李正清，李小金，楊建斌，劉筱文，韓仙虎，蔡宇宏，王 毅，李曉霞

（蘭州空間技術(shù)物理研究所，蘭州 730000）

0 引言

羅茨泵具有啟動(dòng)快、功耗小、抽速大、效率高、維護(hù)費(fèi)用低等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于半導(dǎo)體、冶金、化工、醫(yī)藥等行業(yè)中。羅茨泵是一種雙轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)式容積真空泵。工作過程中羅茨泵的一對(duì)轉(zhuǎn)子相向轉(zhuǎn)動(dòng)，將氣體由進(jìn)口端輸運(yùn)至出口端實(shí)現(xiàn)抽氣，轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中相互嚙合，以減少氣體逆向流動(dòng)形成的返流。羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的嚙合設(shè)計(jì)非常重要，直接關(guān)系到真空泵的各項(xiàng)性能指標(biāo)[1-2]。

常見的轉(zhuǎn)子型線主要分為3類：擺線型、漸開線型和圓弧型[3-11]。在不同的頂圓半徑和節(jié)圓半徑下設(shè)計(jì)及分析常見轉(zhuǎn)子型線，應(yīng)用于羅茨泵產(chǎn)品的設(shè)計(jì)是型線研究的重要內(nèi)容[3-5]。張帥等[6]應(yīng)用該方法分析羅茨泵轉(zhuǎn)子外擺線和內(nèi)擺線，設(shè)計(jì)了雙葉型羅茨泵擺線轉(zhuǎn)子型線；戴映紅等[7]采用此方法設(shè)計(jì)了氣冷羅茨真空泵轉(zhuǎn)子的擺線-圓弧型線。上述轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)均采用幾何分析的方法，該方法雖然易于理解，但求解過程復(fù)雜，計(jì)算分析量大。探索新的轉(zhuǎn)子型線，設(shè)計(jì)分析新型線的特性是轉(zhuǎn)子型線研究的重要內(nèi)容之一。標(biāo)準(zhǔn)圓弧型轉(zhuǎn)子型線中，圓弧中心均位于轉(zhuǎn)子型線的對(duì)稱軸上，形成由圓弧及其共軛曲線共同組成的轉(zhuǎn)子型線[8]。偏心圓弧轉(zhuǎn)子型線由中心位于節(jié)圓內(nèi)的圓弧及頂部密封圓弧構(gòu)成，能有效提高轉(zhuǎn)子的容積利用率，但在偏心圓弧和頂部密封圓弧間必須采用過渡曲線，使得轉(zhuǎn)子部分位置的間隙偏大[9]。在偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線中，圓弧中心位于節(jié)圓內(nèi)腰部曲線對(duì)應(yīng)的軸上，圓弧半徑遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)圓弧轉(zhuǎn)子型線半徑。本文首先確定轉(zhuǎn)子的偏心大圓弧及對(duì)應(yīng)銷齒圓弧，然后應(yīng)用轉(zhuǎn)子嚙合特性，基于偏心大圓弧參數(shù)獲得其對(duì)應(yīng)的共軛曲線，形成由偏心大圓弧、銷齒圓弧及偏心大圓弧共軛曲線構(gòu)成的光滑連接的轉(zhuǎn)子型線，使得設(shè)計(jì)及計(jì)算過程簡(jiǎn)化；其次，應(yīng)用共軛特性，構(gòu)建基于理論型線的實(shí)際型線設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子均勻間隙的設(shè)計(jì)。最后，以70 L/s抽速的羅茨泵為目標(biāo)，完成轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)及分析。

1 轉(zhuǎn)子型線分析

如圖1所示，羅茨泵轉(zhuǎn)子型線為中心和軸對(duì)稱曲線，因此僅須求解整個(gè)轉(zhuǎn)子型線的1/4即可。偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線中，節(jié)圓半徑為R1；AE為偏心大圓弧，圓心O1位于x1軸負(fù)半軸，半徑為R2，F(xiàn)為偏心大圓弧上任一點(diǎn)，半徑O1F與節(jié)圓相交于D，根據(jù)嚙合特性，φ角為F點(diǎn)的嚙合角；CE為頂部銷齒圓弧，圓心位于節(jié)圓上P點(diǎn)，半徑為R3；腰部曲線AG為偏心大圓弧AE對(duì)應(yīng)的共軛曲線，BG為腰部銷齒圓弧，圓心位于節(jié)圓上H點(diǎn)，半徑為R3；轉(zhuǎn)子的頂圓半徑為R4。

