馮東明 黎劍安 吳 剛 張 建

(1東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096)(2東南大學(xué)智慧建造與運維國家地方聯(lián)合工程研究中心，南京 211189)(3東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 211189)

車輛在橋梁上的行駛會引起橋梁振動，橋梁的振動又會反過來作用于車輛，兩者之間相互耦合形成了動態(tài)的車橋耦合(vehicle-bridge interaction，VBI)系統(tǒng).車輛荷載是橋梁受到的主要活荷載.文獻[1-2]指出，車輛在較不平順的橋面上行駛時，產(chǎn)生的動態(tài)荷載明顯大于車輛靜荷載.橋梁一旦建成，將長期受到車輛荷載的反復(fù)加載，加之車輛超載現(xiàn)象日益嚴(yán)重[3]，勢必會加劇橋梁損傷[4]，加快橋梁老化，嚴(yán)重時將大幅縮短橋梁的使用壽命.近年來，橋梁老化崩塌和車致橋損的事件屢見不鮮，研究車橋問題對于保證橋梁正常服役、延長橋梁使用壽命都具有重要意義.此外，VBI系統(tǒng)還能用于橋梁的模態(tài)參數(shù)識別[5]、損傷識別[6]、路面不平度識別[7]及其他橋梁健康監(jiān)測領(lǐng)域[8]等.可見，VBI系統(tǒng)在橋梁狀態(tài)評估和健康預(yù)測等方面同樣具有重要的研究價值.

VBI建模是研究VBI問題的基礎(chǔ).目前的建模手段主要分為兩類：①利用自建的有限元代碼建模求解；②利用通用有限元軟件建模求解[9].

第1類方法在處理車輛和橋梁時可分為以下2種方案[10]：①聯(lián)立車輛方程和橋梁方程，利用數(shù)值積分方法求解聯(lián)立后的VBI方程組[11]，此時路面不平度被當(dāng)作內(nèi)部力處理.②將車輛和橋梁分成2個子系統(tǒng)[12]，基于車橋接觸點處的荷載平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件，利用自建的VBI系統(tǒng)代碼進行求解.這種方法一般采用MATLAB或者Python實現(xiàn)，可用于模擬簡單的二維VBI模型，但在針對大型三維VBI模型時則存在較大的局限性，如難以建模、多維數(shù)組計算效率低、代碼復(fù)雜通用性差、交互性和可視化難以實現(xiàn)等.

第2類方法是利用通用有限元軟件(如ANSYS、ABAQUS)模擬VBI系統(tǒng).采用軟件中現(xiàn)成的各類單元建立VBI模型，給車輛模型施加順橋向的位移，從而模擬車輛過橋的過程.這類方法通用性較好，易于進行模型的二次開發(fā)，可實現(xiàn)模型的交互性和可視化，適合于建立大型三維VBI模型.然而，該方法在考慮路面不平度時也存在不足：難以施加橋梁表面的路面不平度，或需要在橋梁表面建立凹凸不平的表面輪廓單元.文獻[13]利用ANSYS軟件在車橋接觸點處建立接觸對(接觸單元和目標(biāo)單元)，實現(xiàn)路面不平度的模擬；然而，當(dāng)橋梁模型自由度較多時，接觸對的存在會使軟件的計算量顯著增大.文獻[14]基于位移協(xié)調(diào)條件，利用ANSYS軟件建立了VBI系統(tǒng)模型，并采用單軸的彈簧阻尼器車輛模型加以驗證，但其建立的車輛模型較為簡單，涉及復(fù)雜的動力學(xué)公式求解，且未對多種工況進行全面對比.

本文提出了一種完全基于ANSYS的車橋耦合系統(tǒng)的快速建模方法.該方法不需要與其他外部軟件聯(lián)合仿真，利用位移協(xié)調(diào)條件和荷載平衡條件即可完成VBI的快速建模，且能有效地模擬路面不平度.

