許 晶，鄭智仁,2，孔華輝，何桂峰

(1. 中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，北京 100083； 2. 保利(甘肅)實(shí)業(yè)投資股份有限公司，甘肅蘭州 730070)

0 引 言

波形鋼腹板[1]組合箱梁采用波形鋼腹板代替?zhèn)鹘y(tǒng)混凝土腹板，降低了結(jié)構(gòu)自重，提高力學(xué)性能，并有效避免了腹板開裂問題。近年來，為克服混凝土底板支模、澆筑困難等[2]問題，提出了改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁。該結(jié)構(gòu)使用鋼下翼緣板，相較于傳統(tǒng)的混凝土下翼緣板，改進(jìn)型可以有效降低下翼板厚度，提升組合箱梁整體性和跨越性，提高施工效率[3]。

箱梁在撓曲變形時(shí)，由于翼緣板平面內(nèi)剪切變形影響，使其縱向彎曲正應(yīng)力分布不均，產(chǎn)生剪滯效應(yīng)[4]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)組合箱梁剪滯效應(yīng)進(jìn)行了大量研究[5-11]。Reissner[6]最早提出利用能量變分法求解剪滯后問題，并構(gòu)造了合理的剪滯后翹曲縱向位移差函數(shù)格式；聶建國(guó)等[7-8]建立了考慮剪滯后效應(yīng)的鋼-混凝土組合梁理論模型，并結(jié)合有效剛度法給出了組合梁撓度計(jì)算的簡(jiǎn)便公式。

對(duì)于改進(jìn)型波形鋼腹板箱梁，采用鋼板代替了混凝土下翼緣板，上翼緣仍采用混凝土結(jié)構(gòu)，因此需采用剪力連接件將上翼緣與腹板相連。由于沒有完全剛性連接件，翼緣與腹板交界面存在不同程度變形而產(chǎn)生滑移效應(yīng)，進(jìn)而影響組合梁的整體剛度和剪滯系數(shù)[12-15]。苗林等[13]利用Goodman彈性?shī)A層分析法，將組合梁的應(yīng)變分解，構(gòu)建了結(jié)構(gòu)平衡微分方程，研究雙層組合梁彈性階段的滑移、撓度及內(nèi)力；馮建祥等[15]推導(dǎo)了考慮波形鋼腹板界面滑移的波形鋼腹板梁彈性彎曲微分方程。上述研究未分析滑移效應(yīng)對(duì)箱梁正截面應(yīng)力的影響。

綜上所述，目前針對(duì)組合箱梁剪滯效應(yīng)和滑移效應(yīng)的研究多集中于傳統(tǒng)箱梁結(jié)構(gòu)，沒有考慮波形鋼腹板抗剪剛度的影響。對(duì)于改進(jìn)型波形鋼腹板箱梁主要是從剪滯效應(yīng)或動(dòng)力特性進(jìn)行研究[4]，但是混凝土板與連接件之間的滑移效應(yīng)會(huì)與剪滯效應(yīng)作用共同影響箱梁橫截面上正應(yīng)力分布，進(jìn)而影響剪滯系數(shù)。因此，本文考慮波形鋼腹板剪切變形和界面滑移效應(yīng)，采用能量變分法建立改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁的控制微分方程，得到組合箱梁翼緣正應(yīng)力、剪滯系數(shù)和撓度解析表達(dá)式。利用有限元模擬驗(yàn)證了本文提出的理論公式的正確性，進(jìn)而分析了剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁正應(yīng)力、剪滯效應(yīng)和撓度的影響，為該橋型剪滯效應(yīng)計(jì)算和分析提供科學(xué)的理論依據(jù)。

1 滑移模型

對(duì)于改進(jìn)型波形鋼腹板箱梁，假定混凝土上翼緣與波形腹板鋼梁在接觸界面存在滑移且梁體變形仍為彈性變形，變形截面各自保持均勻的伸縮。同時(shí)，混凝土上翼緣板和鋼箱梁連接緊密，即不考慮混凝土板的掀起且假定箱梁截面無豎向擠壓變形，兩者豎向撓曲變形完全相同。

