?廣州開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué) 黨小磊
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出:“課堂教學(xué)是全體師生共同參與、交流互動(dòng)、共同成長(zhǎng)的活動(dòng).”在教學(xué)實(shí)踐中,采用問(wèn)題串的方式開(kāi)展課堂教學(xué)就是教師與學(xué)生的一個(gè)互動(dòng)溝通與課堂反饋的方式[1].下面以“多邊形的內(nèi)角和”為例,展示筆者的課堂教學(xué)實(shí)踐與反思,供同仁研討.
問(wèn)題1在2022年二月亞洲杯中,中國(guó)女足戰(zhàn)勝日本隊(duì)捧起了冠軍獎(jiǎng)杯,成了中國(guó)人的驕傲.大家都知道足球表面由32個(gè)多邊形組成,一般是12塊黑色正五邊形和20塊白色正六邊形.請(qǐng)問(wèn)正五邊形與正六邊形的內(nèi)角和分別為多少?
教學(xué)說(shuō)明:足球是學(xué)生非常喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng),也是中考體育考試選項(xiàng)之一.從學(xué)生最關(guān)心的問(wèn)題出發(fā),充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生探索問(wèn)題的欲望.體現(xiàn)數(shù)學(xué)就在身邊的同時(shí),設(shè)置懸念,找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),可以提升本節(jié)課的有效性.中國(guó)女足堪稱“鏗鏘玫瑰”,這是每一位中國(guó)人的光榮,由此在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí),也潛移默化地激起他們的愛(ài)國(guó)主義情感.
問(wèn)題2(1)三角形的內(nèi)角和等于多少度?
(2)正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和各是多少度?
教學(xué)說(shuō)明:本環(huán)節(jié)問(wèn)題是鞏固已有的相關(guān)知識(shí),給學(xué)生小小的成功感.“三角形的內(nèi)角和等于180°”,對(duì)接下來(lái)探究復(fù)雜多邊形內(nèi)角和的分割方法提供了方向.問(wèn)題2(2)特殊四邊形的內(nèi)角和等于360°,有助于下面問(wèn)題3(1)的猜想,并同時(shí)激勵(lì)著學(xué)生積極投入到一般四邊形內(nèi)角和的探究中,從而在課堂教學(xué)中產(chǎn)生正面效應(yīng).
問(wèn)題3(1)猜一猜:任意四邊形(如圖1)的內(nèi)角和等于多少度?
圖1
(2)你有哪些方法能夠證明你的猜測(cè)?你能找出幾種方法?
(3)對(duì)比并觀察這些分割方法有什么相同和不同?
教學(xué)說(shuō)明:對(duì)于問(wèn)題3,輔助線方法即連接對(duì)角線把四邊形劃分為兩個(gè)三角形,把四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的內(nèi)角和,化未知為已知,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思想——轉(zhuǎn)化思想,筆者借助問(wèn)題串達(dá)到了教學(xué)目標(biāo).問(wèn)題3(1)可由正方形、長(zhǎng)方形這兩種特殊的多邊形的內(nèi)角之和猜測(cè)出任意四邊形的內(nèi)角之和為360°.問(wèn)題3(2)通過(guò)添加輔助線,只要把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形,就可以求出任意四邊形的內(nèi)角之和,“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思維方式已向?qū)W生全面滲透.教師在此引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種分割四邊形成三角形的方式,感受解決方式的多樣化.
對(duì)于任意四邊形,可以利用以下方法分割:
(1)連接1條對(duì)角線,可以得2個(gè)三角形,如圖2,四邊形的內(nèi)角和為2×180°;
(2)連接兩條對(duì)角線且在四邊形內(nèi)部交于一點(diǎn),得到4個(gè)三角形,如圖3,四邊形的內(nèi)角和為4×180°-360°;
(3)若在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn),如圖4,也可以得到相應(yīng)的結(jié)論;
(4)也可在邊上任取一個(gè)點(diǎn),如圖5,四邊形的內(nèi)角和為3×180°-180°;
(5)還可在四邊形的外部取一點(diǎn),如圖6,四邊形的內(nèi)角和為3×180°-180°.
