江金昊，葛文慶，李 波，王 賡

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院，山東淄博 255000)

電磁直線驅(qū)動裝置具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、功率密度大[1]、響應(yīng)速度快[2]等優(yōu)點，在航空航天、船舶及車輛等直線運(yùn)動領(lǐng)域具有較為明顯的應(yīng)用優(yōu)勢[3-4]。近年來，越來越多的國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行了更為深入的探索，理論及工程研究逐漸系統(tǒng)化，但仍有一些較為基礎(chǔ)的研究有待完善。

對電磁直線驅(qū)動裝置的研究大多圍繞有限元進(jìn)行[5-7]。有限元法在解決復(fù)雜電機(jī)結(jié)構(gòu)的磁場分布時具有求解精度高且通用性能較好等優(yōu)點，但有限元法求解時運(yùn)算周期較長[8]，同時無法直觀反映磁場特性與尺寸參數(shù)之間的規(guī)律，且采用有限元法對電機(jī)進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計時效率較低，因此現(xiàn)階段有限元法大都用來對模型的正確性進(jìn)行驗證[9-11]。近年來，部分學(xué)者開始圍繞解析法對電磁直線驅(qū)動裝置進(jìn)行研究，現(xiàn)階段常見的解析方法有磁勢矢模型、等效磁網(wǎng)絡(luò)模型及保角變換模型。文獻(xiàn)[12]、文獻(xiàn)[13]及文獻(xiàn)[14]建立磁勢矢模型對動磁式驅(qū)動裝置的電磁特性進(jìn)行研究，該方法雖較為直觀地反映尺寸參數(shù)對電磁特性的影響，但邊界條件復(fù)雜且計算量龐大；文獻(xiàn)[15]采用保角變換法分析直線電機(jī)特性，得到電機(jī)內(nèi)部磁場分布規(guī)律，雖然準(zhǔn)確度較高，但該方法需要多次變換平面，增加了求解難度；文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[17]及文獻(xiàn)[18]建立等效磁網(wǎng)絡(luò)模型分析旋轉(zhuǎn)電機(jī)內(nèi)部磁場分布，該方法的本質(zhì)為集總參數(shù)法，具有一定的局限性，無法得到電機(jī)內(nèi)磁場分布規(guī)律。

為了獲悉電磁直線驅(qū)動裝置穩(wěn)態(tài)電磁特性與各尺寸參數(shù)間的關(guān)系，采用磁勢矢模型進(jìn)行求解，采用分離變量法準(zhǔn)確計算開路狀態(tài)下驅(qū)動裝置靜態(tài)磁場分布以及電磁力。首先，建立動圈式電磁直線驅(qū)動裝置解析模型，得到驅(qū)動裝置電磁特性與各尺寸參數(shù)間的關(guān)系；其次，設(shè)計樣機(jī)并通過有限元模型對解析模型加以驗證；最后搭建試驗平臺，并通過試驗驗證解析模型的正確性與精確性。

1 結(jié)構(gòu)與模型

電磁直線驅(qū)動裝置用于課題組自主研發(fā)[19]的直驅(qū)式自動變速器[20](direct drive AMT，DAMT)，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。該變速系統(tǒng)由2個撥叉控制4個擋位，選用1對電磁直線驅(qū)動裝置分別驅(qū)動撥叉進(jìn)行單自由度往復(fù)運(yùn)動，進(jìn)而實現(xiàn)換擋。由于引入了驅(qū)動裝置，該變速系統(tǒng)縮短了動力傳動路徑，提高了傳動效率，具有結(jié)構(gòu)緊湊、控制簡單且換擋時間短等優(yōu)點，其中電磁直線驅(qū)動裝置作為驅(qū)動單元，其特性直接決定換擋品質(zhì)，因此對該驅(qū)動裝置電磁特性的研究是十分有必要的。

電磁直線驅(qū)動裝置結(jié)構(gòu)如圖2所示。驅(qū)動裝置由內(nèi)外磁軛、端蓋、線圈、線圈骨架及永磁體等部件組成。其中內(nèi)外磁軛及端蓋由導(dǎo)磁性能較好的S10C制成，永磁體為高性能N42SH永磁材料燒結(jié)而成，線圈骨架由硬度較高的PTEF制成。為了提高驅(qū)動裝置單側(cè)磁通密度且實現(xiàn)磁場的自屏蔽，引入Halbach永磁陣列。

圖1 DAMT樣機(jī)Fig.1 Prototype of DAMT

圖2 電磁直線驅(qū)動裝置結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of electromagnetic linear drive device