組合箱梁微段變形圖如圖1所示，其中，q為箱梁承受的均布荷載，Mc、Ms、Vc、Vs、Nc、Ns分別為組合箱梁中混凝土翼緣板與波形腹板鋼箱梁的彎矩、剪力和軸力，qu和qv分別為組合箱梁的層間豎向力與層間剪力，ξ(x)為混凝土上翼緣板與鋼梁在水平方向的滑移縱向位移差函數(shù)，即組合箱梁的界面滑移量，其表達(dá)式為

ξ(x)=ξs(x)-ξc(x)

(1)

(2)

(3)

式中:ξc(x)、ξs(x)分別為混凝土板和波形腹板鋼梁的縱向位移量；ζc、ζs分別為混凝土翼緣板與波形腹板鋼箱梁的縱向滑移系數(shù)；n為鋼材彈性模量Es與混凝土彈性模量Ec之比；As、Ac分別為鋼板、混凝土截面面積。

2 控制微分方程的建立與求解

2.1 基本假定

為方便公式推導(dǎo)與計(jì)算，在豎向荷載作用下，考慮界面滑移效應(yīng)與組合箱梁的變形特點(diǎn)，采用以下基本假定：

(1)由于波形鋼腹板的“褶皺效應(yīng)”，其縱向抗彎剛度很小，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定波形鋼腹板不承受彎矩，只承受剪力作用，忽略波形鋼腹板的縱向彎曲應(yīng)變能。

(2)假設(shè)混凝土上翼緣和波形腹板鋼箱梁的剪切抗滑移剛度與相對(duì)滑移量為線彈性關(guān)系，即V(x)=kξ(x)，其中V(x)為截面剪力分布，k為剪切抗滑移剛度；混凝土翼緣板和鋼箱梁的剪切抗滑移剛度是由剪力連接件提供，由于箱梁截面和荷載對(duì)稱，忽略混凝土翼緣板與箱梁的黏結(jié)作用及橫向滑移變形。

2.2 縱向廣義位移函數(shù)定義

利用變分原理對(duì)改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行分析，引入廣義縱向位移函數(shù)u(x,y,z)和撓度函數(shù)w(x)。組合箱梁的縱向位移由4種變形組成：①?gòu)澢冃?；②混凝土板和箱梁相?duì)轉(zhuǎn)角φ(x)；③混凝土上翼緣板和鋼下翼緣板剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的截面縱向位移分布差；④上翼緣板與腹板交界面由于剪力連接件剪切變形產(chǎn)生的界面滑移變形。利用位移疊加原理，疊加以上4種位移變形可以得到改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁下翼緣板、上翼緣懸臂板和非懸臂板各處任意一點(diǎn)縱向位移u0(x,y,z)、u1(x,y,z)、u2(x,y,z)的計(jì)算公式，即

(4)

式中：hc、hs分別為上、下翼緣板形心到組合箱梁形心的距離；f0(y,z)、f1(y,z)、f2(y,z)分別為下翼緣板、上翼緣板懸臂板、上翼緣板非懸臂板的剪滯翹曲位移函數(shù)；U(x)為組合箱梁翼緣板最大縱向位移差函數(shù)。

組合箱梁腹板彎曲變形后的轉(zhuǎn)角φ(x)表達(dá)式為

(5)

式中：Gw為波形鋼腹板的有效剪切模量；Aw為波形鋼腹板橫截面面積和。

f(y,z)為組合箱梁剪滯翹曲位移函數(shù)，本文選取精度較高且便于計(jì)算的二次函數(shù)作為組合箱梁的翹曲位移差函數(shù)，其表達(dá)式為

(6)

