何朕，成知寧，王寧遠(yuǎn)，孟范偉

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引 言

從工業(yè)制造到高端醫(yī)療器械，從新能源產(chǎn)業(yè)到航空航天，伺服系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域中[1-5,30]。但不可忽視的是，系統(tǒng)中由于傳動(dòng)軸的彈性連接所引發(fā)的諧振現(xiàn)象，極大影響了系統(tǒng)的精度，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定[27,29]。因此，對(duì)諧振抑制的研究是很有必要的。

通常情況下，實(shí)際系統(tǒng)由雙慣量系統(tǒng)(2-inertia system)來(lái)描述。由此，目前大多的研究也主要集中在雙慣量系統(tǒng)的諧振抑制，并提出了諸多有效的方法，例如PID控制[6-7]、自適應(yīng)控制[8-9]、魯棒控制[10,26]、滑?？刂芠11-14]等。文獻(xiàn)[15]針對(duì)帶有雙編碼器的柔性連接執(zhí)行機(jī)構(gòu)，構(gòu)造了一種擾動(dòng)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)了由于柔性連接使得系統(tǒng)呈現(xiàn)弱阻尼撓性所引發(fā)的諧振的抑制。文獻(xiàn)[16]針對(duì)雙慣量系統(tǒng)提出了PID-P的控制結(jié)構(gòu)，并利用系數(shù)圖法(coefficient diagram method，CDM)對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行選取，有效抑制了系統(tǒng)的機(jī)械諧振。文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)一種滑模觀測(cè)器對(duì)電機(jī)加速度和負(fù)載速度進(jìn)行估計(jì)并反饋到系統(tǒng)中進(jìn)行補(bǔ)償，解決了大慣量掃描鏡伺服控制系統(tǒng)中柔性連接帶來(lái)的機(jī)械諧振問(wèn)題。此外，一些智能控制方法也被用于解決此類問(wèn)題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[19-21]和模糊控制[22-23]憑借著其近似能力較好的學(xué)習(xí)效果，也在解決諧振抑制問(wèn)題中發(fā)揮了不錯(cuò)的效果。

然而，針對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)來(lái)講，一般系統(tǒng)中存在的諧振模態(tài)卻不止一個(gè)，此時(shí)系統(tǒng)便成了一個(gè)三慣量系統(tǒng)(3-inertia system)?，F(xiàn)在的工作一般都聚焦在雙慣量系統(tǒng)上，文獻(xiàn)[24]指出，基于CDM法對(duì)雙慣量系統(tǒng)的陷波濾波設(shè)計(jì)不適用于三慣量系統(tǒng)，該文進(jìn)而對(duì)三慣量系統(tǒng)的諧波抑制進(jìn)行了特殊的復(fù)雜設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[25]將三慣量系統(tǒng)近似為雙慣量系統(tǒng)進(jìn)行描述，并采用狀態(tài)反饋結(jié)合PI控制實(shí)現(xiàn)了諧振抑制，但設(shè)計(jì)過(guò)程是依據(jù)雙慣量模型進(jìn)行的。結(jié)合目前已有的研究成果，人們將諧振抑制問(wèn)題仍主要聚焦在雙慣量系統(tǒng)上，且并未從一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來(lái)對(duì)兩類系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

因此，相比于前人的工作，本文從等效名義對(duì)象角度入手，將雙慣量和三慣量系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)一討論，針對(duì)兩類系統(tǒng)的電機(jī)側(cè)位置控制提出一個(gè)新的控制結(jié)構(gòu)，使得此類結(jié)構(gòu)可以同時(shí)解決兩類系統(tǒng)的諧振抑制問(wèn)題。該結(jié)構(gòu)由擾動(dòng)觀測(cè)器和控制器兩部分構(gòu)成，其中擾動(dòng)觀測(cè)器用于將實(shí)際系統(tǒng)等效成名義對(duì)象(剛體)；在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)控制器以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的諧振抑制和對(duì)輸入信號(hào)的精確跟蹤。具體來(lái)說(shuō)，文中分別將三慣量系統(tǒng)中的齒輪轉(zhuǎn)矩Tg和雙慣量系統(tǒng)中的傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)矩Tc等視為電機(jī)側(cè)的“擾動(dòng)”。所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器利用系統(tǒng)的控制輸入(即電機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩)和電機(jī)轉(zhuǎn)速作為輸入信號(hào)，經(jīng)低通濾波器作用后，估計(jì)出系統(tǒng)的“擾動(dòng)”，等效為名義對(duì)象。此外，本文基于雙曲函數(shù)提出一種新的滑模趨近律，解決了傳統(tǒng)滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象，并通過(guò)仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。

