高 煒

(云南師范大學 信息學院，云南 昆明 650500)

分子圖的拓撲指數(shù)計算是理論化學和圖論的重要研究課題.在日常觀察中，我們總會發(fā)現(xiàn)分子圖結構和網(wǎng)絡中存在大量不確定性信息，進而常用模糊圖來刻畫此類帶有不確定性信息的分子圖和網(wǎng)絡結構.進而，拓撲指數(shù)的研究被拓展到模糊圖.

在信息科學中，圖的連通性決定了整個網(wǎng)絡的效率，以及相應的算法.例如：在蛋白質(zhì)分子網(wǎng)絡中，頂點的連通狀態(tài)決定了分子的活動，進而影響生物系統(tǒng)的工作機制.在聯(lián)邦學習中，每個設備的狀態(tài)都不像一直在工作的孤島.在一定時間內(nèi)，設備往往處于斷開狀態(tài)，這導致在聯(lián)邦學習的每次迭代中，需要選擇一組處于工作狀態(tài)的設備.由于實際需要的種種原因，圖的連接程度成為蛋白質(zhì)分子網(wǎng)絡和信息技術領域的熱門話題(參考Cheung和Bell[1]，Denison等[2]，Ma等[3]，以及Gao等[4,5]).

由于分子網(wǎng)絡本身的復雜性，在很多涉及頂點和邊的不確定性的應用場景中，需要借用模糊數(shù)學的工具和方法.另一方面，模糊數(shù)學中的這種不確定性通?？梢苑譃檎嫘再|(zhì)和負面性質(zhì).眾所周知，正隸屬函數(shù)不能反映目標的負不確定性.例如:隸屬度函數(shù)μ1代表“喜歡”，μ2代表“不喜歡”.然而μ1(x)=0.7不能推出μ2(x)=0.3.一個合理的做法是使用負隸屬函數(shù)來描述“不喜歡”.

在建模中，正不確定性對應正隸屬函數(shù)值，負不確定性對應負隸屬函數(shù)值.在這種設置下，分子網(wǎng)絡模型變成了雙極模糊圖，不同類型的不確定性可以使用不同的隸屬函數(shù)，最終確定雙極模糊圖的各種框架.常見的有雙極直覺模糊圖、雙極畢達哥拉斯模糊圖等.最近，一些工作從理論和應用的角度對雙極模糊集和雙極模糊圖做出了貢獻.Mahmood和Ur Rehman[6]引入了雙極復模糊集的新符號，它是雙極模糊集和復模糊集的融合.Ozcelik和Nalkiran[7]介紹了一種基于與配備梯形雙極模糊集的平均解的距離的評估.Cornejo等[8]獲得了具有標準否定的雙極最大積模糊方程的可解性特征.

本文的目的是將文獻[9]中關于模糊圖的鄰域連通指數(shù)推廣到雙極模糊圖框架，給出雙極模糊圖上鄰域指數(shù)的具體定義，并將相關理論結果也推廣到雙極模糊圖中.

1 預備知識

且

則雙極模糊圖G中任意x,y∈V(G)之間的連通強度表示為

雙極模糊圖G中邊(vi,vj)稱為α-強邊若

雙極模糊圖G中邊(vi,vj)稱為β-強邊若

設G是連通雙極模糊圖.G是α-飽和(對應地，β-飽和)若每個頂點至少關聯(lián)一條α-強邊(β-強邊).G稱為飽和的，若它同時為α-飽和和β-飽和.即雙極模糊圖的每個頂點至少關聯(lián)一條α-強邊和一條β-強邊.

2 主要定義及理論結果

定義1設G是雙極模糊圖.G的鄰域連通指數(shù)定義為

其中NCIP(G)和NCIN(G)分別稱為G的鄰域連通指數(shù)正和負鄰域連通指數(shù).

由定義和相關概念出發(fā)，利用文獻[9]的證明方法，可得到如下幾個結論，這里省略證明過程.

性質(zhì)1設H是G的部分雙極模糊子圖，則NCIP(H)≤NCIP(G)， 且NCIN(H)≥NCIN(G).

性質(zhì)2設G是有n個頂點的雙極模糊圖，則NCIP(G)≤n(n-1)， 且NCIN(G)≥-n(n-1).

性質(zhì)7兩個同構的雙極模糊圖有相同的鄰域連通度.

性質(zhì)8設G是雙極模糊圖，0≤t1≤t2≤1.則NCIP(Gt2)≤NCIP(Gt1)，NCIN(Gt2)≥NCIN(Gt1).

性質(zhì)9設G是n個頂點的飽和雙極模糊圈，每條α-強邊的強度均為(tP,tN)，且每條β-強邊的強度為常數(shù).則NCIP(G)=2ntP，NCIN(G)=2ntN.

性質(zhì)10給定正整數(shù)m，xP∈+，xN∈-滿足xP≤2m和xN≥-2m.則存在m條邊的雙極模糊圖，滿足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

性質(zhì)11給定正整數(shù)n，xP∈+，xN∈-滿足xP≤n(n-1)和xN≥-n(n-1).則存在n個頂點的雙極模糊圖，滿足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

NCIP(Gc)-NCIP(G)≥n2tP-5ntP,NCIN(Gc)-NCIN(G)≤n2tN-5ntN.

性質(zhì)13設G是雙極模糊圖，F(xiàn)是G的最大生成樹，則NCIP(F)NCIN(G).

性質(zhì)14設G是完全雙極模糊圖，CI(G)=(CIP(G),CIN(G))是G的連通指數(shù)，WI(G)=(WIp(G),WIN(G))是G的維納指數(shù).則

3 小結

本注記的主要貢獻是將文獻[9]中關于模糊圖的鄰域連通指數(shù)拓展到雙極模糊圖的鄰域連通指數(shù)，并且把模糊圖中的相關理論也擴展到雙極模糊集.本文得到的結果對帶有不確定性的分子網(wǎng)絡和計算機網(wǎng)絡的拓撲分析，具有積極的指導意義.