在此,教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同的輔助線,合作探尋出多種方法,體現(xiàn)了此探索活動(dòng)的多樣化和開(kāi)放性.問(wèn)題3(3)旨在通過(guò)觀察、思考、總結(jié)添加輔線的多種方式的共性與區(qū)別,促使學(xué)生體會(huì):只要把四邊形劃分為已經(jīng)知道內(nèi)角和的圖形形狀,就可以求出其內(nèi)角和.一般方法是:從一點(diǎn)開(kāi)始,通過(guò)連接各頂點(diǎn),將四邊形分割為三角形來(lái)加以解決.但這個(gè)“一點(diǎn)”可以是平面內(nèi)的任何一點(diǎn).由此突破難點(diǎn),將知識(shí)上升到思維方式,將未知轉(zhuǎn)化為已有思維方式.
問(wèn)題4(1)選擇一個(gè)你最喜歡的上述分割方法,能否解決問(wèn)題1中足球表面的正五角形、六邊形各自的內(nèi)角和?
(2)n邊形的內(nèi)角和怎樣表示呢?
(3)幾種推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和的方法中,你覺(jué)得哪一種辦法最佳?為什么?
(4)對(duì)于n邊形的內(nèi)角和,大家得到的算式可能不同,那么得到的結(jié)果能一樣嗎?
教學(xué)說(shuō)明:?jiǎn)栴}4(1)為了使學(xué)生通過(guò)增加多邊形的邊數(shù),再一次體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,從而提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的掌握程度.在正四邊形的基礎(chǔ)上,探討邊數(shù)為整數(shù)的正多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的聯(lián)系.問(wèn)題4(2)將任意多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的方式,有助于鍛煉學(xué)生的想象能力.而通過(guò)對(duì)多邊形內(nèi)角和問(wèn)題的思考,則能夠幫助學(xué)生總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和的各種表達(dá)式,從而感知數(shù)形間的聯(lián)系,進(jìn)而體會(huì)從特殊到一般的邏輯推理過(guò)程.不同的方法可以得到不同的內(nèi)角和公式,如(n-2)×180°,180°n-360°,180°(n-1)-180°.問(wèn)題4(3)是最優(yōu)化的思維,在日常生活中也往往會(huì)遇到同一個(gè)問(wèn)題同時(shí)有多種處理方式的情形,因此指導(dǎo)學(xué)生要“三思而后行”,選擇最優(yōu)最有利于解決問(wèn)題的方式后再行動(dòng).問(wèn)題4(4)通過(guò)逆用乘法分配律進(jìn)行推理,促使學(xué)生感受化歸的基本思想,并通過(guò)公式的化歸過(guò)程,進(jìn)一步感受數(shù)形間的聯(lián)系以及各種方法之間的聯(lián)系.
180°n-360°=180°n-2×180°=(n-2)×180°,180°(n-1)-180°=180°(n-1)-180°×1=(n-2)×180°.
問(wèn)題5(1)八邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_____.
(2)已知一種多邊形的內(nèi)角和為1 980°,求這種多邊形的邊數(shù).
(3)已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為150°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
教學(xué)說(shuō)明:該環(huán)節(jié)引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生利用多邊形內(nèi)角和公式解決問(wèn)題,使他們體會(huì)n邊形內(nèi)角和公式在何時(shí)能夠順向使用,何時(shí)逆向使用,即已知邊數(shù)求多邊形的內(nèi)角和—直接使用公式,已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)—逆向利用公式的方法.此環(huán)節(jié)筆者可以及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,讓學(xué)生經(jīng)歷用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程.
問(wèn)題6關(guān)于小亮的一種設(shè)想:2024年奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將在法國(guó)舉行,他認(rèn)為設(shè)計(jì)一種內(nèi)角和是2 024°的多邊形圖案將會(huì)非常有趣,你覺(jué)得小亮的設(shè)想能做到嗎?
教學(xué)說(shuō)明:多邊形的內(nèi)角和公式即為(n-2)×180°,由此可知多邊形的內(nèi)角之和是180°的正整數(shù)倍,顯然小亮的設(shè)想不成立.通過(guò)此環(huán)節(jié),學(xué)生進(jìn)一步了解并靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式,同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)的趣味性以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切關(guān)系.
問(wèn)題7這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么?這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容對(duì)你今后的學(xué)習(xí)有何啟發(fā)?
教學(xué)說(shuō)明:本環(huán)節(jié)意在指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課程的知識(shí)內(nèi)容,把新學(xué)習(xí)的主要知識(shí)點(diǎn)納入新的知識(shí)體系,不斷豐富自己的知識(shí).幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身的進(jìn)步,為進(jìn)一步深入掌握新知識(shí)點(diǎn)形成正向遷移,也為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)[2].
