龔 杰

(江蘇省南通市海門區(qū)海南中學 226100)

格點問題是數(shù)學創(chuàng)新題的重要題型之一，如何熟練掌握并靈活解答這類問題，值得我們進行深入探究.以下就格點問題進行探索.

1 作指定邊上的高，三等分三角形的面積

例1 如圖1是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．用無刻度的直尺，運用所學的知識作圖(保留作圖痕跡)．

圖1

(1)在圖1中作△ABC的高CD；

(2)在圖2、圖3中，分別用兩種不同的方法，將△ABC分割成三個面積相等的三角形．

圖2

圖3

分析(1)如圖1,取點E，連接CE，交AB于點D，用SSS證明△EBC≌△BFA，利用互余原理證明.

(2)方法1取BC的中點，構(gòu)造三角形ABC的一條中線；利用三角形中位線定理，確定AB的中點，確定另外一條中線，中線的交點就是三個三角形的公共頂點，與三角形ABC的頂點構(gòu)成的三角形就是所求.

方法2如圖3，連接AD，則CF=FE=ED=1，利用平行四邊形的判定，平行線分線段成比例定理，確定AC的三等分點，利用等底同高的三角形面積相等，實現(xiàn)解題目標．

(2)方法1如圖2，取BC的中點D，連接AD，則AD是三角形ABC的中線，取BG的中點H，設H所在直線與AB的交點為M，因為HM∥AG，BH=HG，所以HM是△ABG的中位線，于是M是AB的中點，連接CM交AD于點F，則△ABF、△ACF、△BCF即為所求.

方法2如圖3，連接AD，則CF=FE=ED=1，連接EG，交AC于點M，因為AG=DE=1，AG∥DE，所以四邊形AGED是平行四邊形，所以AD∥GE.連接FH，交AC于點N，因為GH=EF=1，GH∥EF，所以四邊形EGHF是平行四邊形，所以AD∥NF，所以M，N是AC的三等分點，則△ABM，△MBN，△NBC即為所求．

點評畫圖時，把握好如下幾個關鍵點：準確理解等腰三角形的性質(zhì)，靈活選擇三角形全等，是解題的基礎.靈活運用平行四邊形的判定和性質(zhì)，也是畫圖時重要依據(jù)之一，也是畫圖時需要思考的重要方向；準確把握和運用三角形中位線定理也是畫圖的重要知識支撐，也是知識綜合能力重要體現(xiàn).

2 作指定底邊的等腰三角形

例2如圖4，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點A，B均在格點上，請按要求畫圖．

圖4

在圖中找一點C，使得△ABC是以AB為底的等腰三角形．

分析以最左下端點為原點，以水平格線為x軸建立平面直角坐標系，確定A，B的坐標，設C(x，y)，根據(jù)CA=CB，建立方程，化簡得到點C的運動直線解析式，根據(jù)點C是格點，確定方程的整數(shù)解，從而確定等腰三角形的位置．

點評畫圖時，要把握好如下幾點：正確理解等腰三角形的判定，這是畫圖的基礎所在；學會把點的位置確定轉(zhuǎn)化為點的坐標來求解，借助方程的整數(shù)解實現(xiàn)解題目標，這種數(shù)學思維顯得很重要.

3 畫菱形、正方形

例3如圖5，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段CD，點A、B、C、D均在小正方形的頂點上．

圖5

(1)在方格紙中西出以AB為對角線的正方形AEBF，點E、F在小正方形的頂點上；

(2)在方格紙中面出以CD為一邊的菱形CDMN，點M、N在小正方形的頂點上，且菱形面積為8；請直接寫出△EFN的面積．

點評通過問題的解決，有如下幾點感悟：靈活運用勾股定理，用直尺畫圖即可；畫圖也有結(jié)論的開放型特點，解答時，需要展開視野，深刻思維，在作圖中培養(yǎng)數(shù)學發(fā)散思維的能力；作圖與計算是兩種能力的有機交融，作圖是動手操作能力，計算是數(shù)學最基礎最基本的計算能力，作圖講究技能，計算也要講究技巧，這也提醒大家，常態(tài)學習中，要重視和運用每一個知識點，不能因為思維定勢，思維習慣，計算習慣，而錯失歷練發(fā)散思維的好機會.

4 解后反思

首先，格點正方形問題題型新穎，在考試中會讓學生耳目一新，頗感興奮；其次，格點圖形簡單，考查知識明確，解答時需要用如下方法解決：通常把格點正方形的邊長看成1，便于計算；格點線段，連接格點所得到的線段；格點線段一定是某個直角三角形的斜邊；運用勾股定理一定可求格點線段的長度；運用勾股定理逆定理可以判定格點三角形的形狀；把特殊三角形，特殊四邊形的性質(zhì)，判定和性質(zhì)，往往也是解題的重要思考方向，甚至是解題的首選.