2.3 組合箱梁的總勢(shì)能方程式建立

下翼緣板、上翼緣懸臂板和非懸臂板正應(yīng)變?chǔ)舃,0、εb,1、εb,2表達(dá)式分別為

f0(y,z)U′(x)

(7)

f1(y,z)U′(x)

(8)

f2(y,z)U′(x)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：v0、v1、v2分別為下翼緣板、上翼緣懸臂板和非懸臂板的橫向變形。

根據(jù)基本假定3，上、下翼緣板應(yīng)變能Vbi表達(dá)式為

(13)

式中：σbi、εbi、τbi、γbi分別為上下翼緣板的正應(yīng)力、正應(yīng)變、剪應(yīng)力、剪應(yīng)變；Gc為混凝土的剪切模量；i=1，2，分別對(duì)應(yīng)上翼緣板、下翼緣板。

(14)

(15)

式中：tw為腹板厚度。

(16)

(17)

式中：M(x)為組合梁彎矩分布。

組合箱梁的總勢(shì)能Π表達(dá)式為

(18)

2.4 控制微分方程求解

根據(jù)變分原理，當(dāng)外力作用在平衡穩(wěn)定的彈性體上時(shí)，真實(shí)位移對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能最小，即δΠ=0(δ表示偏微分，下同)。對(duì)式(18)求變分，可求出微分控制方程(19)～(21)及邊界條件式(22)～(24)。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將公式(19)～(24)化簡(jiǎn)并分離變量，可以得到ξ(x)和U(x)的控制微分方程分別為

ξ(4)(x)+B1ξ″(x)+B2ξ(x)=C1V(x)

(25)

U(4)(x)+B1U″(x)+B2U(x)=C2V(x)

(26)

式中：B1、B2、C1、C2表達(dá)式見文獻(xiàn)[16]。

式(25)、(26)特征方程為

r4+C1r2+C2=0

(27)

式(27)的根為

ξ(x)=D1sh(r1x)+D2ch(r1x)+D3sh(r2x)+

D4ch(r2x)+S(x)*

(28)

U(x)=J1[D1sh(rx)+D2ch(r1x)]+J2[D3sh(r2x)+

(29)

式中：D1～D6、J1～J3表達(dá)式見文獻(xiàn)[21]；S(x)*為與剪力有關(guān)的特解。

S(x)*表達(dá)式為

(30)

3 算例驗(yàn)證

3.1 均布荷載下組合箱梁橋撓度和剪滯系數(shù)公式推導(dǎo)

對(duì)于受均布荷載的組合箱梁，其荷載條件為

(31)

組合箱梁邊界條件為

(32)

將式(20)進(jìn)行兩次積分，聯(lián)立式(5)可得組合箱梁撓度w(x)表達(dá)式為

(33)

根據(jù)式(31)～(33)，求出待定系數(shù)D1～D8后，可得到混凝土翼緣板與鋼箱梁的滑移函數(shù)ξ(x)、翼緣板縱向位移差函數(shù)U(x)表達(dá)式。

由ξ(x)、U(x)和f(y,z)表達(dá)式，可得到考慮界面滑移效應(yīng)及剪滯效應(yīng)的上翼緣板截面正應(yīng)力σu,x及下翼緣板截面正應(yīng)力σl,x表達(dá)式，分別為

f1/2(y,z)U′(x)}

(34)

f0(y,z)U′(x)}

(35)

界面滑移效應(yīng)會(huì)影響上、下翼緣板的正應(yīng)力分布，因此在計(jì)算考慮滑移效應(yīng)的組合箱梁剪滯系數(shù)時(shí)，將翼緣板上求得的考慮剪滯效應(yīng)及滑移效應(yīng)的實(shí)際正應(yīng)力沿翼緣板寬度方向進(jìn)行積分，除以翼緣板寬度作為初等梁的平均正應(yīng)力，得到上、下翼緣板剪滯系數(shù)λupper、λlower的計(jì)算公式，即

(36)

(37)

