?江蘇省常熟市昆承中學 張 超

數(shù)學概念是數(shù)學知識的核心內(nèi)容，也是掌握其他數(shù)學知識的基礎，學好數(shù)學概念可以使知識的運用更加靈活，使學生更加能夠理解數(shù)學的本質(zhì).然而數(shù)學概念具有抽象性和復雜性的特點，常常使很多學生望而生畏，無法理解其內(nèi)涵，影響了其他數(shù)學知識的學習.因此，數(shù)學概念的教學效果對于數(shù)學課堂的學習效能有著重大影響.在教學中，教師要從學生的角度出發(fā)，重視數(shù)學概念的生成和學生的感悟，不能采用讓學生強行記憶的方式進行數(shù)學概念的教學，只有這樣才能提升數(shù)學概念的教學效果.筆者擬以“銳角三角函數(shù)”一課為例，從分析數(shù)學概念教學的問題出發(fā)，探討有效推進數(shù)學概念教學的策略.

1 忽視學生感悟的概念導入，導致學習低效

案例1導入“銳角三角函數(shù)”

(1)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，BC的長度為4，求AB的長度.

(2)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，∠B的度數(shù)是40°，求AB的長度.

設計評析：本例是通過問題進行導入，第(1)問在已有的對勾股定理認知的基礎上，學生很容易求出AB的長度.接著教師繼續(xù)提出第(2)問，學生已有的知識儲備難以求出AB的長度，從而設疑導入.看似是精心設計，為了激發(fā)學生的探究欲，實則卻忽視了導入的必要性，“為了導入而導入”，這樣的導入就失去了意義，學生只是跟隨教師盲目操作，對新學的知識沒有很深的印象.

改進建議：本例可以通過創(chuàng)設以下情境進行導入——小華和小方兩人一起步行，小華在傾斜角為30°的斜坡上步行，小方在傾斜角為40°的斜坡上步行，兩人在同一水平上步行了150 m，請問誰登得高？高多少呢？

改進評析：修改之后的設計通過連續(xù)的追問引入課題，第一個問題大部分學生都能回答，一下子激發(fā)了學生的興趣，使學生對學習充滿信心.在此基礎上，學生試圖去回答登得高多少時，卻發(fā)現(xiàn)遇到了困難，無法解決其中的數(shù)量關(guān)系，這時自然地引入課題，使得學生充滿了想要探究的好奇心，一下子吸引了學生的注意力.這樣的設計既考慮了學生已有的知識經(jīng)驗和認知水平，又讓學生帶著疑問進入了學習狀態(tài)，發(fā)揮了導入的最佳效應.

數(shù)學概念的導入首先要使學生從心理上產(chǎn)生認同感，這就需要創(chuàng)設符合學生生活實際的情境，使學生明晰引入數(shù)學概念以及建立這一概念的理由，激發(fā)學習動力，為深入學習做好心理準備.

2 忽視概念生成的探究，導致學習低效

案例2正弦定義

(1)由特殊到一般概括正弦的定義.

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數(shù)為30°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

②如果∠A的度數(shù)為45°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數(shù)為60°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)請大家觀察幾何畫板的演示，思考一般情況下，在Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)經(jīng)過大家的共同證明，我們得到了一個結(jié)論：在Rt△ABC中，對于銳角的任何一個固定值，它的斜邊與對邊的比是固定的，與Rt△ABC的大小無關(guān).

教師板書正弦定義：在△ABC中，∠C為直角，那么銳角A的對邊與斜邊的比就叫做∠A的正弦，記作sinA.

師：這里要注意sinA是一個完整的符號，不是一個乘積形式，符號中的“∠”是習慣省去的，而單獨的“sin”也是沒有意義的.

設計評析：上述設計體現(xiàn)了教師希望通過由特殊到一般歸納正弦定義的良苦用心，問題由易到難，便于學生接受.但是在整個流程中學生始終處于被動地位，正弦定義的概念并不是學生在探究中主動獲取的，是被動地接受的.在學生觀察幾何畫板演示的過程中，學生被動接受了∠A的對邊與鄰邊的比值是一個固定值，教師并沒有引導學生去論證和思考，只是直接把結(jié)論灌輸給了學生.這一環(huán)節(jié)中，學生只需用到記憶性思維，而沒有調(diào)動其他的思維形式，然而強行記憶是容易遺忘的，也將影響到知識和技能的運用.

改進建議：上述流程可以變?yōu)橐龑W生探索的過程，改進如下.

