代 濤,李正權(quán),2,王舟明

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122;2.江蘇省未來(lái)網(wǎng)絡(luò)創(chuàng)新研究院,江蘇 南京 211111)

大規(guī)模多輸入多輸出(MIMO, multiple-input multiple-output)技術(shù)具有數(shù)據(jù)傳輸速率高、信道容量大[1]的顯著優(yōu)勢(shì),能夠擴(kuò)大信號(hào)傳輸范圍,提高通信質(zhì)量,因此是未來(lái)無(wú)線通信領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在功率受限情況下,信號(hào)傳輸實(shí)時(shí)性和精確度無(wú)法滿足數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)應(yīng)用需求,故大規(guī)模MIMO上行鏈路中需引入快速準(zhǔn)確的信號(hào)檢測(cè)技術(shù)以提升系統(tǒng)性能,但基站端有海量天線,會(huì)使信號(hào)檢測(cè)運(yùn)算復(fù)雜度大幅增加,因而亟待設(shè)計(jì)一種高性能且復(fù)雜度低的信號(hào)檢測(cè)算法。

一般來(lái)說(shuō),信號(hào)檢測(cè)算法可以分為非線性檢測(cè)和線性檢測(cè)兩種類型。常見(jiàn)的非線性檢測(cè)算法有最大似然(maximum likelihood, ML)檢測(cè)算法[2],它可以實(shí)現(xiàn)最佳的性能,但其復(fù)雜度隨著天線數(shù)呈指數(shù)增加,難以應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)。為了得到復(fù)雜度低并且接近ML算法性能的非線性算法,文獻(xiàn)[3]提出了消息傳遞(message passing,MP),文獻(xiàn)[4]提出了期望傳播(expectation propagation,EP),但在天線數(shù)量很高或者調(diào)制階數(shù)很高時(shí),其實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度依然不小。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中,天線的數(shù)量一般要比用戶的數(shù)量大很多,每個(gè)用戶之間的信道近似正交,會(huì)出現(xiàn)信道硬化現(xiàn)象[5]。由于這個(gè)特性,一些線性檢測(cè)算法可以得到很好的檢測(cè)性能,與此同時(shí)信號(hào)處理方式也更為簡(jiǎn)便,常用的有迫零(forced zero,ZF)檢測(cè)算法[6],不過(guò)ZF算法沒(méi)有考慮噪聲影響,尤其當(dāng)信噪比較低時(shí)其誤碼率性能差。為此，提出了最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)算法[7],但ZF和MMSE都帶來(lái)了高維矩陣求逆的問(wèn)題。

對(duì)于高維矩陣求逆問(wèn)題,典型算法可以分為兩類:一類是基于級(jí)數(shù)展開(kāi)替代矩陣求逆典型算法。文獻(xiàn)[8]提出了Neumann級(jí)數(shù)近似算法,該算法將矩陣求逆轉(zhuǎn)換為一系列的矩陣向量乘法。然而,復(fù)雜度的降低并不明顯,尤其當(dāng)Neumann級(jí)數(shù)階數(shù)高于2時(shí),算法的復(fù)雜度仍高達(dá)O(K3),并且隨著用戶數(shù)的增加,性能明顯下降。另一類是使用迭代替代矩陣求逆，將MMSE檢測(cè)中求逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問(wèn)題,通過(guò)迭代算法求解線性方程組。Richardson迭代[9]雖然實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度較低,但是算法收斂速度慢;還有高斯賽德?tīng)?GS, Gauss-Seidel)[10]、連續(xù)超松弛(SOR, successive over relaxation)[11]、Kaczmarz[12]算法等,這些方法的計(jì)算步驟之間有很高的關(guān)聯(lián)性,只能按順序進(jìn)行計(jì)算,并且存在初始的收斂性較差問(wèn)題。因此,研究者提出了一些檢測(cè)方法來(lái)提高計(jì)算的并行性。Jacobi算法[13]是一種簡(jiǎn)單的迭代算法,具有很高的并行性,但是算法依然存在初始收斂性較差的缺點(diǎn)。而最速下降法(steepest descent,SD)[14]在初始更新就可以得到較好的收斂性,通過(guò)為算法提供有效搜索方向,來(lái)使得算法收斂加快。不過(guò)傳統(tǒng)最速下降法步長(zhǎng)固定,相對(duì)比下Barzilai-Borwein算法[15]是沿著最速下降的方向,來(lái)選擇合適步長(zhǎng)以進(jìn)行迭代,提高算法性能。因此在實(shí)際的應(yīng)用中可以得到更好的性能。文獻(xiàn)[16]提出Barzilai-Borwein和最速下降法結(jié)合的一種信號(hào)檢測(cè)算法(SDBB),雖然性能得到提升,但該算法并沒(méi)有選取一個(gè)合適的初值,來(lái)提高算法的收斂速度,與此同時(shí)對(duì)步長(zhǎng)選取沒(méi)有進(jìn)行更細(xì)致的考慮。文獻(xiàn)[17]對(duì)上述算法進(jìn)行了分析和證明,描述為CBB算法,為防止出現(xiàn)歧義,下文統(tǒng)稱SDBB算法為CBB。