3.2 均布荷載下組合箱梁的有限元計(jì)算方法

本文算例中的改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁為簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，l=40 m，梁截面各部分的細(xì)部尺寸見圖2。材料參數(shù)取為：Ec=34.5 GPa，Es=206 GPa，泊松比μc=0.2(混凝土)，μs=0.3(鋼材)。剪力連接件為d=20 mm的圓柱頭焊釘，材質(zhì)為4.6級(jí)，焊釘?shù)目估瓘?qiáng)度f=215 MPa，剪切系數(shù)γ=1.67，栓釘縱向間距為100 mm，每排布置2根栓釘，計(jì)算得到單位長(zhǎng)度上剪切抗滑移剛度為2.084 GPa。

建立空間有限元模型，上翼緣板采用實(shí)體單元，下翼緣板與波形腹板采用殼單元，利用彈性連接單元模擬栓釘剪力鍵。均布荷載q=150 kN·m-1，分別施加在腹板位置處的上翼緣板左右兩側(cè)。網(wǎng)格劃分見圖3，計(jì)算點(diǎn)布置見圖2。在有限元模型中，利用印刻功能考慮翼緣和腹板單元耦合來忽略滑移效應(yīng)；滑移效應(yīng)則是在翼緣和腹板單元之間添加彈性連接單元，通過彈性剛度考慮其效應(yīng)的。

圖4對(duì)比了采用理論解和考慮與不考慮滑移的有限元模型計(jì)算的組合箱梁撓度變形曲線。由圖4可知，理論方法計(jì)算的撓度值總體略大于考慮滑移的有限元解，不考慮滑移計(jì)算的撓度最小，說明采用本文理論方法計(jì)算結(jié)構(gòu)撓度時(shí)使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更偏于安全。理論解與考慮滑移的有限元結(jié)果的相對(duì)誤差在支座截面附近較小，在跨中截面處達(dá)到最大，最大相對(duì)誤差為5.42%。

圖5為跨中截面上、下翼緣板正應(yīng)力值的理論解與數(shù)值解(拉為正值，壓為負(fù)值)。由圖5可以看出，上、下翼緣的正應(yīng)力最大值均出現(xiàn)在翼緣板與腹板的交界處。組合箱梁在考慮界面滑移的影響下，跨中截面各計(jì)算點(diǎn)處截面正應(yīng)力理論解與有限元解較為吻合，上、下翼緣處正應(yīng)力相對(duì)誤差均小于5%，驗(yàn)證了本文理論公式的正確性?？紤]界面滑移效應(yīng)后，上翼緣處正應(yīng)力減小，下翼緣板正應(yīng)力增大，與不計(jì)滑移相比，上翼緣正應(yīng)力最大相對(duì)誤差為7.44%，下翼緣正應(yīng)力最大相對(duì)誤差為6.79%。同時(shí)，由圖5看出考慮滑移的有限元計(jì)算結(jié)果均在本文理論解和不考慮滑移的有限元結(jié)果之間，對(duì)比得出本文計(jì)算結(jié)果更偏于保守。

4 參數(shù)分析

根據(jù)第2節(jié)推導(dǎo)的理論公式，波形鋼腹板組合箱梁橋的位移受滑移效應(yīng)影響，位移變化會(huì)引起翼緣板應(yīng)變和應(yīng)力變化，進(jìn)而影響剪滯系數(shù)取值?；菩?yīng)與剪切抗滑移剛度有關(guān)，因此本文基于推導(dǎo)的理論公式，研究剪切抗滑移剛度對(duì)改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁橋撓度、剪滯系數(shù)及上、下翼緣板正應(yīng)力的影響。

保持箱梁材料、截面參數(shù)、荷載形式與第3.2節(jié)一致，改變組合箱梁的剪切抗滑移剛度(分別取0.1k、k、10k，k=2 048 MPa)，分析組合箱梁考慮滑移效應(yīng)后上、下翼緣板的正應(yīng)力、剪滯系數(shù)和箱梁橋撓度變化規(guī)律。