2 電磁場及電磁力建模

2.1 開路磁通密度建模

電磁直線驅(qū)動裝置實際邊界條件較為復(fù)雜，為降低求解難度應(yīng)在精度允許范圍內(nèi)做出如下假設(shè)：

1)驅(qū)動裝置內(nèi)部各接觸面均光滑且緊密貼合；

2)為便于傅里葉級數(shù)展開，認(rèn)為模型沿軸向尺寸可無限延伸；

3)該驅(qū)動裝置為無槽結(jié)構(gòu)且內(nèi)磁軛較厚，可以忽略端部效應(yīng)及飽和效應(yīng)；

4)永磁體內(nèi)部相對磁導(dǎo)率為常量μr，內(nèi)、外磁軛相對磁導(dǎo)率為無窮大。

圖3 驅(qū)動裝置簡化模型 Fig.3 Simplified model of drive device

因此可以建立如圖3所示的驅(qū)動裝置簡化模型。其中圖3 a)為求解區(qū)域示意圖，為了定義邊界條件完成求解，建立了圖中的空氣區(qū)域1，該區(qū)域在實際中不存在；圖3 b)為驅(qū)動裝置拓?fù)鋯卧?/p>

通過磁勢矢模型求解驅(qū)動裝置內(nèi)部磁場分布時，需要先建立求解區(qū)域內(nèi)磁場強(qiáng)度與磁通密度的本構(gòu)關(guān)系，并引入二維坐標(biāo)磁勢矢作為輔助求解手段，以此對求解區(qū)域內(nèi)的麥克斯韋方程進(jìn)行求解。各求解區(qū)域中存在如下本構(gòu)關(guān)系：

(1)

式中：B為磁通密度；H磁場強(qiáng)度；M為磁化矢量；χm為磁化率；M0為剩余磁化強(qiáng)度；μ0為真空磁導(dǎo)率。

在求解磁場分布之前，需要得到磁場控制方程，求解電磁直線電磁驅(qū)動裝置內(nèi)部磁場分布的本質(zhì)是尋找在特定邊界條件下的麥克斯韋方程組的特解。磁場為無源場，在各區(qū)域內(nèi)均滿足磁通連續(xù)性原理以及麥克斯韋全電流定律：

(2)

式中：D為電位移矢量；J為電流密度。

引入磁勢矢B=?×A，可得到各求解區(qū)域內(nèi)磁場控制方程：

(3)

電磁直線驅(qū)動裝置中電磁場的變化為低頻，因此在計算時可認(rèn)為是準(zhǔn)靜態(tài)場，可以忽略位移電流的影響，即D≡0。同時在區(qū)域1,2,3中均無電流，即Ji=0。因此可以得出簡化后磁場控制方程：

(4)

由于電磁驅(qū)動裝置為管狀直線電機(jī)，其內(nèi)部磁場具有周向?qū)ΨQ性，因此可以將磁場控制方程在二維坐標(biāo)系下進(jìn)行簡化，將磁勢矢A在柱坐標(biāo)系下分解后，可以進(jìn)一步將各求解區(qū)域內(nèi)磁場控制方程簡化：

(5)

圖4 磁場強(qiáng)度空間分布 Fig.4 Spatial distribution of magnetic field intensity

驅(qū)動裝置永磁體選用Halbach陣列分布，該磁極分布由軸向充磁與徑向充磁的永磁體根據(jù)一定規(guī)律組合而成，該分布相較于單一徑向分布，可以在提高一側(cè)磁通密度的同時實現(xiàn)磁場自屏蔽。在求解時需先將磁化矢量在柱坐標(biāo)系下進(jìn)行分解，永磁體磁化矢量的空間分布如圖4所示。

圖4中M0為磁化矢量的絕對值，其計算如下：

(6)

式中Bre是永磁體的磁體剩磁。

將圖4中不同方向的磁化矢量展開成傅里葉級數(shù)可得：

(7)

其中：τlp為模型周期；τp為極距；Lr為徑向充磁永磁體長度；La為軸向充磁永磁體長度。

(8)

聯(lián)立公式(本構(gòu)關(guān)系、磁勢矢通解、磁勢矢定義)，可以得到不同求解區(qū)域下徑向及軸向的磁通密度以及磁場強(qiáng)度的分布，具體結(jié)果如式(9)及式(10)所示。

在區(qū)域1及區(qū)域3中：

(9)

在區(qū)域2中：

(10)