文中通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[16]算法進(jìn)行改進(jìn)來(lái)解決信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題,通過(guò)對(duì)該算法設(shè)置一個(gè)合適的初值,通過(guò)對(duì)不同步長(zhǎng)進(jìn)行了仿真,分析出更加合適的步長(zhǎng)。仿真結(jié)果證明,對(duì)于Barzilai-Borwein算法的性能隨著天線數(shù)量增加而明顯下降的問(wèn)題,所提出的改進(jìn)算法在適應(yīng)不同數(shù)量的用戶方面更有效率,同時(shí)算法在誤碼率性能方面優(yōu)于Barzilai-Borwein和CBB算法。該算法在誤碼率方面可以接近MMSE,同時(shí)又避免復(fù)雜度過(guò)高的問(wèn)題。同時(shí)該算法在無(wú)創(chuàng)微波成像[18]中也被應(yīng)用。

文中的其余部分組織如下:第1節(jié)介紹了大規(guī)模MIMO和信號(hào)檢測(cè)的系統(tǒng)模型;第2節(jié)介紹了MMSE信號(hào)檢測(cè)算法、Barzilai-Borwein迭代算法以及所提算法;第3節(jié)對(duì)不同算法的復(fù)雜性進(jìn)行分析對(duì)比;第4節(jié)對(duì)MMSE、Barzilai-Borwein、CBB算法、改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法進(jìn)行了誤碼率性能仿真;最后,在第5節(jié)中得出結(jié)論。

1 系統(tǒng)模型

如圖1,大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中,假設(shè)接收端有N根天線,發(fā)送端有K個(gè)用戶,每個(gè)用戶配備單個(gè)天線,一般情況下N≥K。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)接收端信號(hào)yC可以表示為

yC=HCxC+nC。

(1)

文中,假設(shè)每個(gè)用戶使用單根天線,同時(shí)每個(gè)用戶功率設(shè)置為E|xi|2=1,xi∈Q,其中Q代表調(diào)制符號(hào)集。xC=[x1,x2,…,xK]T∈CK×1表示K個(gè)用戶同時(shí)發(fā)送的經(jīng)過(guò)調(diào)制以后的符號(hào),信號(hào)經(jīng)過(guò)的是瑞利衰落信道,信道增益矩陣[19]為HC=[h1,h2,…,hK]∈CN×K,信道增益向量為hj=[h1,j,h2,j,…,hN,j]T∈CN×1,hi,j表示第j個(gè)發(fā)送天線與第i個(gè)接收天線之間的信道衰落系數(shù),與此同時(shí)hi,j是滿足均值為0,方差為1的復(fù)高斯分布。其中nC=[n1,n2,…,nN]∈CN×1表示N維的加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise,AWGN),ni滿足均值為0,方差為σ2。

為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理,將復(fù)數(shù)信道模型HC轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)信道模型,同時(shí)對(duì)發(fā)送信號(hào)xC,接收信號(hào)yC以及噪聲nC都進(jìn)行復(fù)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換,各個(gè)模型可以轉(zhuǎn)換為:

(2)

(3)

(4)

(5)

其中R(·)表示復(fù)矩陣或者向量的實(shí)部,I(·)表示復(fù)矩陣或者向量的虛部。

之后信號(hào)傳輸可以改寫(xiě)為

y=Hx+n。

(6)

文中的SNR是指每個(gè)接收天線的平均信噪比(signal-to-noise ratio, SNR),表達(dá)式如下:

(7)

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 MMSE算法信號(hào)檢測(cè)

W=(HTH+σ2I2K)-1HT。

(8)

(9)

A表示MMSE濾波矩陣,b表示y的匹配濾波輸出。通過(guò)式(9)可以發(fā)現(xiàn),檢測(cè)過(guò)程可以看作線性方程組問(wèn)題。不過(guò)需要注意的是,A矩陣直接求逆需要復(fù)雜度數(shù)量級(jí)為O(K3)。

2.2 Barzilai-Borwein迭代算法

Barzilai-Borwein迭代是由Barzilai和Borwein提出的迭代方法,與傳統(tǒng)最速下降法使用固定步長(zhǎng)相比,該迭代方法式在沿著最速下降方向來(lái)選擇合適的步長(zhǎng)。式(9)可以轉(zhuǎn)換為線性方程組問(wèn)題:

(10)

(11)

