到學以致用的效果。

（四）應用理論，聯系實際

至此，已經給出了定積分的概念，一開始提出的不規(guī)則圖形面積計算問題也得到了解決，然后引導學生進一步思考生活中，我們還有哪些問題可以采用此方法解決呢？讓學生思考、討論，積極參與課堂，引導應用所學知識，解決實際問題。隨后舉一個時下熱門智能手機的例子，既聯系生活實際又符合學生的興趣。隨著智能手機的普及，讓人們的生活得到了極大的方便，那大家在用手機上網時，比較關心的手機流量問題，又如何測算呢？分析網速的隨時間變化而變化的特點與定積分的概念之間的聯系，問題得到解決。

同時指出一個個重大科技的背后都需要扎實的基礎理論作為支撐。目前我國仍然存在“卡脖子”的芯片問題，鼓勵學生認真學習基礎知識，為國家的科學技術貢獻力量。在高等數學學習過程中，存在很多與國家科技和經濟發(fā)展相結合的思政內容，比如我國探月工程與無窮積分，我國的高鐵建設與導數等等，在學習專業(yè)知識的同時，增強學生的民族自豪感，激勵學生努力學習科學文化知識，為祖國的繁榮富強作出努力，達到開拓視野的效果，引導學生做有志青年。

（五）課堂小結，落腳思政

課堂小結定積分的思想和方法：大化小，常代變，近似和，取極限。同時指出當中滲透著唯物辯證法的兩大規(guī)律：大與小是對立的，但通過求和得到了統(tǒng)一；常量與變量、近似值與精確值是對立的，但通過取極限得到統(tǒng)一；無論是分割、近似、求和都是量變過程，得到的都是近似值，而通過取極限得到精確值，實現了質的飛躍。從而對立統(tǒng)一規(guī)律、量變質量規(guī)律得到體現，進而啟發(fā)學生在以后的學習和工作中一定要用科學的思想武裝自己的頭腦。

（六）繼續(xù)探索，課后思考

在掌握了定積分的概念后，解決了課上提出的不規(guī)則圖形的面積計算問題及手機流量計算問題。課后讓學生搜集到關于定積分概念應用的其他案例．比如變力所受的阻力問題、不規(guī)則圖形的曲線長度問題、變速直線運動的路程問題等等，以布置這樣開放性作業(yè)的形式，讓學生了解我國近幾年科技創(chuàng)新、經濟建設等方面取得的成績，激發(fā)學習興趣，讓學習目的更加明確。在課后思考中體現生活中的大思政。

四、結語

課程思政是當前高校思政工作的新形勢，受到了廣泛關注。本文以高等數學中定積分的概念為例，探討應用型本科院校如何落實課程思政。本節(jié)課的教學設計從播放上下五千年的中國地圖變化出發(fā)，激發(fā)學生的民族自豪感。接著從身邊實際問題小區(qū)面積計算出發(fā)，引出對不規(guī)則圖形（曲邊梯形）的面積計算問題。隨后回顧古代數學家劉徽的割圓術方法和思想，類比出曲邊梯形面積計算的方法。緊扣割圓術的核心思想：分割、近似、求和、極限，層層遞進，著重培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力。最后，將這種思維應用到解決實際問題中。鼓勵學生挖掘更多國民經濟建設和重大科技進展背后的基礎知識，激發(fā)學生學習興趣，同時了解到我國整體經濟和科技水平，提高學生的國情意識，增強社會責任感，進而提高解決經濟和科技問題的能力。課后請學生繼續(xù)收集有關的實際問題，讓學生感受到生活中的數學無處不在，激發(fā)學生在生活中思考數學的熱情。