【摘要】數(shù)學(xué)建模的教育價值已被國際數(shù)學(xué)教育界廣泛認可，各國課程標(biāo)準(zhǔn)都將其列為重要教育目標(biāo)之一.從數(shù)學(xué)建模過程來看，其主要包括在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.只有通過組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模的實踐和活動，使他們親自動手實踐，體驗通過數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實生活的全過程，才能有效地提高他們解決現(xiàn)實問題的能力，增強他們利用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的意識和信念，學(xué)到數(shù)學(xué)建模的方法，從心底里重視數(shù)學(xué)建模、熱愛數(shù)學(xué)建模.

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計模型;數(shù)據(jù)分析;GeoGebra

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)建議，在必修課程部分將6個課時用于數(shù)學(xué)建模教學(xué).數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，主要不是靠知識的灌輸，而是靠深入的感悟與體驗.本文選自《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》數(shù)學(xué)建?；顒又械牡?課時“建立統(tǒng)計模型進行預(yù)測”.教學(xué)內(nèi)容主要是運用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關(guān)系，并進行預(yù)測.

1 教學(xué)內(nèi)容解析

建立一元線性回歸模型的基本原理是成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析，通過對散點圖的直觀觀察，可以大致確定變量間是否存在線性關(guān)系，通過樣本相關(guān)系數(shù)可以分析線性關(guān)系的強弱.在此基礎(chǔ)上建立一元線性回歸模型，用最小二乘法估計線性回歸模型中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程，并利用殘差及利用殘差構(gòu)建的指標(biāo)對模型進行評價和改進，使模型不斷完善.最后根據(jù)模型進行預(yù)測，幫助決策.

“建立統(tǒng)計模型進行預(yù)測”作為一元線性回歸模型的具體應(yīng)用，是學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒拥牧己盟夭模瑢W(xué)生可以利用所學(xué)知識開展數(shù)學(xué)建?；顒?自己動手完成建模活動，有助于學(xué)生理解并感受建模的應(yīng)用性，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題，是建?；顒拥幕A(chǔ)，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的體現(xiàn).數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角對實際問題進行背景分析，將實際問題進行必要的抽象和簡化，抓住問題的主要方面形成數(shù)學(xué)問題.在收集數(shù)據(jù)的同時，促使學(xué)生在接觸數(shù)據(jù)并產(chǎn)生聯(lián)想，在頭腦中行成可比統(tǒng)計化情境，進而提煉出與問題相適應(yīng)的統(tǒng)計問題，在本質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生用統(tǒng)計眼光觀察世界.

教學(xué)重點 （1）運用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關(guān)系，并進行預(yù)測.（2）數(shù)學(xué)建?；顒拥乃膫€關(guān)鍵環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)建模的一般步驟和方法.

突出重點的手段 （1）教師應(yīng)該加強引導(dǎo)學(xué)生通過查閱相關(guān)資料或者請教相關(guān)學(xué)科的專業(yè)人士來獲得與問題背景有關(guān)的知識，分析可能影響PM2.5濃度的因素有哪些，分析各種可能因素是如何影響PM2.5濃度的，以及各種因素之間互相影響的情況，進而區(qū)分哪些是主要因素，哪些是次要因素，在此基礎(chǔ)上再對PM2.5濃度與各種影響因素之間的關(guān)系進行定量刻畫.在考察其他因素對PM2.5濃度的影響，就要以PM2.5濃度為因變量，而自變量則是可能與因變量有關(guān)的那些變量，如汽車流量、氣候狀況等.（2）在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生明晰數(shù)學(xué)建模的一般過程，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.

2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

結(jié)合教學(xué)實際，將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟和過程;（2）利用一元（或多元）線性回歸分析的方法，建立回歸模型，分析PM2.5濃度與汽車流量（或影響PM2.5濃度的其他因素）之間的關(guān)系，并進行預(yù)測;（3）學(xué)會使用簡單的信息技術(shù)工具.

3 學(xué)生學(xué)情分析

在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生通過“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握通過散點圖直觀判斷成對樣本數(shù)據(jù)之間相關(guān)關(guān)系的方法，會用樣本相關(guān)系數(shù)判斷成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)性的強弱，也初步了解了用樣本估計總體的方法，了解了一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘法原理，但學(xué)生還沒有經(jīng)歷獨立建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程，有濃厚的探究興趣，這為本節(jié)課的教學(xué)奠定了很好的探究基礎(chǔ).目前學(xué)生只是經(jīng)過老師的講解，了解數(shù)學(xué)建模的含義，而沒有獨立進行過數(shù)學(xué)模型的建立，對于將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力有所欠缺，沒有掌握數(shù)學(xué)建模的一般過程和方法，對統(tǒng)計軟件的運用略有生疏.