本文第1部分建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了陳述；第2部分給出基于擾動(dòng)觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)目刂撇呗裕坏?部分通過(guò)仿真對(duì)本文所提方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證；第4部分對(duì)全文作出總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型

根據(jù)典型傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分別建立了雙慣量系統(tǒng)和三慣量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合所得到的數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。

一個(gè)典型傳動(dòng)系統(tǒng)主要由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、負(fù)載和傳動(dòng)裝置(齒輪、傳動(dòng)軸等)組成，其大致結(jié)構(gòu)如圖1所示。在此結(jié)構(gòu)中，電機(jī)通過(guò)齒輪和傳動(dòng)軸驅(qū)動(dòng)負(fù)載，兩者由于傳動(dòng)裝置的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)發(fā)生耦合。電磁轉(zhuǎn)矩和傳動(dòng)裝置上的轉(zhuǎn)矩共同作用于電機(jī)，以決定電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速；同時(shí)，傳動(dòng)裝置上的轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩共同作用于負(fù)載，以決定負(fù)載角速度。在此情況下，當(dāng)我們將齒輪的影響考慮在內(nèi)時(shí)，此時(shí)的傳動(dòng)系統(tǒng)可以由一個(gè)三慣量系統(tǒng)來(lái)描述，如圖2所示。

圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of transmission systems

圖2 三慣量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of three-inertia system

根據(jù)圖2，當(dāng)忽略齒隙的影響，即δ=0時(shí)，此時(shí)三慣量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表述為：

(1)

(2)

圖3中實(shí)線給出了三慣量系統(tǒng)從Tm到θm的頻率特性，各參數(shù)具體數(shù)值可見(jiàn)表1。從圖中可以看到，此時(shí)系統(tǒng)中存在兩個(gè)諧振峰(78、236 rad/s)分別對(duì)應(yīng)由傳動(dòng)軸和齒輪所引起的諧振現(xiàn)象，且兩頻率較為接近容易同時(shí)被激發(fā)，使系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械振蕩。

圖3 兩系統(tǒng)頻率特性Fig.3 Frequency response characteristics(2-I system &3-I system)

表1 仿真模型的參數(shù)[24]Table 1 Parameters of simulation model[24]

事實(shí)上，當(dāng)忽略掉齒隙影響時(shí)，考慮到齒輪的剛度系數(shù)Kg通常遠(yuǎn)大于傳動(dòng)軸的剛度系數(shù)Kc，此時(shí)三慣量系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為雙慣量系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖4中，Jmg(=Jm+Jg)作為齒輪和電機(jī)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

整理后可得雙慣量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

(3)

(4)

圖4 雙慣量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Block diagram of two-inertia system

同樣地可以整理出對(duì)應(yīng)雙慣量系統(tǒng)中從電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩Tm到電機(jī)角度θm的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(5)

圖5 兩系統(tǒng)方波響應(yīng)Fig.5 Response of square signal in two systems

從以上分析中可以得知，無(wú)論是對(duì)于三慣量系統(tǒng)還是雙慣量系統(tǒng)而言，兩者都是因?yàn)橄到y(tǒng)阻尼系數(shù)的值非常小，從而在幅值特性中表現(xiàn)出兩個(gè)或一個(gè)諧振峰，前者分別先后對(duì)應(yīng)著三慣量系統(tǒng)中柔性傳動(dòng)軸發(fā)生扭振時(shí)的諧振頻率和齒輪的諧振頻率，后者對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化后的雙慣量系統(tǒng)中柔性傳動(dòng)軸發(fā)生扭振時(shí)的諧振頻率。