式中：a1k，a2k，a3k，b1k，b2k，b3k為待定系數(shù)，可根據(jù)邊界可通過具體邊界條件求得；In(x)，Kn(x)，Ln(x)分別為n階第1類貝塞爾函數(shù)、第2類貝塞爾函數(shù)及斯特魯夫函數(shù)，其函數(shù)均不可由初等函數(shù)表示，但可以在自變量等于0處用泰勒公式以及Gamma函數(shù)進(jìn)行如下逼近：

(11)

在進(jìn)行模型簡化時認(rèn)為電磁驅(qū)動裝置各平面均為光滑且緊密貼合，介質(zhì)分布均勻。考慮到邊界條件為磁通密度在介質(zhì)交界處法向連續(xù)、磁場強(qiáng)度在該處切向連續(xù)，因此可以得到對應(yīng)邊界條件：

(12)

進(jìn)而得到在此邊界條件下的各待定系數(shù)，將各系數(shù)代入式(9)及式(10)，最終可確定唯一的磁通密度表達(dá)式。

2.2 電磁力推導(dǎo)

電磁驅(qū)動裝置的運(yùn)動滿足洛侖茲定律：

(13)

圖5 線圈尺寸示意圖Fig.5 Schematic diagram of coils

電磁驅(qū)動裝置內(nèi)結(jié)構(gòu)及磁場均具有周向?qū)ΨQ性，線圈及永磁體部分尺寸參數(shù)如圖5所示。線圈部分可近似看作矩形，其積分區(qū)域可分別表示為

(14)

式中：Rci為線圈區(qū)域內(nèi)徑；Rco為線圈區(qū)域外徑；τc為線圈區(qū)域軸向長度；τw為線圈節(jié)距。

為便于求解電磁力，可以進(jìn)一步將式(13)在二維平面內(nèi)進(jìn)行簡化，得到線圈1的洛倫茲力為

(15)

同理可以得到線圈2的洛倫茲力，并最終得到電磁驅(qū)動裝置的電磁力為

(16)

3 有限元驗證及結(jié)果討論

表1 電磁直線驅(qū)動裝置尺寸參數(shù)Tab.1 Dimension parameters of electromagnetic linear drive device 單位：mm

為了驗證解析模型的正確性，需要將解析結(jié)果與求解精度較高的有限元結(jié)果進(jìn)行對比分析，對電磁直線驅(qū)動裝置進(jìn)行分析，仿真以文章所描述的電磁直線驅(qū)動裝置為對象，該驅(qū)動裝置為課題組自主設(shè)計研發(fā)，并已對其尺寸進(jìn)行優(yōu)化[21]，優(yōu)化后參數(shù)如表1所示。

在JMAG Designer電磁場仿真軟件中建立有限元模型，采用有限元對電磁直線驅(qū)動裝置進(jìn)行靜態(tài)磁場仿真，可以得到徑向磁通密度與驅(qū)動裝置軸向尺寸的關(guān)系，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，解析結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好，證明了解析的正確性；永磁體具有邊緣效應(yīng)，其磁化矢量在邊界的分布并不均勻，而磁勢矢模型在簡化時認(rèn)為永磁體區(qū)域的磁化矢量為均勻分布且其數(shù)值為M0，因此有限元得到的高磁通密度區(qū)域會略小于解析模型得到的結(jié)果；磁勢矢模型中內(nèi)外磁軛磁導(dǎo)率均為無窮大，忽略了內(nèi)外磁軛的磁阻，從而使得解析模型的磁通密度均值以及波動率均略大于有限元模型。

圖6 徑向磁通密度對比圖Fig.6 Contrast diagram of radial flux density

圖7為電磁力、相對誤差與行程之間的關(guān)系，圖中將有限元結(jié)果與解析結(jié)果進(jìn)行比較，驅(qū)動裝置工作電流為I=10 A，最大行程為10 mm。為了更加直觀地反映解析模型的求解精度，引入相對誤差，定義為

(17)

式中：FAna和FFem分別為解析和有限元得到的電磁力結(jié)果。

為了反映電磁力的波動情況，引入電磁力波動率，定義為

(18)

式中：FMax和FMin分別為電磁力的最大值和最小值。

圖7 電磁力及誤差對比圖 Fig.7 Contrast diagram of electromagnetic force and error

從圖7可知，電磁力隨著行程的變化規(guī)律為非線性的，且隨著行程的增大，電磁力逐漸降低，有限元結(jié)果與解析結(jié)果吻合較好，證明了解析模型的正確性。解析模型初始位置處電磁力為836 N，最大行程處電磁力為694 N，力波動率為17%；有限元模型初始位置處電磁力為831 N，最大行程處電磁力為651 N，力波動率為21%。存在誤差的原因可能如下：解析模型的徑向磁通密度大于解析模型，使得積分項的B3r項較大；在求解時將線圈區(qū)域簡化為矩形，但實際導(dǎo)線間存在空隙，因此線圈積分區(qū)域略大于實際區(qū)域。相對誤差最小值0.6%，隨著徑向磁通密度誤差隨行程的疊加，相對誤差逐漸增大，最大值為6.6%。

