徐詩虎,鄧海順 ,蘇國用 ,王文善

(1. 安徽理工大學 機械工程學院，安徽 淮南，232001；2. 安徽理工大學 深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室，安徽 淮南，232001)

隨著煤礦智能化目標的提出，學者們在掘錨支一體化系統(tǒng)理論方面開展了大量研究，并研制了多款國產(chǎn)掘錨聯(lián)合機組[1-2]，但受制于掘進工作面空間狹小、巷道底板潮濕易下陷等問題，邁步式錨支護機組的普及具有局限性，而立柱作為核心部件，其動態(tài)性能直接決定了整機的工作穩(wěn)定性[3]。若立柱采用較輕質(zhì)量，在移動過程中能夠減少運動慣性和變形，有效降低井下作業(yè)的危險性，因此，在投入生產(chǎn)前優(yōu)化結(jié)構(gòu)尺寸，對于設備的運行性能極為重要。

對于立柱的優(yōu)化設計，王雷等[4]采用響應面與遺傳算法相結(jié)合的優(yōu)化設計方法，得到了Pareto最優(yōu)解集；蒲凡等[5]建立了立柱動靜態(tài)特性的聯(lián)合拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，利用 ANSYS 軟件對其結(jié)構(gòu)進行多目標拓撲優(yōu)化設計；童水光等[6]利用起重機剛性支腿的參數(shù)化有限元模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡，采用混合遺傳算法引導遺傳算法的搜索方向；孫曉俊等[7]對立柱進行模態(tài)分析，通過靈敏度分析得到關鍵尺寸參數(shù);陳靜等[8]對立柱進行拓撲優(yōu)化分析，依據(jù)分析得到的最佳分布和立柱設計經(jīng)驗改進原立柱結(jié)構(gòu)；方陽等[9]利用Python語言編寫計算程序，采用多島遺傳算法進行優(yōu)化，建立一套迭代優(yōu)化立柱結(jié)構(gòu)的分析流程。

由于大多方法使用的數(shù)值模擬復雜且耗時，給優(yōu)化過程帶來過多工作量，基于此，本文對邁步式錨支護機組立柱的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進行多目標優(yōu)化，通過靈敏度分析篩選出對體積、最大總位移和一階模態(tài)頻率影響最大的4個待優(yōu)化參數(shù)，通過最優(yōu)空間填充設計法建立響應面模型，利用遺傳算法進行循環(huán)迭代優(yōu)化，最后，將優(yōu)化后的模型進行對比驗證。

1 基于響應面模型的參數(shù)確定

1.1 立柱的模態(tài)分析

某邁步式錨支護機組立柱為套筒式結(jié)構(gòu)，上頂端與機身進行鉸支連接，另一端與地面接觸。立柱采用304不銹鋼材質(zhì)，密度ρ為7 930 kg/m3，泊松比μ為0.29，彈性模量E為1.99×1011Pa，許用應力[σ]為137 MPa，采用SolidWorks進行三維建模，在建模時，圓角、倒角、小直徑孔等特征會增加后續(xù)仿真計算量，因此，需要對整體結(jié)構(gòu)進行簡化，通過設置參數(shù)調(diào)試網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸設置為5 mm；對頂板、側(cè)壁開孔處、底板和筋板等應力集中處進行細分網(wǎng)格，設置尺寸為4 mm的面網(wǎng)格，最后生成234 326個節(jié)點和125 666個單元，立柱實物圖和生成的有限元網(wǎng)格模型見圖1。

圖1 邁步式錨支護機組立柱

立柱通過螺栓孔與機身相連，因此，對上套筒頂板的螺栓孔添加固定約束來模擬邊界條件進行模態(tài)分析，得到立柱前四階固有頻率和振型，見圖2。整機是個具有多自由度的振動系統(tǒng)，其運動都可以由各低階固有振型的線性組合來表達，高階振型阻尼較高，則其動態(tài)特性的影響明顯低于低階振型，因此，模態(tài)分析集中在對結(jié)構(gòu)影響較大的低階模態(tài)上[10]。