圖1 羅茨泵偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線Fig.1 Eccentric large arc rotor profile of Roots vacuum pump

1.1 節(jié)圓外型線分析

偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線分析如圖2所示，連接O1A，在ΔKAH中，AH的長(zhǎng)度可表示為：

圖2 偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線分析Fig.2 Eccentric large arc rotor profile analyzes

假設(shè)O1K的長(zhǎng)度為l，則O1H的長(zhǎng)度為2R1-l。

在ΔO1AH中，偏心大圓弧AE對(duì)應(yīng)的半徑R2由余弦定理可表示為：

圓弧AE的方程可以表示為：

圓弧AE方程中變量α在ΔO1AH中取得最小值，由余弦定理可表示為：

在ΔO1PO中，O1P的長(zhǎng)度可以表示為：

頂部圓弧CE是以P點(diǎn)為圓心，以PE為半徑的銷齒圓弧，因此，銷齒圓弧CE的方程可以表示為：

銷齒圓弧的半徑R3=R2-O1P。由圖2可知，方程（7）中自變量γ的最小值為零，在ΔO1PO中可以確定γ的最大值為：

此時(shí)轉(zhuǎn)子頂圓半徑R4=R1+R3。

應(yīng)用嚙合特性求解轉(zhuǎn)子共軛曲線對(duì)應(yīng)的型線時(shí)，須求解轉(zhuǎn)子的嚙合角φ，嚙合角為嚙合點(diǎn)法線O1F與節(jié)圓的交點(diǎn)D和轉(zhuǎn)子中心的連線與坐標(biāo)軸y1的夾角。

在ΔO1DO中，應(yīng)用正弦定理，β可以表示為：

嚙合角φ可以表示為：

1.2 共軛曲線部分

根據(jù)羅茨泵轉(zhuǎn)子的嚙合特性，共軛曲線的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為[12]：

式中：d為兩坐標(biāo)系原點(diǎn)間的距離即為2個(gè)轉(zhuǎn)子中心的距離，由式（11）可確定轉(zhuǎn)子偏心大圓弧AE對(duì)應(yīng)的共軛曲線部分，其中變量φ值由式（10）確定，（x1，y1）值由偏心大圓弧線式（3）確定。如圖1所示，共軛方程式（11）確定的共軛曲線位于x2O2y2坐標(biāo)系中（位于轉(zhuǎn)子2中），需將其平移至轉(zhuǎn)子1中，并逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2。頂部銷齒圓弧與腰部銷齒圓弧BG互為共軛曲線，其方程可以表示為：

自變量γ的取值范圍為（0，π/2-αmax）。

綜上，根據(jù)式（3）（7）（11）和（12）便可獲得整個(gè)轉(zhuǎn)子型線的1/4，然后由轉(zhuǎn)子的軸對(duì)稱性，獲得整個(gè)轉(zhuǎn)子的型線。

1.3 轉(zhuǎn)子實(shí)際型線

轉(zhuǎn)子理論型線的設(shè)計(jì)間隙為零，轉(zhuǎn)子在每個(gè)嚙合點(diǎn)接觸。在實(shí)際的轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)中，由于加工誤差、應(yīng)力變形以及熱變形的存在，必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)拈g隙，確保轉(zhuǎn)子的正常運(yùn)行。因此，分析求解轉(zhuǎn)子的實(shí)際型線是轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)的重要組成部分[13]。

實(shí)際型線求解可分為幾何法和解析法。采用幾何法，須具體分析建立每種實(shí)際型線與理論型線的參數(shù)關(guān)系；采用解析法僅須對(duì)型線方程進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算便可獲得實(shí)際型線，該方法適用性廣，各種型線的求解步驟相同。基于此，采用解析法分析設(shè)計(jì)偏心大圓弧轉(zhuǎn)子實(shí)際型線。

如圖3所示，位于節(jié)圓外的任一轉(zhuǎn)子型線AC的參數(shù)方程可表示為：

圖3 轉(zhuǎn)子理論和實(shí)際型線Fig.3 Theoretical and actual profile

設(shè)M為型線AC上任一點(diǎn)，過該點(diǎn)轉(zhuǎn)子型線的切線為MN，過M點(diǎn)做切線的垂線，垂線交節(jié)圓于D點(diǎn)，設(shè)羅茨泵轉(zhuǎn)子間隙為2δ，則對(duì)于單個(gè)轉(zhuǎn)子實(shí)際型線需要在法線方向縮進(jìn)δ，如圖3中，理論型線上M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)際轉(zhuǎn)子型線點(diǎn)為M＇。

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），則過M點(diǎn)轉(zhuǎn)子理論型線的切線MN的斜率kMN可表示為：

法線MD與切線MN垂直，因此法線斜率與切線斜率的乘積為-1，則法線MD的斜率kMD可表示為：

過M點(diǎn)，法線MD方向的單位向量可以表示為：

由于理論型線和實(shí)際型線間的距離為δ，因此根據(jù)式（14）～（16），圖3中已知理論型線AC對(duì)應(yīng)的實(shí)際型線A＇C＇可以表示為：

基于式（15）～（17），采用解析法可獲得轉(zhuǎn)子的實(shí)際型線。若共軛曲線也采用這種方法，須將已知型線式（13）和嚙合角式（10）代入式（11），然后由式（15）～（17）獲得實(shí)際型線。顯然，將式（13）和（10）代入（11）形成的表達(dá)式很復(fù)雜，不利于實(shí)際型線的求解。為了簡(jiǎn)化求解過程，根據(jù)轉(zhuǎn)子共軛嚙合特性，可首先將已知曲線AC沿法線向外延長(zhǎng)δ，然后求解該段曲線對(duì)應(yīng)的共軛曲線即得到腰部實(shí)際型線的對(duì)應(yīng)部分。

如圖3所示，將轉(zhuǎn)子理論型線AC部分向外延伸δ得到的曲線A＇＇C＇＇可表示為：

將由式（18）確定的曲線A＇＇C＇＇的參數(shù)代入共軛方程式（11），便可獲得對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子2的共軛曲線。根據(jù)嚙合特性，轉(zhuǎn)子1的型線向外延長(zhǎng)，必然導(dǎo)致轉(zhuǎn)子2型線向內(nèi)收縮δ以保持兩者間的嚙合關(guān)系。然后將其通過平移和旋轉(zhuǎn)移動(dòng)至轉(zhuǎn)子1中便可獲得理論型線AB部分的實(shí)際型線A＇B＇。

綜上，已知型線方程求解實(shí)際型線可分為2步：（1）根據(jù)式（16）求解型線法向單位向量；（2）根據(jù)式（17）求解實(shí)際型線。已知型線方程求解其共軛曲線對(duì)應(yīng)的實(shí)際型線可分為3步：（1）根據(jù)式（16）求解單位向量；（2）根據(jù)式（18）求解向外偏置型線；（3）將由式（18）計(jì)算得到的參數(shù)代入共軛方程式（11）獲得實(shí)際型線。

2 轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)

2.1 轉(zhuǎn)子理論型線

按照上述分析步驟，設(shè)計(jì)羅茨泵產(chǎn)品實(shí)際抽速為70 L/s，轉(zhuǎn)速3 000 r/min，有效抽速為幾何抽速的75%，轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑為R1=34 mm，頂圓半徑R4取48～48.5 mm，由式（1）（2）和（5）可得R4與l的關(guān)系，如式（19）所示。在轉(zhuǎn)子間隙δ=0.1 mm的條件下，分析計(jì)算轉(zhuǎn)子偏心大圓弧圓心位置l、半徑R2，頂部銷齒圓弧半徑R3和轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度lrotor。