有限元求解過程中，建立三維模型進(jìn)行有限元仿真，求解周期約為120 min；建立二維模型進(jìn)行有限元仿真，求解周期約為25 min；解析模型的求解周期可控制在10 s以內(nèi)。解析模型的求解周期遠(yuǎn)小于有限元模型，因此在誤差允許的范圍內(nèi)，選用解析模型獲悉電磁直線驅(qū)動裝置穩(wěn)態(tài)電磁特性時間成本較低。

4 測試平臺搭建與試驗驗證

4.1 試驗平臺搭建

圖8 試驗平臺Fig.8 Testing platform

圖9 磁通密度試驗結(jié)果及對比Fig.9 Contrast diagram of magnetic flux density test results

試驗平臺如圖8所示，其中圖8 a)為磁場測試平臺，該平臺包括電磁直線驅(qū)動裝置、保持架、上位機(jī)、IL-300CMOS激光位移傳感器及三維高斯計及霍爾探針，霍爾探針可以插入驅(qū)動裝置內(nèi)部，用于測量電磁直線驅(qū)動裝置內(nèi)部氣隙處的磁場分布。

圖8 b)為電磁力測試平臺，該平臺主要部分為電磁直線驅(qū)動裝置、支撐平臺、IL-300CMOS激光位移傳感器(量程±120 mm，靈敏度0.2 mm)、S9M力傳感器(量程2 kN，靈敏度0.4 N)、RUT-BOX控制單元、驅(qū)動單元、直流電源(最大輸出60 V)、上位機(jī)等，該平臺用來測量電磁力與行程的關(guān)系。

4.2 試驗結(jié)果與分析

在測量驅(qū)動裝置徑向磁通密度時無電流負(fù)載，軸向采樣間隔為2 mm，試驗與有限元以及解析的對比圖如圖9所示。由圖9可得：在軸向尺寸范圍內(nèi)，試驗結(jié)果與解析模型和有限元結(jié)果吻合較好，永磁體中間位置處的誤差為加工尺寸誤差造成的測量誤差，永磁體邊緣處的誤差源于永磁體安裝過程的軸向間隙，誤差均在接受范圍內(nèi)，證明了解析模型的正確性。

圖10 電磁力試驗結(jié)果及對比Fig.10 Contrast diagram of electromagnetic force test results

該驅(qū)動裝置用于DAMT系統(tǒng)，因此在試驗時需模擬DAMT換擋過程，結(jié)合課題組對DAMT換擋力的研究[3]，選擇繞組通入電流為10 A。為簡化實驗過程，僅對單側(cè)行程進(jìn)行試驗，沿軸向采樣間隔為0.5 mm。選用力傳感器測量電磁直線驅(qū)動裝置的電磁力，用位移傳感器測量行程。試驗與有限元以及解析模型的對比如圖10所示。由圖10可知：在驅(qū)動裝置行程范圍內(nèi)，試驗結(jié)果與解析模型和有限元結(jié)果吻合較好，證明了解析模型的正確性。試驗結(jié)果低于有限元結(jié)果，原因可能如下：一是永磁體在生產(chǎn)安裝時均存在誤差，進(jìn)而產(chǎn)生氣隙，弱化磁場分布；二是線圈繞組存在間隙，實際繞組匝數(shù)小于仿真設(shè)置匝數(shù)。試驗得到電磁力最大為820 N，出現(xiàn)在行程0 mm的位置；誤差最大為2.48%，出現(xiàn)在行程10 mm處。

5 結(jié) 語

本文針對直驅(qū)式自動變速器用動圈式電磁直線驅(qū)動的裝置解析建模與電磁特性分析，主要結(jié)論如下：推導(dǎo)了磁勢矢模型下的動圈式電磁直線驅(qū)動裝置內(nèi)磁場分布及電磁力的表達(dá)式，并通過有限元及試驗對解析模型進(jìn)行驗證，得到解析模型與有限元模型最大誤差為6.6%，與試驗的誤差不超過2.5%，證明了解析模型的正確性及精確性。

本文所選用的磁勢矢模型只能滿足較低精度下的電磁直線驅(qū)動裝置建模，未來還需完善更多混合模型下的驅(qū)動裝置解析建模，以提升建模精度。