1.2 立柱參數(shù)的靈敏度分析

在對結(jié)構(gòu)尺寸進行優(yōu)化設計時，設計變量的靈敏度可反映其與目標函數(shù)的關聯(lián)，對于優(yōu)化過程的求解效率、可行性設計都有影響[10]。該立柱尺寸參數(shù)較多，為了減少優(yōu)化時的計算量，需要在ANSYS的參數(shù)相關性模塊(parameters correlation)進行一次靈敏度篩選[11]，找出對立柱性能影響大的關鍵尺寸。本次優(yōu)化只考慮約束函數(shù)對目標函數(shù)的影響，采用K-T條件進行計算，即：

(1)

式中：x*為約束最優(yōu)點；gu(x*)為不等式約束；hv(x*)為等式約束。其中不等式約束和等式約束可寫成：

(2)

式中：φv(x*)和φu(x*)為常數(shù)；bv和du是約束條件中發(fā)生變差的參數(shù)，則約束條件對目標函數(shù)的靈敏度可寫成：

(3)

采用spearman法對12個輸入變量各生成200個樣本點，輸出參數(shù)選擇體積、最大總位移和一階模態(tài)頻率，設置好后計算樣本點參數(shù)，運行程序后得到的敏感度分析結(jié)果見圖3。

圖3 設計變量靈敏度分析結(jié)果

對立柱體積影響最大的是P2上套筒開口長度、P3上套筒開口寬度和P7套筒厚度；對立柱最大總位移影響最大的是P1頂板厚度和P7套筒厚度；對立柱一階模態(tài)頻率影響最大的是P1頂板厚度。靈敏度分析結(jié)果為正表示設計參考點處梯度為正，輸入變量與輸出變量呈正相關關系，靈敏度為負則相反。根據(jù)靈敏度分析結(jié)果選擇4個待優(yōu)化設計點參數(shù)P1(x1)、P2(x2)、P3(x3)和P7(x4)，結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)見圖4。

圖4 立柱待優(yōu)化參數(shù)示意圖

1.3 立柱響應面模型的擬合

響應面模型分析法的核心就是用特定試驗設計方法，得到目標函數(shù)和約束函數(shù)的響應面模型，并預測非試驗點的響應值[12-13]，可采用不同階次多項式表達目標與設計參數(shù)之間的關系，其近似模型為

(4)

式中：y為輸出變量；a為多項式系數(shù)；xi為設計變量；n為設計變量個數(shù)；待定次數(shù)a0、ai、aii、aij個數(shù)為(n+1)(n+2)/2。

檢驗響應面模型擬合精度的常用準則是相對均方根誤差(root mean squared error, RMSE)，其可表示響應面模型得出的仿真值與實際值之間的差異程度，差值越小則擬合精度越高[14]，其定義如下：

(5)

為得到準確合理的試驗點，采用響應面最優(yōu)空間填充設計(optimal space-filling design)在整個設計空間均勻抽取分布點，每個參數(shù)生成40個樣本進行計算，以立柱體積、最大總位移和一階固有頻率為輸出目標函數(shù)，得到對應的輸入變量約束條件，計算后采用無交叉項的標準二階響應面評估樣本點擬合情況，由圖5可知，各設計點生成的響應面與試驗設計的樣本點之間擬合精度較好，基本都分布在對角線附近，可以進行下一步優(yōu)化。

圖5 響應面擬合優(yōu)度曲線

2 基于遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化

2.1 建立立柱數(shù)學模型

本次優(yōu)化的首要目標是立柱輕量化，首先，將多目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標函數(shù)，進行歸一化處理，建立權(quán)衡函數(shù)[15]為

(6)

式中:ti表示

(7)

式中：n為設計變量個數(shù)；f*和f(x)分別代表第i個目標函數(shù)的理想可行解和實際值；fmax和fmin分別代表目標函數(shù)最大值和最小值。

對立柱的優(yōu)化目標是在滿足性能要求的前提下，實現(xiàn)輕量化設計，以此構(gòu)建目標函數(shù)和特征參數(shù)約束(筋板等非影響因素不考慮)：

minV(x)=V上+V下=Sx1-x2x3+H1[L2-(L-2x4)2]+H2[(L-2x4)2-(L-4x4)2]=3.2x1-x2x3+45.6x4-74x42