4.1 剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁正應(yīng)力的影響

圖6為剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁翼緣正應(yīng)力影響曲線。由圖6可知，在均布荷載作用下，隨著剪切抗滑移剛度的下降，上翼緣板的正應(yīng)力逐漸減小，下翼緣板的正應(yīng)力逐漸增大，翼緣板正應(yīng)力受滑移效應(yīng)影響而重新分布。當(dāng)剪切抗滑移剛度取k和10k時(shí)，翼緣處最大正應(yīng)力相對(duì)不考慮滑移的理想狀態(tài)相對(duì)誤差均能控制在7%以內(nèi)，當(dāng)剪切抗滑移剛度值取0.1k時(shí)，翼緣處的最大正應(yīng)力相對(duì)不考慮滑移時(shí)的正應(yīng)力相對(duì)誤差可以達(dá)到39.02%和17.81%，說明當(dāng)剪切抗滑移剛度過低時(shí)，組合箱梁整體抗彎剛度下降很大，翼緣處的正應(yīng)力變化顯著。

4.2 剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁剪滯系數(shù)的影響

均布荷載作用下，上、下翼緣板剪滯系數(shù)如圖7所示。結(jié)果表明，不同的剪切抗滑移剛度下翼緣板剪滯系數(shù)沿橫截面的分布形式類似，且均在翼緣板與腹板交界處取得峰值。隨著剪切抗滑移剛度增大，上翼緣峰值剪滯系數(shù)由1.044 3降低至1.037 9，下翼緣峰值剪滯系數(shù)由1.041 2增長(zhǎng)至1.042 7。分析可知，相較于下翼緣，上翼緣剪滯效應(yīng)受剪切抗滑移剛度的影響更加顯著，且剪切抗滑移剛度越小時(shí)，橫截面上正應(yīng)力分布越不均勻?？傮w來看，剪切抗滑移剛度對(duì)改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁的剪滯效應(yīng)影響較小，變化幅度均在1%以內(nèi)，基本可以忽略。

4.3 剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁撓度的影響

圖8、9為取剪切抗滑移剛度ks分別為0.1k、0.5k、k、2k、10k時(shí)計(jì)算出的組合箱梁跨中撓度以及縱向撓度分布。

由圖8、9可知，在考慮界面滑移產(chǎn)生的附加撓度后，組合箱梁的跨中最大撓度相較于無滑移的理想狀態(tài)增長(zhǎng)了8.8%，當(dāng)剪切抗滑移剛度為0.1k時(shí)，組合箱梁跨中的最大撓度增長(zhǎng)了65%。分析可知剪切抗滑移剛度對(duì)波形鋼腹板組合箱梁的撓度有很大影響，當(dāng)剪切抗滑移剛度較小時(shí)，隨著剪切抗滑移剛度的增大組合箱梁撓度顯著減小；當(dāng)具有足夠的剪切抗滑移剛度時(shí)，繼續(xù)增大剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁撓度的影響將十分有限。

5 結(jié)語(yǔ)

(1)基于能量變分法的理論公式與數(shù)值模擬結(jié)果的相對(duì)誤差較小，為改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁的剪滯效應(yīng)及變形分析提供了理論基礎(chǔ)。

(2)隨著剪切抗滑移剛度的降低，上翼緣處正應(yīng)力逐漸減小，下翼緣處的正應(yīng)力逐漸增大，上、下翼緣處正應(yīng)力受滑移效應(yīng)的影響重分布。

(3)剪切抗滑移剛度對(duì)組合箱梁的撓度有較大影響。保證界面連接處足夠的剪切剛度能夠有效控制滑移變形所產(chǎn)生的附加撓度。

(4)均布荷載作用下，剪切抗滑移剛度對(duì)改進(jìn)型波形鋼腹板組合箱梁的剪滯效應(yīng)影響很小，可以忽略。