1 車橋耦合系統(tǒng)建模

本文所采用的二維VBI系統(tǒng)模型如圖1所示.車輛模型為具有4個自由度的雙軸半車模型，橋梁模型為二維簡支梁橋模型.圖中，a1和a2分別為前、后軸到車體重心的距離，且a=a1+a2；x1(t)和x2(t)分別為車輛前、后輪至橋梁左端的距離，且x1(t)=vt，x2(t)=vt-a，其中，v為車速，t為時間；r(x1(t))和r(x2(t))分別為x1(t)和x2(t)處橋梁上的路面不平度；Ks1和Ks2分別為前、后軸懸掛系統(tǒng)的剛度系數(shù)；Cs1和Cs2分別為前、后軸懸掛系統(tǒng)的阻尼系數(shù)；Kt1和Kt2分別為前、后輪胎的剛度系數(shù)；Ct1和Ct2分別為前、后輪胎的阻尼系數(shù)；mt1和mt2分別為前、后輪的質(zhì)量；mv和Iv分別為車體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；zv(t)為車體豎向平動位移；θv(t)為車體轉(zhuǎn)角位移；zt1(t)和zt2(t)分別為車輛前、后輪豎向平動位移；fc1(t)和fc2(t)分別為前、后輪作用在橋梁上的荷載；yc1(t)和yc2(t)分別為前、后輪處橋梁位移與路面不平度之和；L為橋梁長度；EI為橋梁的抗彎剛度，其中E為橋梁彈性模量，I為橋梁慣性矩；ρ為橋梁的密度；ξ為橋梁的阻尼比.

圖1 車橋耦合模型示意圖

1.1 路面不平度

路面不平度是影響VBI系統(tǒng)的關(guān)鍵因素，較差的路面會顯著增加車輛荷載和橋梁響應(yīng)的振動幅度.基于國際標(biāo)準(zhǔn)[15]提供的路面功率譜函數(shù)，利用諧波疊加法[16]模擬路面不平度分布，公式如下：

(1)

(2)

(3)

式中，K為路面空間頻率點總數(shù)；S(fk)為第k個空間頻率fk對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，且fk=kΔf；f0為國際標(biāo)準(zhǔn)[15]提供的路面分級系數(shù)；fl為最小空間頻率，一般取為0.011 m-1；fu為最大空間頻率，一般取為2.83 m-1；φk為服從[0,π]均勻分布的第k個相位角.

1.2 車輛模型

車輛模型的運動方程為

(4)

式中

fc1(t)=-W1+Kt1(zt1(t)-yc1(x1(t),t))+

(5)

fc2(t)=-W2+Kt2(zt2(t)-yc2(x2(t),t))+

(6)

式中

yc1(x1(t),t)=yb(x1(t),t)+r(x1(t))

(7)

yc2(x2(t),t)=yb(x2(t),t)+r(x2(t))

(8)

式中，W1=(mva2/a+mt1)g為前輪的靜荷載；W2=(mva1/a+mt2)g為后輪的靜荷載；yb(x1(t),t)和yb(x2(t),t)分別為x1(t)和x2(t)處的橋梁位移.

在ANSYS軟件中，利用MASS21單元模擬車體質(zhì)量點，其中KEYOPT(3)=4，車體包含浮沉(UY)和俯仰(ROTZ)兩個自由度.采用MPC184單元將車體質(zhì)量點與車體其他節(jié)點連接，從而將上部車體模擬為一個剛性體，其中KEYOPT(1)=1.利用MASS21單元模擬車輪，其中KEYOPT(3)=3，車輪僅包含浮沉(UY)自由度.采用COMBIN14單元連接車輪和上部車體，以模擬車輛的懸掛系統(tǒng)，其中KEYOPT(2)=2.利用COMBIN14單元連接車輪和車橋接觸點，以模擬輪胎的剛度和阻尼，其中KEYOPT(2)=2.

1.3 橋梁模型

橋梁模型采用BEAM3單元模擬，其運動方程為

(9)

Fint(t)={fc1(t),fc2(t)}T

(10)

Nb(x,t)=

(11)

式中，H1((x1(t),t))和H2((x2(t),t))分別為x1(t)和x2(t)處橋梁的Hermitian形函數(shù).采用有限元法求解VBI問題時，車輛荷載不會完全作用在節(jié)點上，故采用Hermitian形函數(shù)將車輛荷載分配到橋梁的各個自由度上.

1.4 VBI系統(tǒng)模擬方法

VBI系統(tǒng)的模擬方法主要包括初始化部分和迭代部分.

初始化部分的步驟如下：

①定義初始時間步；

②定義車輛和橋梁的初始條件，本文假設(shè)車輛和橋梁在初始處是靜止?fàn)顟B(tài)；

③計算車輛靜荷載，并將其施加到車橋接觸點處；

④根據(jù)式(7)和(8)計算車橋接觸點處的橋梁位移和路面不平度之和，并將其作為邊界條件施加到車輪上；

⑤求解車橋耦合模型.