Barzilai-Borwein迭代的基本形式[15]為

(12)

(13)

迭代算法的初始值不影響算法的收斂性,但初始值選取對(duì)迭代算法的收斂速度和檢測(cè)精度有一定影響。一般來(lái)說(shuō),初始值用零向量時(shí),算法收斂會(huì)很慢。為了擁有更快收斂速度,本文算法選取Richardson初值[21]

(14)

2.3 改進(jìn)修正Barzilai-Borwein迭代算法

修正Barzilai-Borwein算法[17]是Raydan和Svaiter結(jié)合Barzilai-Borwein和最速下降法提出的一種非單調(diào)下降算法,具體的迭代表達(dá)式:

(15)

(16)

(17)

令h(t)=Ar(t),整理式(15)可得

(18)

本文嘗試對(duì)上式中步長(zhǎng)改進(jìn)變?yōu)棣圈?t),其中θ∈(0～α),考慮到步長(zhǎng)如果太大,會(huì)導(dǎo)致算法無(wú)法收斂,所以α最大值設(shè)定為2,式(7)可改寫(xiě)為

(19)

圖2圖3為對(duì)于不同θ進(jìn)行仿真對(duì)比。

圖2 32QAM情況下,不同步長(zhǎng)與誤碼率之間關(guān)系

圖3 64QAM情況下,不同步長(zhǎng)與誤碼率之間關(guān)系

通過(guò)圖2圖3的仿真可以看出,兩種情況下,采用步長(zhǎng)為0.9倍時(shí),誤碼率是相對(duì)最低的,后續(xù)本文算法采用0.9倍步長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行算法仿真。

結(jié)合上文描述,改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法的流程可以總結(jié)如表1。

表1 改進(jìn)修正Barzilai-Borwein的信號(hào)檢測(cè)算法

3 性能分析

對(duì)于大規(guī)模MIMO信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng),計(jì)算復(fù)雜度是衡量檢測(cè)器性能的重要指標(biāo)之一。雖然CBB迭代算法比Barzilai-Borwein多出來(lái)一項(xiàng),但其實(shí)其中復(fù)雜度高的部分h(t)=Ar(t)在求解μ(t-1)過(guò)程中已經(jīng)得到,因此兩種算法的復(fù)雜度差不多,同時(shí)本文在修正CBB算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),復(fù)雜度的增加很少。本文將一次實(shí)數(shù)乘法的復(fù)雜度記為1,不同算法都需要HTH的復(fù)雜度為8NK2,HTy的復(fù)雜度為4NK。

通過(guò)修正Barzilai-Borwein迭代算法的形式,計(jì)算各部分的復(fù)雜度。

1)初始解的復(fù)雜度

2)修正Barzilai-Borwein迭代復(fù)雜度

(b)h(t)的復(fù)雜度:包括一個(gè)2K×2K的矩陣A和一個(gè)2K×1的向量r(t),它需要的復(fù)雜度為4K2。

(c)θμ(t)的復(fù)雜度:包括一個(gè)1×2K的向量(r(t))T和一個(gè)2K×1的向量r(t),還有一個(gè)1×2K的向量(r(t))T和一個(gè)2K×1的向量h(t),還有兩個(gè)常數(shù)相乘需要復(fù)雜度為1,需要的復(fù)雜度為4K。

表2為不同算法復(fù)雜度的比較。

表2 不同算法復(fù)雜度對(duì)比

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,采用MATLAB程序?qū)λ惴ㄟM(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),將其與Barzilai-Borwein算法、CBB算法和MMSE算法進(jìn)行了對(duì)比,采用誤碼率作為指標(biāo)來(lái)對(duì)改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。為了更好對(duì)比Barzilai-Borwein和本文所提算法,將Barzilai-Borwein算法也采用了Richardson初值進(jìn)行仿真,各仿真選用的幀數(shù)L=20 000;信噪比范圍設(shè)置在0∶15 dB;信源數(shù)據(jù)采用randi函數(shù)隨機(jī)生成,天線采用了兩種配置32×128和16×64;調(diào)制方式采用了32QAM和64QAM兩種方式;不過(guò)圖4的具體參數(shù)設(shè)置為32×128,調(diào)制方式為32QAM;圖9的信噪比設(shè)置為12 dB,用戶天線范圍設(shè)置為32∶64,基站天線數(shù)為128,調(diào)制方式為32QAM。