因此，本文的目標(biāo)如下：1)設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行補(bǔ)償，將系統(tǒng)等效成名義對(duì)象；2)設(shè)計(jì)控制器使得系統(tǒng)電機(jī)側(cè)位置準(zhǔn)確跟蹤給定輸入信號(hào)。

2 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的補(bǔ)償策略

由式(1)～式(4)，假設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=0，兩類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程均可表述為

(6)

為了更好地抑制系統(tǒng)中的機(jī)械諧振，本部分的主要內(nèi)容為設(shè)計(jì)基于擾動(dòng)觀測(cè)器的補(bǔ)償環(huán)節(jié)將系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)化為名義對(duì)象，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的諧振抑制。

2.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

擾動(dòng)觀測(cè)器(disturbance observer,DOB)的原理是將作用在系統(tǒng)上的擾動(dòng)信號(hào)視為另外一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出信號(hào)，通過(guò)對(duì)這一個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的補(bǔ)償[26]。在這里，我們主要分別將雙慣量系統(tǒng)中的Tc和三慣量系統(tǒng)中的Tg視作各自的電機(jī)側(cè)擾動(dòng)，然后考慮利用擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)此進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，從而將真實(shí)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為名義對(duì)象來(lái)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)。圖6給出了擾動(dòng)觀測(cè)器的原理結(jié)構(gòu)圖。

圖6 擾動(dòng)觀測(cè)器原理圖Fig.6 Structure of disturbance observer

從圖6可得系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系式為

y=Guy(s)u+Gdy(s)d。

(7)

在低通濾波器Q(s)的頻段內(nèi)，Q(s)≈1，從而有Guy≈Pn,Gdy≈0。這就意味著當(dāng)擾動(dòng)信號(hào)的最大頻率依然小于Q(s)的剪切頻率時(shí)，擾動(dòng)信號(hào)能夠得到很好地抑制，并且真實(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為名義對(duì)象。顯然，在具體的設(shè)計(jì)中，濾波器Q的選取決定了系統(tǒng)的魯棒性和擾動(dòng)抑制性能，考慮到系統(tǒng)的帶寬要受到魯棒穩(wěn)定性的限制，所以Q(s)的頻段設(shè)計(jì)要在擾動(dòng)抑制和魯棒穩(wěn)定性之間取一個(gè)折中。

(8)

(9)

圖7和圖8分別給出了在不同g值下，兩系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線。對(duì)于雙慣量系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，只存在一個(gè)諧振峰，隨著g值不斷增加，諧振峰值不斷被壓低。

圖7 擾動(dòng)觀測(cè)器下雙慣量系統(tǒng)頻率特性Fig.7 Frequency response of 2-I system with DOB

圖8 擾動(dòng)觀測(cè)器下三慣量系統(tǒng)頻率特性Fig.8 Frequency response of 3-I system with DOB

當(dāng)g值為200 rad/s時(shí)，雙慣量系統(tǒng)在92 rad/s處的諧振峰值衰減了20.6 dB。在三慣量系統(tǒng)中，78 rad/s和236 rad/s兩處的諧振峰值隨g值增加而得到衰減。當(dāng)g值等于200 rad/s時(shí)，兩處諧振峰值分別衰減了13 dB和23.1 dB。從圖7和圖8可以看出，只要設(shè)計(jì)合適的帶寬，使過(guò)0的帶寬ωc低于第一個(gè)凹陷頻率，那么這兩類系統(tǒng)的諧振模態(tài)都可得到抑制。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

受雙曲函數(shù)的啟發(fā)，結(jié)合對(duì)快速收斂性的考慮，本文提出一種滑模趨近律

(10)

