?北京豐臺(tái)二中

甘志國(guó)

1 談一道高中數(shù)學(xué)教材經(jīng)典習(xí)題的解法

解：與教材[1]配套使用的《教師教學(xué)用書(shū)》[2](2020年8月第1次印刷)第193頁(yè)給出的該題解答是：

由題設(shè)可求得a=2，于是由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=4.又因?yàn)閨MF1|=5，所以所求|MF2|的值是1或9.

高中數(shù)學(xué)教材[1]、[3]～[5]的習(xí)題中均給出了下面的題2，且與這些教材配套使用的《教師教學(xué)用書(shū)》中給出的解法也相同，可見(jiàn)其“經(jīng)典”之程度.

題2如果雙曲線4x2-y2+64=0上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.

不妨設(shè)|PF1|=1，因而|PF2|=17.

A.11 B.9 C.5 D.3

解:B.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=3，可得|PF2|=-3或9(舍去負(fù)值)，所以|PF2|=9.

解:11.由所給雙曲線的方程及雙曲線的定義，得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=5，可得|PF2|=-1或11(舍去負(fù)值)，所以|PF2|=11.

“正值保留、非正值舍去”這種檢驗(yàn)方法似乎完整無(wú)誤，果真如此嗎？請(qǐng)看另一道高考題：

該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)；若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)：.

答案：|PF2|=17.

疑問(wèn)：為什么得到的|PF2|的正值“1”又要舍去呢？難道題1～4的解法有誤或者有不嚴(yán)謹(jǐn)之處，答案有錯(cuò)嗎？

我們要知道下面的常識(shí)：不是通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化得到的答案都要檢驗(yàn).如果得到了兩兩互異的n(n∈N*)個(gè)答案，則檢驗(yàn)的結(jié)果有2n種可能：恰有其中的0個(gè)答案滿足題設(shè)，或恰有其中的1個(gè)答案滿足題設(shè)，……，或恰有其中的n個(gè)答案滿足題設(shè).比如，當(dāng)不是通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化得到了兩個(gè)不同的答案(記作λ,μ)時(shí)，檢驗(yàn)的結(jié)果有四種可能：λ,μ均不滿足題設(shè)(此時(shí)原問(wèn)題無(wú)解)；λ滿足題設(shè)，但μ不滿足題設(shè)(此時(shí)原問(wèn)題有唯一解：解是λ)；λ不滿足題設(shè)，但μ滿足題設(shè)(此時(shí)原問(wèn)題有唯一解：解是μ)；λ,μ均滿足題設(shè)(此時(shí)原問(wèn)題有且僅有兩個(gè)解：解是λ,μ).對(duì)兩個(gè)答案λ,μ均要檢驗(yàn)，絕不能說(shuō)“若λ不滿足題設(shè)，則μ就滿足題設(shè)”.

圖1

因此，題1～4的解法均有誤，并且《教師教學(xué)用書(shū)》[2]給出的題1的答案也是錯(cuò)誤的(理由見(jiàn)后面的論述)：錯(cuò)誤在于檢驗(yàn)方法“正值保留、非正值舍去”不對(duì)(在下文的題7中，得到的兩個(gè)正值均應(yīng)舍去).

若點(diǎn)M在該雙曲線的右支上，由該雙曲線的右支向左凸，可得|MF1|≥|A2F1|=|A2O|+|OF1|=2+4=6，與題設(shè)|MF1|=5矛盾.所以點(diǎn)M在該雙曲線的左支上，因而|MF1|<|MF2|.

再由雙曲線的定義，可得||MF1|-|MF2||=|MF2|-|MF1|=|MF2|-5=4,|MF2|=9.

由圖1可看出，雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的取值范圍不是(0，+∞)，右支上的動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的取值范圍也不是(0，+∞)，這正是以上檢驗(yàn)方法“正值保留、非正值舍去”的錯(cuò)誤原因.

2 一般情形的結(jié)論及其應(yīng)用

(用減元法、三角換元法、雙曲線的焦半徑公式均可獲證.)

由定理1及其證明，可得下面的兩個(gè)推論：

推論1如圖2所示，設(shè)雙曲線Γ的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2，左焦點(diǎn)是F1.則有:

(1)若以F1為圓心，|F1A1|為半徑畫圓Ω，則除點(diǎn)A1外雙曲線Γ左支上的點(diǎn)均在圓Ω外；

(2)若以F1為圓心，|F1A2|為半徑畫圓Ω′，則除點(diǎn)A2外雙曲線Γ右支上的點(diǎn)均在圓Ω′外.

圖2

注：在圖2中，由圓及雙曲線的凹凸性，可得推論1(2)顯然成立，但推論1(1)不能僅由看圖得出.

(1)當(dāng)c-a≤r

(2)當(dāng)r≥c+a時(shí)，點(diǎn)P到雙曲線Γ的另一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值集合是{r-2a,r+2a}.

證明：不妨設(shè)點(diǎn)P到雙曲線Γ的左焦點(diǎn)F1的距離是|PF1|=r，雙曲線Γ的右焦點(diǎn)是F2.

(1)當(dāng)c-a≤r

(2)當(dāng)r≥c+a時(shí)，由定理1可得點(diǎn)P可在雙曲線Γ的左支上，也可在雙曲線Γ的右支上.

若點(diǎn)P可在雙曲線Γ的左支上，由雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=|PF2|-|PF1|=|PF2|-r=2a,|PF2|=r+2a；若點(diǎn)P可在雙曲線Γ的右支上，由雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=|PF1|-|PF2|=r-|PF2|=2a,|PF2|=r-2a≥c-a.進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

(1)若|PF1|=17，則|PF2|=；

(4)若|PF1|=r(r>0)，則|PF2|=.

解：依題意可得|PF1|-|PF2|=±16，再由推論2可得所求答案分別是：

錯(cuò)誤解法：由題設(shè)及雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=||PF2|-25|=22,|PF2|=3或47.

正確解法：因?yàn)殡p曲線Γ的實(shí)半軸長(zhǎng)a=11，半焦距c=61，所以由定理1可得|PF1|≥c-a=50，與題設(shè)|PF1|=25矛盾！所以本題的答案是“不存在”.

還可把推論1加強(qiáng)為：

圖3

筆者于2011年發(fā)表的文[7]還得到了關(guān)于拋物線、橢圓的相應(yīng)結(jié)論(下面的表述略有改動(dòng))：

定理3[7]如圖4所示，以點(diǎn)C(t,0)(t>0)為圓心,|CO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為半徑畫圓Ω，則除點(diǎn)O外拋物線Γ:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)均在圓Ω外的充要條件是0

圖4

圖5

圖6

圖7

推論3如圖7所示，設(shè)橢圓Γ的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2，左焦點(diǎn)是F1.

(1)若以F1為圓心,|F1A1|為半徑畫圓Ω，則除點(diǎn)A1外橢圓Γ上的點(diǎn)均在圓Ω外；

(2)若以F1為圓心,|F1A2|為半徑畫圓Ω′，則除點(diǎn)A2外橢圓Γ上的點(diǎn)均在圓Ω′內(nèi).

注：推論3的兩個(gè)結(jié)論均不能由圖7直接得出.

題8已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)是A，橢圓上存在點(diǎn)P使OP⊥PA，求該橢圓離心率的取值范圍.

c2cos2θ-a2cosθ+a2-c2=0.