迭代部分的步驟如下：

①定義新的時間步；

②假設(shè)積分步長為Δt，將車橋接觸點向前進方向移動Δx，且Δx=vΔt；

③提取上一時間步中車輛和橋梁的豎向位移，利用差分法計算車輛和橋梁的豎向速度；

④根據(jù)式(5)和(6)計算車輛荷載，并將車輛荷載施加到車橋接觸點處；

⑤根據(jù)式(7)和(8)計算車橋接觸點處的橋梁位移和路面不平度之和，并將其作為邊界條件施加到車輪上；

⑥求解車橋耦合模型；

⑦循環(huán)迭代，直至車輛離開橋梁.

以上所述的VBI系統(tǒng)模擬方法完全基于ANSYS軟件，仿真過程中無需建立引橋.但當(dāng)需要考慮車輛上橋前的振動時，也可建立引橋并施加路面不平度.由于理論解的程序沒有建立引橋，為了盡量與該程序保持一致，本文建立的ANSYS車橋耦合模型也沒有建立引橋，此時車輛的初始振動狀態(tài)為0.在這種情況下，只有當(dāng)車軸位于橋上時，該車軸才與橋梁進行耦合；若車軸未進入(或離開)橋梁，對應(yīng)的車軸將受到約束，停止與橋梁耦合.

2 數(shù)值模擬

以圖1所示的VBI系統(tǒng)模型為對象，在ANSYS軟件中建立了與之相對應(yīng)的有限元模型.車輛和橋梁參數(shù)見文獻[17].橋梁的前5階自振頻率分別為3.90、15.61、35.12、62.43、97.54 Hz；車輛的各階自振頻率分別分0.76、1.42、6.34、6.42 Hz.

車速和路面不平度是影響VBI動力響應(yīng)的重要因素.為了驗證本文方法在不同工況下模擬VBI系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，考慮了4種不同的路面(光滑、A級、B級和C級路面)和4種車速(10、20、30、40 m/s).

利用Newmark數(shù)值積分方法[18]求得VBI系統(tǒng)的理論解，并與本文方法的模擬結(jié)果進行對比，以驗證本文方法的準(zhǔn)確性.采用歸一化均方根誤差(NRMSE)作為模擬結(jié)果的誤差量化指標(biāo)，其計算公式為

(12)

式中，ε為仿真誤差；ySj、yTj分別為模擬結(jié)果和理論解中的第j個數(shù)值；yTmax、yTmin分別為理論解中的最大值和最小值；J為數(shù)據(jù)點總數(shù).

2.1 路面影響

本文采用的光滑、A級、B級和C級路面在空間域中的分布如圖2所示.車速為20 m/s時，4種路面不平度下的橋梁響應(yīng)模擬結(jié)果分別見圖3～圖6，對應(yīng)誤差見表1.由圖2可知，位移和加速度的模擬值與理論解基本吻合.由表1可知，位移誤差為0～2%.由于橋梁加速度包含較多的高頻信號，其誤差較位移誤差略高，誤差值約為4%，但仍處于較低的誤差水平.這說明采用本文方法能夠在ANSYS軟件中準(zhǔn)確地模擬VBI系統(tǒng)，且有效模擬了路面不平度.

圖2 路面不平度的空間域分布

表1 不同路面下的橋梁跨中響應(yīng)誤差 %

(a) 位移時程

(a) 位移時程

(a) 位移時程

(a) 位移時程

2.2 車速影響

采用A級路面，車速為10、20、30、40 m/s時的橋梁響應(yīng)模擬結(jié)果見圖4和圖7～圖9，相應(yīng)的誤差見表2.由圖可知，不同車速下模擬結(jié)果與理論解基本一致，橋梁位移誤差小于1%，加速度誤差僅為4%左右.這說明所提方法能在不同車速下準(zhǔn)確地模擬VBI系統(tǒng).

綜上所述，采用本文方法可以在ANSYS軟件中準(zhǔn)確地模擬VBI系統(tǒng)，模擬精度幾乎不受車速和路面不平度影響，模擬結(jié)果與理論解基本一致.

表2 不同車速下的橋梁跨中響應(yīng)誤差

(a) 位移時程

(a) 位移時程

(a) 位移時程

3 結(jié)論

1)本文方法是一種完全基于ANSYS軟件的方法，無需借用其他外部軟件即可實現(xiàn)VBI的快速建模.

2)模擬結(jié)果與理論解之間誤差較小，橋梁位移誤差不超過2%，橋梁加速度誤差僅為4%左右.

3)本文方法無需劃分微小的路面輪廓單元，也無需建立復(fù)雜的接觸單元，而是將路面不平度的幅值與橋梁位移合在一起作為車輛模型的邊界條件，簡單有效地模擬了路面不平度.

4)不同車速下，本文方法依然能準(zhǔn)確地模擬車輛在橋梁上的行駛過程，且模擬精度幾乎不受車速影響.