(1)探究問題

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數(shù)為30°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

納入標準：①均滿足上述診斷標準。②年齡≥18周歲。③患者、家屬于研究前均知情，并閱讀、簽字“知情同意書”。

②如果∠A的度數(shù)為45°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數(shù)為60°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)觀察分析

請大家觀察幾何畫板的演示，思考一般情況下，Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)猜想證明

學生經(jīng)過討論闡述自己的想法，然后猜測：一般情況下，在Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的.

(4)動手實踐

在教師的引導下，改變點B的位置(如圖1)學生通過測量計算∠A的對邊與鄰邊的比看有沒有發(fā)生變化；當∠A的度數(shù)發(fā)生改變時，再次通過測量計算比值進行對比.

圖1

(5)推理論證

經(jīng)過猜想和實踐之后如何證明這個結(jié)論，為什么∠A的對邊與鄰邊的比不發(fā)生變化呢？在教師的提示下學生自主探索，可以通過相似三角形的知識進行推理驗證.

(6)再次探究

師：經(jīng)過剛才的證明，大家已經(jīng)知道了∠A的對邊與鄰邊的比與點B的位置是無關(guān)的，那么它與∠A的度數(shù)是否有關(guān)呢？我們應該用什么方法驗證呢？

生1：可以改變∠A的度數(shù)再次進行測量.

師：很好！請大家來操作一下.

師：很好！但是這個結(jié)論還是需要通過理論進行證明，大家看看是否可以用幾何圖形來驗證？

生3：如圖2，以O為圓心，OP為半徑的圓上有一點P，在PH與OP的比值中，當角度增大時，PH變大，因此在分母不變的情況下，比值越來越大.

圖2

(7)總結(jié)規(guī)律

通過畫圖可以清晰地看到角度與比值的變化關(guān)系，再次驗證了結(jié)論：角度變化，比值也相應變化.這種隨著角度變化，比值發(fā)生變化的規(guī)律就是正弦的定義，我們可以用sinA來表示∠A的正弦.

改進評析：通過教師引導下的探究，學生積極參與到學習活動中，經(jīng)過思考、討論、總結(jié)，逐步理解了正弦的概念，為進一步學習三角函數(shù)奠定了基礎.銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應的函數(shù)關(guān)系，學生在探究的過程中學會了運用所學知識解決問題，理解知識之間的邏輯關(guān)系.在證明猜想的過程中，教師引導學生利用相似三角形證明比值相等，真正深化了學生對概念的理解.

兩種設計方式表面上學習效果沒有太大差別，但是從更深層次來看，第二種設計給學生創(chuàng)設了探索的平臺，鍛煉了學生的思維，更加有利于學生的發(fā)展.

3 不恰當?shù)厥褂眯轮?，影響學生對概念的理解 課堂教學中一般都有一個當堂鞏固的環(huán)節(jié)，通過習題對當堂所學知識進行鞏固訓練.

案例3課堂鞏固

(1)已知Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，BC的長度為4，求sinA和sinB的值.

(2)已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，CD的長度為12，AD的長度為9，BD的長度為5，求sinA,sinB,sin∠ACD和sin∠BCD的值.

(3)在Rt△ABC中，∠C為直角，a的長度為1，c的長度為2，求sinB的值.

設計評析：上述練習都是在直角三角形中求正弦值，一方面題型單一，學生基本只需要單一的固定思維就能解決，沒有起到鍛煉思維的作用；另一方面容易給學生一種誤導，只有在直角三角形中才能求銳角三角函數(shù)的值.因此，對學生的學習能力起不到應有的提升作用，一旦題型稍作改變，學生可能就一籌莫展了.

改進建議：(1)在Rt△ABC中，∠C為直角，AB的長度為5，BC的長度為3，求∠A的正弦.

(2)在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長度為3，sinA的值為3∶5，求AB和AC的長度.

變式訓練：在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長度為3，sinA的值為3∶5，求sinB的值.

改進評析：改進后的練習，不僅檢測了學生對正弦知識的掌握情況，突出了重點，而且還通過變式訓練，培養(yǎng)了學生通過設置參數(shù)解題的方法.這樣的設計調(diào)動了學生的多種思維，提升了學生的解題能力，全面鞏固了所學知識.

課堂鞏固的目的是為了了解學生知識的掌握情況，因此在習題設計時要注意問題的廣度，重視思維過程，提高習題的質(zhì)量，促進學生積極思考.

總之，數(shù)學概念的教學要摒棄給學生教概念的做法，要以學習活動為抓手，在引導學生探究思考的過程中，積累活動經(jīng)驗，提高學習能力，深入理解數(shù)學概念的本質(zhì).