本節(jié)教學(xué)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和情境,以問(wèn)題串的方式指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),問(wèn)題指向性清晰明確.課堂既圍繞著某一問(wèn)題進(jìn)行,又生長(zhǎng)了新的問(wèn)題.從基礎(chǔ)知識(shí)層次逐步轉(zhuǎn)入能力素質(zhì)層次,將整堂課程的教學(xué)環(huán)節(jié)與問(wèn)題串成一線,不同環(huán)節(jié)的過(guò)渡也更加自然,從而加深了前后問(wèn)題的聯(lián)系,既啟發(fā)了學(xué)生的深度思維,又使學(xué)生樂(lè)此不疲地投入到了課堂學(xué)習(xí)之中,有效地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.
這節(jié)課的亮點(diǎn)就是整個(gè)課堂自始至終由問(wèn)題貫穿,師生、生生互動(dòng)也由始至終.學(xué)生在問(wèn)題串的帶動(dòng)下積極、踴躍、有效地學(xué)習(xí),整節(jié)課充滿生機(jī),實(shí)現(xiàn)了預(yù)定的教育任務(wù),達(dá)到了預(yù)期效果.本節(jié)課讓筆者感受頗深,也讓筆者對(duì)利用問(wèn)題串形式開(kāi)展課堂教學(xué)有如下思考.
問(wèn)題串既能較好地反映出整節(jié)課的內(nèi)容,也能較完整地展示整節(jié)課的“骨架”[3].本節(jié)課從七個(gè)問(wèn)題勾勒出了這節(jié)課的整體架構(gòu):?jiǎn)栴}1通過(guò)設(shè)計(jì)當(dāng)下學(xué)生關(guān)心的實(shí)際情境問(wèn)題,調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,設(shè)置懸念,引入課題;問(wèn)題2在問(wèn)題1的情境下,有助于激活學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí);問(wèn)題3在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上,從特殊到一般,提出與本節(jié)課相關(guān)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新問(wèn)題進(jìn)行思考與猜想,通過(guò)親自動(dòng)手探索多種途徑解決問(wèn)題;問(wèn)題4是問(wèn)題3的深入研究,增加圖形的復(fù)雜性,使學(xué)生更深入地感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)一步了解轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)過(guò)程——將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形,體會(huì)到將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程,并在小組學(xué)習(xí)交流中,共同整理出復(fù)雜多邊形的內(nèi)角和公式及最優(yōu)表達(dá)式,從而切身感受到學(xué)習(xí)的真諦;問(wèn)題5靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式解答問(wèn)題;問(wèn)題6運(yùn)用教學(xué)新知探討并解答生活中的具體問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)多邊形的內(nèi)角和公式有深入的認(rèn)識(shí)和了解,也感受到數(shù)學(xué)的魅力和簡(jiǎn)潔美;用問(wèn)題7歸納總結(jié)本節(jié)課的同時(shí),順勢(shì)延伸學(xué)生的思維生長(zhǎng)點(diǎn),為接下來(lái)的學(xué)習(xí)做好鋪墊,也把本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容完整地整合在一起.
本節(jié)課通過(guò)精巧的問(wèn)題設(shè)計(jì),不斷追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生勇于猜想、勇敢探索,引導(dǎo)他們繼續(xù)探索、擴(kuò)大視野,不斷拓展思維[4].一系列問(wèn)題串由淺至深、層層遞進(jìn)、循序激發(fā)學(xué)生的深度思考,推動(dòng)了學(xué)生的思維進(jìn)程,師生之間的交流互動(dòng)更是體現(xiàn)了探究的思維過(guò)程.問(wèn)題3指導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有的知識(shí)與數(shù)學(xué)思想展開(kāi)思維碰撞,生生間、小組間產(chǎn)生思想交流的火花;問(wèn)題4指導(dǎo)學(xué)生把問(wèn)題的實(shí)質(zhì)從復(fù)雜的圖形中剝離開(kāi)來(lái),化繁為簡(jiǎn);問(wèn)題5為更好地挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思維能力,從公式的順向與逆向理解多方位設(shè)置練習(xí),以化解學(xué)生在公式運(yùn)用上的思想阻塞點(diǎn);問(wèn)題6引導(dǎo)學(xué)生拓展思維,直擊學(xué)生的思維深處.整節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)不是放在公式的大量練習(xí)上,而是定位在多邊形的內(nèi)角和公式形成的探索過(guò)程,這是注重培養(yǎng)學(xué)生思維能力的表現(xiàn),對(duì)學(xué)生的思維提升大有裨益,也有助于更好地促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng).