陽麗君，班相函，王文龍

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150006)

古往今來，傳染病一直是人類的重大威脅之一.1937年，Kermack和McKendrick在研究黑死病時(shí)創(chuàng)新性地提出了SIR倉室模型[1]，為后人研究傳染病傳播規(guī)律指明了方向.此后，眾多國內(nèi)外學(xué)者根據(jù)不同傳染病的病癥差異、治療措施、傳播過程建立了許多經(jīng)典模型，如面對(duì)具有潛伏期的傳染病，建立了SEIR模型[2-3]；面對(duì)需采取隔離治療措施的傳染病，建立了SIQS模型[4]；面對(duì)會(huì)二次感染的傳染病，建立了SIRS模型[5-6]等.隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，實(shí)現(xiàn)了通過電視報(bào)道、公眾號(hào)、手機(jī)App等途徑實(shí)時(shí)更新消息，并向公眾宣傳有關(guān)傳染病的健康知識(shí)和預(yù)防措施，以提高公眾安全意識(shí)，并直接降低傳染病的傳染率.因此,研究媒體報(bào)道對(duì)傳染病防治的影響具有重大意義.目前有很多研究已經(jīng)取得一些成果，如文獻(xiàn)[7-8]研究了一類接種率受媒體報(bào)道影響的傳染病模型，研究表明通過媒體報(bào)道來提高公眾意識(shí)有利于傳染病的控制.文獻(xiàn)[9]提出用一類具有非線性發(fā)生率的傳染病模型來描述當(dāng)感染者數(shù)量超過閾值時(shí)媒體報(bào)道的效果，說明合適的閾值和控制強(qiáng)度可以阻止傳染病爆發(fā).文獻(xiàn)[10]針對(duì)具有一定免疫水平的人群，建立了具有媒體報(bào)道和無癥狀感染特點(diǎn)的SQEIAR模型，推導(dǎo)出了最優(yōu)媒體報(bào)道策略和檢疫策略.文獻(xiàn)[11-14]引入了不同形式的傳播率，探索媒體報(bào)道對(duì)傳染病的抑制作用.

上述提到的文獻(xiàn)中大部分都沒有考慮到時(shí)滯產(chǎn)生的影響.事實(shí)上，媒體在信息收集上就產(chǎn)生了滯后性，從媒體開始報(bào)道到產(chǎn)生積極影響需要一段時(shí)間，t時(shí)刻媒體報(bào)道的感染者數(shù)量實(shí)際是t-τ時(shí)刻的感染者數(shù)量；因此，在傳染病模型中考慮時(shí)滯更加貼合實(shí)際.基于文獻(xiàn)[14]中染病者數(shù)量達(dá)到臨界值，即媒體影響因子函數(shù)為e-M(t)的情況，考慮媒體報(bào)道的滯后性，本文建立如下傳染病模型：

(1)

滿足的初始條件：S(0)>0,I(0)≥0,M(0)≥0;S(t)+I(t)=N(t).

將媒體報(bào)道信息量M(t)看作獨(dú)立倉室，人群劃分成易感者S(t)和染病者I(t)，N(t)表示在t時(shí)刻的總?cè)丝跀?shù)目，Λ表示人口的常數(shù)輸入率，β表示傳染率，μ表示自然死亡率，γ表示疾病的恢復(fù)率，σ表示染病者數(shù)量對(duì)媒體報(bào)道的影響率，θ表示媒體報(bào)道的衰減率，τ表示媒體對(duì)病情報(bào)道的時(shí)間滯后，所有參數(shù)值均為正數(shù).

1 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

2 模型的穩(wěn)定性分析

2.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理1無病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性與τ無關(guān).當(dāng)R<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R>1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的.

證明將系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)E0處進(jìn)行線性化：

其中，Z(t)=(S(t)，I(t)，M(t))T，Z(t-τ)=(S(t-τ)，I(t-τ)，M(t-τ))T，

得到如下式子：

(2)

2.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

當(dāng)R>1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*(S*,I*,M*)，接下來分析地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

2.2.1τ=0時(shí)地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2τ=0時(shí)，若滿足條件γ+μ>-e-M*β(I*-S*)，則地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

得到特征方程如下：

(λ+θ)(λ2+a1λ+a2)=0，

(3)

顯然，特征方程(3)的1個(gè)特征值為λ=-θ，其他2個(gè)特征值滿足方程：

λ2+a1λ+a2=0，

(4)

其中，a1=e-M*β(I*-S*)+γ+2μ，a2=μ(μ+γ)+μe-M*β(I*-S*).