式中：s為滑模變量；k1,k2,a,b為正參數(shù)；tanh(as)=(eas-e-as)/(eas+e-as)為雙曲正切函數(shù)；sinh(bs)=(ebs-e-bs)/2為雙曲正弦函數(shù)。

當(dāng)滑模變量s遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，-k2|s|sinh(bs)的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于-k1tanh(as)的值，從而滑模變量s受前者作用能夠快速收斂。當(dāng)滑模變量s在平衡點(diǎn)附近時(shí)，-k2|s|sinh(bs)的值近似為0。此時(shí)，滑模變量s的變化主要由-k1tanh(as)控制。此類雙曲函數(shù)型趨近律的主要特點(diǎn)表現(xiàn)在當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，快速收斂性能夠得到保證。同時(shí)，滑模變量s無(wú)限趨近于平衡點(diǎn)卻不到達(dá)或者穿越。由此，傳統(tǒng)滑模趨近律中由于sgn(·)函數(shù)引起的抖振現(xiàn)象能夠得到很好地消除。

接下來(lái)，結(jié)合擾動(dòng)觀測(cè)器和所提出的趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破?。

此時(shí)，定義θm=x1,ωm=x2，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

(11)

為了設(shè)計(jì)滑模控制器，定義系統(tǒng)的跟蹤誤差

(12)

線性滑模面定義為

(13)

式中λ>0。對(duì)式(13)求導(dǎo)有

(14)

將式(11)、式(14)結(jié)合式(10)可得控制律為

(15)

式中：k1,k2均為需要調(diào)節(jié)的參數(shù)，且大于0。

此時(shí)，選取李雅普諾夫函數(shù)為

(16)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯然得證。

由于這里的控制律uc是基于DOB作用后的純積分模型設(shè)計(jì)的，因此最終的控制律為

(17)

3 仿真分析

擾動(dòng)觀測(cè)器的帶寬g=200 rad/s；滑?？刂破鞯膮?shù)選取為k1=k3=10,k2=5,λ=1.7,b=1/Jm,a=5,b=0.2；參考信號(hào)為一方波周期信號(hào)。為了確保參考輸入軌跡平滑，利用二階環(huán)節(jié)進(jìn)行濾波，即

(18)

其中：xr(s)是給定的方波周期信號(hào)；xd(s)是系統(tǒng)輸入信號(hào)；gf是濾波參數(shù)，這里取值為3。

圖9和圖10中的實(shí)線和虛線分別給出了引入擾動(dòng)觀測(cè)器前后，雙慣量系統(tǒng)和三慣量系統(tǒng)電機(jī)側(cè)加速度的響應(yīng)情況。雖然滑模控制能夠一定程度上處理機(jī)械諧振的不利影響，但在擾動(dòng)觀測(cè)器作用下，系統(tǒng)響應(yīng)曲線中的振蕩幅度明顯降低。同時(shí)結(jié)合圖5對(duì)比，結(jié)果表明，通過(guò)采用擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行補(bǔ)償，兩類系統(tǒng)中電機(jī)側(cè)加速度響應(yīng)均更加平滑，而系統(tǒng)中由于柔性環(huán)節(jié)產(chǎn)生的機(jī)械諧振得到了很好的抑制。

圖9 雙慣量系統(tǒng)諧振抑制效果Fig.9 Vibration suppression performance of 2-I system

圖11～圖14分別給出了在輸入幅值為1 rad，周期為100 s的方波信號(hào)下，兩系統(tǒng)各自的跟蹤效果及誤差。從圖中可以看到，在本文提出的控制結(jié)構(gòu)下，兩系統(tǒng)均實(shí)現(xiàn)了對(duì)給定信號(hào)準(zhǔn)確、快速、平滑地跟蹤。與此同時(shí)，系統(tǒng)跟蹤誤差始終保持在±0.003 rad內(nèi)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性以及穩(wěn)態(tài)性能得到極大改善，這主要是因?yàn)樗O(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)電機(jī)側(cè)擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)了有效估計(jì)和補(bǔ)償，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為名義對(duì)象特性。