轉(zhuǎn)子1/4部分型線的偏心大圓弧AE由式（3）確定，頂部圓弧CE段由式（7）確定，AE對(duì)應(yīng)的共軛曲線部分AG由共軛方程式（11）確定，腰部銷齒圓弧由式（12）確定。當(dāng)頂圓半徑R4取不同值時(shí)，首先獲得轉(zhuǎn)子1/4型線，然后以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸將1/4轉(zhuǎn)子型線取對(duì)稱，即獲得整個(gè)轉(zhuǎn)子理論型線。最后，由1.3節(jié)中依據(jù)理論型線求解實(shí)際型線的方法獲得轉(zhuǎn)子實(shí)際型線。如圖4所示（圖中為了顯示清晰，間隙取值為2 mm）。偏心大圓弧圓心位置l，偏心大圓弧半徑R2、銷齒圓弧半徑R3及轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度lrotor如表1所列。

圖4 偏心大圓弧轉(zhuǎn)子理論及實(shí)際型線Fig.4 Theoretical and actual profile of eccentric large arc rotor

由表1可知，當(dāng)節(jié)圓半徑R1給定時(shí)，隨著頂圓半徑R4減小，偏心大圓弧圓心與節(jié)圓的距離l增加，半徑R2減小，銷齒圓弧半徑R3減小。由于整機(jī)設(shè)計(jì)抽速不變，隨著轉(zhuǎn)子頂圓半徑R4減小，轉(zhuǎn)子腔室截面積減小，為保持整機(jī)抽速恒定，須增加轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度lrotor，因此轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度lrotor隨轉(zhuǎn)子頂圓半徑R4減小而增大。

表1 不同的R4值下轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of profile at differentR4單位：mm

2.2 容積利用系數(shù)

羅茨泵轉(zhuǎn)子容積利用系數(shù)為轉(zhuǎn)子頂圓面積與截面面積的差值與轉(zhuǎn)子頂圓面積的比值，表征羅茨泵轉(zhuǎn)子的空間利用程度。

式中：C為羅茨泵轉(zhuǎn)子容積利用系數(shù)；B為羅茨泵轉(zhuǎn)子截面積。

轉(zhuǎn)子參數(shù)對(duì)應(yīng)的容積利用系數(shù)如圖5所示。可以看到，在相同的頂圓半徑下，偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線的容積利用系數(shù)優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)圓弧型線的容積利用系數(shù)。

圖5 轉(zhuǎn)子型線的容積利用系數(shù)Fig.5 Volume utilization of profile

2.3 轉(zhuǎn)子型線討論

從表1可以看出，轉(zhuǎn)子型線上偏心大圓弧的圓心均位于節(jié)圓內(nèi)部。若在節(jié)圓半徑不變的條件下增加頂圓半徑，則偏心大圓弧的圓心將位于節(jié)圓外部x1軸上。此時(shí)形成的轉(zhuǎn)子型線將出現(xiàn)圓弧線及其共軛曲線的切線斜率不相等的情形，共軛曲線部分變成折線，如圖6所示。

圖6 羅茨泵轉(zhuǎn)子型線變成折線Fig.6 Rotor profile form undercutting

因此在設(shè)計(jì)偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線時(shí)，偏心大圓弧的圓心不能位于x1軸節(jié)圓外。

3 結(jié)論

通過將羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的圓弧中心設(shè)計(jì)在腰部曲線對(duì)應(yīng)軸上，進(jìn)行了偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)；同時(shí)，基于共軛特性分析了理論型線和實(shí)際型線的轉(zhuǎn)化關(guān)系，并以實(shí)際抽速為70 L/s的羅茨泵為設(shè)計(jì)目標(biāo)，完成了羅茨泵偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)及分析，得到以下結(jié)論：

（1）偏心大圓弧轉(zhuǎn)子型線由偏心大圓弧、銷齒圓弧及偏心大圓弧對(duì)應(yīng)的共軛曲線三部分構(gòu)成。

（2）構(gòu)建了基于轉(zhuǎn)子理論型線的實(shí)際型線設(shè)計(jì)方法，特別是在分析共軛曲線的實(shí)際型線時(shí)，采用將已知型線向外延伸，然后求解獲得共軛曲線的實(shí)際型線方法，使得求解過程大幅簡(jiǎn)化。

（3）以實(shí)際抽速為70 L/s的羅茨泵為設(shè)計(jì)目標(biāo)，分析計(jì)算了在節(jié)圓半徑不變情形下，型線頂圓半徑、銷齒圓弧半徑、轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度及容積利用系數(shù)等參數(shù)。