當(dāng)參數(shù)滿足γ+μ>-e-M*β(I*-S*)，且已知μ>0，易得方程(4)的系數(shù)a1、a2均大于0.根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，式(4)所有值均具有負(fù)實(shí)部，故特征方程(3)所有的特征值均具有負(fù)實(shí)部，因此，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

2.2.2τ>0時(shí)地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 將系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)E*處進(jìn)行線性化：

其中，Z(t)=(S(t)，I(t)，M(t))T，Z(t-τ)=(S(t-τ)，I(t-τ)，M(t-τ))T，

得到特征方程如下：

(λ+μ)(λ2+q1λ+q2+q3e-λτ)=0，

(5)

顯然，特征方程(5)的1個(gè)特征值為λ=-μ，其余特征值需滿足方程：

λ2+q1λ+q2+q3e-λτ=0，

(6)

其中，q1=e-M*β(I*-S*)+γ+θ+μ，q2=e-M*β(I*-S*)+γθ+θ+μθ，q3=σe-M*βI*S*.

定理3若滿足條件|θ2(e-M*β(I*-S*)+γ+u)2|<|(σe-M*βI*S*)2|，則式(6)存在1對(duì)純虛根λ=±iω.

證明令λ=iω，代入式(6)，分離實(shí)部和虛部可得到

(7)

將式(7)兩端平方相加得

(8)

令z=ω2,則方程(8)等價(jià)于

H(z)=z2+b1z+b2=0，

(9)

不妨設(shè)方程(9)存在1個(gè)正根為zk，k=1,2,…l，l∈N，解得

定義τ*=min{τk|k=1,2,…,l,l∈N}，因此，若滿足條件|θ2(e-M*β(I*-S*)+γ+u)2|<|(σe-M*βI*S*)2|，式(6)在τk處存在1對(duì)純虛根.證畢.

證明對(duì)式(6)求導(dǎo)得

整理后得到式子如下：

根據(jù)定理3和定理4得到如下結(jié)論：

定理5R>1時(shí)，若滿足條件|θ2(e-M*β(I*-S*)+γ+u)2|<|(σe-M*βI*S*)2|，系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*，當(dāng)τ<τ*時(shí)，系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ>τ*時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性發(fā)生改變，由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且在τ=τ*處產(chǎn)生Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

選取參數(shù)Λ=0.7，β=0.2，μ=0.2，γ=0.6，σ=0.3，θ=0.4，τ=2.計(jì)算得出R=0.875<1,E0(3.5,0,0).根據(jù)定理1可知，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的，如圖1所示.

選取參數(shù)Λ=1，β=0.4，μ=0.1，γ=0.5，σ=0.3，θ=0.4，τ=2.計(jì)算得出R=6.666 7>1，E0(10,0,0).根據(jù)定理1可知，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的，如圖2所示.

圖1 R<1時(shí)無病平衡點(diǎn)穩(wěn)定 圖2 R>1時(shí)無病平衡點(diǎn)出現(xiàn)周期解 Fig.1 The stability of disease-free equilibrium when R<1Fig.2 The periodic solution of disease-free equilibrium when R>1

選取參數(shù)Λ=1.4，β=0.3，μ=0.2，γ=0.4，σ=0.2，θ=0.3，τ=0.此時(shí)計(jì)算得出R=3.5>1，E*(5.486 3,1.513 7,1.009 1).根據(jù)定理2可知，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的，如圖3所示.

選取參數(shù)Λ=1.4，β=0.3，μ=0.2，γ=0.4，σ=0.2，θ=0.3.此時(shí)計(jì)算得出臨界值τ*=3.1953，R=3.5，E*(5.486 3,1.513 7,1.009 1).取τ=3.1<τ*，根據(jù)定理5可知，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的，如圖4所示.

圖3 τ=0時(shí)地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定 圖4 τ<τ*時(shí)地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定

取τ=3.4>τ*，根據(jù)定理5可知，地方病平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的，出現(xiàn)周期性震蕩，如圖5和圖6所示.

圖5 τ>τ*時(shí)地方病平衡點(diǎn)產(chǎn)生周期震蕩圖6 τ>τ*時(shí)系統(tǒng)(1)出現(xiàn)周期解

4 結(jié)語

本文研究了媒體延遲報(bào)道對(duì)傳染病傳播的影響，建立了一類具有媒體報(bào)道滯后性的時(shí)滯傳染病模型，探究了系統(tǒng)(1)無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.結(jié)果表明，系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，意味著隨著時(shí)間的推演，疾病最終會(huì)被消滅.同時(shí)，系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)在時(shí)滯τ較小時(shí)，處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)可以對(duì)疾病進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)和控制；然而，隨著時(shí)滯τ的增大且超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)(1)產(chǎn)生周期解，由穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，易感者和染病者的群體數(shù)量產(chǎn)生周期震蕩，這不利于對(duì)傳染病的預(yù)測(cè)和控制.因此,在實(shí)際考慮媒體報(bào)道對(duì)傳染病的影響時(shí)，媒體報(bào)道時(shí)間的滯后性不容忽視.

另外，媒體報(bào)道對(duì)傳染病防治的影響較大，將媒體報(bào)道的信息量看作獨(dú)立倉室，更細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匮芯棵襟w報(bào)道與染病者的關(guān)系是很有意義的.并且，媒體也應(yīng)該將信息報(bào)道的時(shí)間延遲盡量減小,從而最大限度地幫助控制傳染病的傳播.