圖10 三慣量系統(tǒng)諧振抑制效果Fig.10 Vibration suppression performance of 3-I system

圖11 雙慣量系統(tǒng)跟蹤效果Fig.11 Position tracking of 2-I system

圖12 三慣量系統(tǒng)跟蹤效果Fig.12 Position tracking of 3-I system

圖13 雙慣量系統(tǒng)跟蹤誤差Fig.13 Tracking error of 2-I system

圖14 三慣量系統(tǒng)跟蹤誤差Fig.14 Tracking error of 3-I system

圖15～圖18分別給出了控制輸入和擾動(dòng)估計(jì)效果。

圖15 雙慣量系統(tǒng)控制輸入Fig.15 Control signal of 2-I system

圖16 三慣量系統(tǒng)控制輸入Fig.16 Control signal of 3-I system

從圖15和圖16中可以看到，兩類系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)較為光滑，無(wú)高頻抖振現(xiàn)象。這表明本文所提出的新型滑模趨近律可以有效避免傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩駟?wèn)題。圖17和圖18的結(jié)果表明了本文所涉及的DOB對(duì)電機(jī)側(cè)擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)了有效的估計(jì)。

圖17 雙慣量系統(tǒng)擾動(dòng)估計(jì)效果Fig.17 Disturbance estimation of 2-I system

此外，為了驗(yàn)證本文所提方法的魯棒性，研究了當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL和傳動(dòng)軸剛度系數(shù)Kc分別增加10%和減少10%時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)情況。同時(shí)，為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提出的滑模趨近律的優(yōu)勢(shì)，也設(shè)計(jì)了與傳統(tǒng)的滑模趨近律對(duì)比仿真。對(duì)應(yīng)地，傳統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)為

(19)

圖18 三慣量系統(tǒng)擾動(dòng)估計(jì)效果Fig.18 Disturbance estimation of 3-I system

在這里以雙慣量系統(tǒng)為例，進(jìn)行仿真分析，結(jié)果分別如圖19和圖20所示。從圖19中可以看到，在參數(shù)變化10%的情況下，此時(shí)的系統(tǒng)相比于名義對(duì)象，在跟蹤誤差上只有小的波動(dòng)，整體依然能保持良好的跟蹤性能和諧振抑制效果。這表明，本文所提出的方法，能夠有效地應(yīng)對(duì)參數(shù)變化的情況。

圖19 模型參數(shù)變化時(shí)的仿真結(jié)果Fig.19 Simulation results for parameter variation

圖20展示了在達(dá)到同樣控制效果的前提下，相比于傳統(tǒng)的滑模趨近律，本文所提出的新型滑模趨近律能夠有效地避免抖振現(xiàn)象?？梢则?yàn)證，在三慣量系統(tǒng)中也是如此。

圖20 與傳統(tǒng)滑模趨近律對(duì)比結(jié)果Fig.20 Simulation results compared with traditional reaching law

4 結(jié) 論

本文針對(duì)雙慣量系統(tǒng)和三慣量系統(tǒng)的諧振抑制問(wèn)題，提出基于擾動(dòng)觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)姆椒?。根?jù)系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)，設(shè)計(jì)出的擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，將系統(tǒng)等效為名義對(duì)象，使得系統(tǒng)中由于柔性傳動(dòng)軸和齒輪所引發(fā)的諧振現(xiàn)象得到了很好的抑制。為了消除傳統(tǒng)滑模控制中的抖振現(xiàn)象，本文結(jié)合雙曲函數(shù)提出一種新型滑模趨近律?；谝陨显O(shè)計(jì)，通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文所提方法在兩類系統(tǒng)中的有效性。

應(yīng)該說(shuō)明的是，本文主要針對(duì)系統(tǒng)的電機(jī)側(cè)作為輸出進(jìn)行分析，而針對(duì)負(fù)載側(cè)(如軸力矩、負(fù)載位置等)控制時(shí)則會(huì)有一些差異。因此，下一步工作將會(huì)針對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行深入剖析。