如圖4可以發(fā)現(xiàn)在低信噪比的情況下,由于噪聲對(duì)于信號(hào)的比重很高,檢測(cè)算法無(wú)法有效區(qū)分信號(hào),因此無(wú)論迭代的次數(shù)如何改變,誤碼率曲線基本保持不變。對(duì)比之下,在信噪比到10 dB時(shí)候,誤碼率曲線開(kāi)始有下降趨勢(shì),并且最終隨著迭代次數(shù)增加到4時(shí),誤碼率基本保持到一個(gè)穩(wěn)定值;在信噪比12 dB可以明顯發(fā)現(xiàn)誤碼率曲線隨著迭代次數(shù)增加下降快速,并且在迭代4次時(shí),誤碼率基本維持在10-6,隨著迭代次數(shù)提高,誤碼率還有小的提升,但是相對(duì)于提升的復(fù)雜度來(lái)說(shuō),繼續(xù)進(jìn)行迭代,并不是一個(gè)好的策略。

圖4 不同迭代次數(shù)下,不同信噪比對(duì)應(yīng)的誤碼率曲線

如圖5,表示的是采用32QAM調(diào)制方式下32×128天線數(shù)情況下不同算法的誤碼率曲線圖。Barzilai-Borwein算法誤碼率曲線隨著迭代次數(shù)增加誤碼率雖然下降速度較快,但是與MMSE算法相比較來(lái)說(shuō),依然存在差距;CBB算法在迭代3次時(shí),算法的誤碼率曲線與Barzilai-Borwein算法迭代4次時(shí)的曲線基本相同。改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法的收斂速度明顯更快,該算法在迭代3次時(shí)已基本接近CBB算法迭代4次曲線,并且迭代4次時(shí)已基本接近MMSE檢測(cè)性能。

圖5 在32QAM和32×128條件下,不同信噪比下誤碼率

圖6表示的是32QAM調(diào)制16×64的情況下,不同算法的誤碼率曲線。Barzilai-Borwein算法在迭代4次時(shí),信噪比在15 dB左右時(shí),誤碼率才降低到10-4左右;CBB算法,迭代3次時(shí),信噪比在13dB左右誤碼率已經(jīng)降到10-4,同樣的改進(jìn)修正Barzilai-Borwein在迭代3次時(shí),13 dB左右誤碼率就已經(jīng)低到10-6,并且改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法在迭代4次誤碼率曲線已接近MMSE算法。

圖6 在32QAM和16×64條件下,不同信噪比下誤碼率

如圖7,與圖5相比,隨著調(diào)制方式提高,各個(gè)算法誤碼率曲線降低變緩,通過(guò)兩圖對(duì)比,即使調(diào)制方式提高,改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法依然保持自己的優(yōu)勢(shì),在迭代4次時(shí)依然與MMSE接近。

圖8與圖7對(duì)比也可以發(fā)現(xiàn),在基站天線數(shù)與用戶數(shù)比值不變時(shí),基站天線數(shù)和用戶天線數(shù)大小變化并不會(huì)影響本文所提算法的性能,改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法依然保持這高收斂,僅需要很少的迭代次數(shù)就可以達(dá)到MMSE性能。

圖7 在64QAM和32×128條件下,不同信噪比下誤碼率

圖8 在64QAM和16×64條件下,不同信噪比下誤碼率

圖9是在不同用戶數(shù)下各算法的誤碼率曲線圖,隨著用戶數(shù)的降低,各算法的誤碼率都在降低,CBB算法迭代4次與改進(jìn)修正Barzilai-Borwein的迭代3次誤碼率曲線基本重合,與此同時(shí)也改進(jìn)修正后的Barzilai-Borwein算法誤碼率在迭代4次時(shí),雖然在用戶數(shù)較高的情況下,與MMSE相比較性能稍差一點(diǎn),但總體依然很接近MMSE性能,并且通過(guò)整體可以發(fā)現(xiàn),用戶數(shù)在32:64變化,本文提出算法整體性能依然優(yōu)于Barzilai-Borwein和CBB算法。

圖9 天線數(shù)為128,不同用戶數(shù)對(duì)應(yīng)的誤碼率曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

MMSE算法可以實(shí)現(xiàn)近似最優(yōu)的性能,但是由于其實(shí)現(xiàn)需要的復(fù)雜很高,無(wú)法滿足實(shí)時(shí)性要求,在實(shí)際場(chǎng)景中無(wú)法應(yīng)用,而改進(jìn)修正Barzilai-Borwein算法相對(duì)MMSE算法復(fù)雜度降低了一個(gè)數(shù)量級(jí),同時(shí)在迭代4次時(shí)也基本達(dá)到MMSE性能。Barzilai-Borwein和CBB算法雖然單次迭代實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與改進(jìn)修正Barzilai-Borwein來(lái)說(shuō)相對(duì)較低,但是本文提出算法需要更少的迭代次數(shù),就可以基本達(dá)到MMSE算法的檢測(cè)性能,所以在一定程度上,該算法依然有優(yōu)勢(shì)?？偟膩?lái)說(shuō),該算法可以在檢測(cè)性能和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度方面達(dá)到平衡。