(8)

式中：V上和V下分別為上套筒和下套筒的體積；S為頂板截面積；H1和H2分別為上套筒和下套筒的長度；L為套筒外側(cè)壁寬度。設置好后，進行各參數(shù)的優(yōu)化。

2.2 立柱優(yōu)化過程及結(jié)果

使用MATLAB工具箱的遺傳算法(genetic algorithm，GA)對以上優(yōu)化方案進行求解，能夠?qū)Χ嘧兞績?yōu)化問題進行全局尋優(yōu)。設置種群規(guī)模為60個，交叉概率為0.7，變異概率為0.01，最大進化代數(shù)為60代，設置完畢后進行迭代得到Pareto最優(yōu)解，各代最佳適應值和平均適應值變化曲線見圖6。

圖6 目標函數(shù)與遺傳代數(shù)的關系

目標函數(shù)在第39代時最佳適應值曲線和平均適應值曲線都收斂，達到最優(yōu)方案，設計變量優(yōu)化值取整后見表1，優(yōu)化后的立柱頂板與套筒厚度有所減少，側(cè)壁開口增大，總體質(zhì)量減小22.45%，因此，對立柱的優(yōu)化達到了輕量化的目標。

表1 優(yōu)化變量對比

3 立柱動態(tài)特性對比分析

通過ANSYS Workbench對優(yōu)化后的立柱添加相同的邊界條件進行模態(tài)分析，并與優(yōu)化前立柱模態(tài)分析結(jié)果進行對比，見表2，由表2可知，優(yōu)化后的立柱各階振型形式相同，前三階固有頻率都有較大提升，分別提高了48.97%、52.17%和66.76%，大于立柱發(fā)生最大振幅時的激勵頻率，表明立柱結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，因此，對立柱的優(yōu)化達到了增加低階固有頻率的目標。

表2 固有頻率對比與振型描述

接下來探測立柱在收到周期性載荷時的振動特性，在ANSYS中打開諧響應模塊對優(yōu)化前后的立柱施加相同簡諧激振力，得到受迫振動下立柱的三向位移-頻響曲線[16]。由圖7可知，優(yōu)化后的立柱在X向、Y向的位移峰值下降明顯，Z向由于側(cè)壁開口增大，其位移增加不可避免，但是增量較小。工作時應盡量避免50～70、490～510和740～760 Hz的3個位移響應比較大的頻率區(qū)間，總體來看，改進后的立柱動態(tài)性能較好，因此，對立柱的優(yōu)化達到了改善動態(tài)性能的目標。

圖7 三向位移-頻響曲線

4 結(jié)語

1)根據(jù)模態(tài)仿真分析和靈敏度篩選結(jié)果進行立柱響應面的擬合，通過RMSE準則驗證擬合精度；采用最優(yōu)空間填充設計在設計空間內(nèi)抽取樣本點，結(jié)果表明:各設計點生成的響應面與試驗設計的樣本點之間擬合精度較好，可以進行下一步優(yōu)化。

2)建立立柱優(yōu)化數(shù)學模型，使用MATLAB工具箱的遺傳算法對其進行迭代求解，在第39代時得到最優(yōu)方案，此時總體質(zhì)量減小22.45%，因此，對立柱的優(yōu)化達到了輕量化的目標。

3)對優(yōu)化前后的立柱進行動態(tài)特性仿真，優(yōu)化后的立柱各階振型形式與優(yōu)化前相同，前三階固有頻率分別提高了48.97%，52.17%和66.76%，大于立柱發(fā)生最大振幅時的激勵頻率，表明立柱結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，因此，對立柱的優(yōu)化達到了增加低階固有頻率的目標；優(yōu)化后的立柱在X向、Y向的位移峰值下降明顯，且預測到工作時應盡量避免50～70、490～510和740～760 Hz的3個位移響應比較大的頻率區(qū)間，因此，對立柱的優(yōu)化達到了改善動態(tài)性能的目標。