教學(xué)難點：

（1）將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題;

（2）數(shù)學(xué)建模的一般步驟和方法;

（3）使用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)處理.

突破難點的策略 （1）了解與問題有關(guān)的背景知識可以激發(fā)學(xué)生的興趣，進而產(chǎn)生探究問題的動力.本節(jié)課的教學(xué)需要教師加強引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生提出需要研究的具體問題，完成將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程.從背景中提煉統(tǒng)計問題，具體就是要根據(jù)問題背景分析，確定研究的目標(biāo)，并將目標(biāo)的達成分解成若干具體的步驟，在每一個步驟中解決一個具體的問題，讓學(xué)生從具體的問題體會數(shù)學(xué)思維方法.

4 教學(xué)策略分析

4.1 突出數(shù)學(xué)建?；顒拥牟僮餍院瓦^程性

要引導(dǎo)學(xué)生對實際問題進行簡化，抓住問題的主要方面，厘清變量之間的關(guān)系，嘗試用數(shù)學(xué)符號語言表達數(shù)學(xué)規(guī)律，逐步建立較完善的數(shù)學(xué)模型.要積極營造課題研究的氛圍，加強數(shù)學(xué)論文寫作的指導(dǎo)，采取相關(guān)措施促使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建?；顒拥娜^程中，從實際操作中體會數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題的應(yīng)用過程.

4.2 關(guān)注數(shù)學(xué)建?；顒拥淖灾餍院秃献餍?/p>

在數(shù)學(xué)建?；顒咏虒W(xué)過程中，可以采取小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)組織模式，可以將全班同學(xué)分成6至8人的小組，由學(xué)生自行協(xié)商小組組內(nèi)分工.在分組完成后，采取自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，依據(jù)本小組的建模規(guī)劃，開展合作研究，完成建?；顒?

5 教學(xué)過程設(shè)計

5.1 小組分享，背景分析

問題1 請同學(xué)們進行小組分享，討論影響PM.5的濃度的因素有哪些？

預(yù)設(shè) 本節(jié)課開始前，已將學(xué)生進行6到8人分組，同時已布置相關(guān)預(yù)習(xí)作業(yè)，學(xué)生已經(jīng)在課外查閱相關(guān)資料和咨詢有關(guān)專業(yè)人士，了解到相關(guān)背景知識.

師生活動 “背景分析”，影響PM2.5濃度的因素有哪些，學(xué)生通過分享可以得到汽車流量、氣候狀況、工業(yè)企業(yè)排放等影響因素;

設(shè)計意圖 通過分享與課題有關(guān)的背景知識，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，同時明確數(shù)學(xué)建模的第一步即為背景分析.

問題2 影響PM2.5濃度的因素有很多，有哪些是主要因素，有哪些次要因素呢，我們能不能針對汽車流量這個因素進行定量分析呢？

預(yù)設(shè) 同學(xué)們經(jīng)過小組分享，可以得出汽車流量是影響PM2.5的主要因素.

5.2 分析問題，構(gòu)建模型

問題3 如果我們想對汽車流量如何影響PM2.5濃度進行探究，我們應(yīng)該怎么去完成探究呢.

請同學(xué)們思考一下問題： PM2.5濃度與汽車流量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系？如何來推斷？

預(yù)設(shè) 同時學(xué)生通過成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性的學(xué)習(xí)，具有判斷變量之間是否存在線性關(guān)系的基礎(chǔ).學(xué)生通過繪制散點，可以猜想到汽車流量與PM2.5的濃度之間存在線性相關(guān)關(guān)系.

師生活動 教師利用Geogebra軟件以汽車流量為自變量，以PM2.5濃度為因變量，繪制樣本數(shù)據(jù)的散點圖進行演示.

設(shè)計意圖 通過繪制散點圖，讓學(xué)生對汽車流量與PM2.5的濃度之間是否存在線性關(guān)系進行猜想.同時體會到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模活動中的重要作用.

問題4 如果PM2.5濃度與汽車流量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，如何建立線性回歸方程來刻畫這種關(guān)系？

預(yù)設(shè) 學(xué)生通過對一元線性回歸模型的學(xué)習(xí)，可以知道一元線性回歸模型建立的基礎(chǔ)是利用樣本相關(guān)系數(shù)來刻畫兩個變量線性相關(guān)的程度.學(xué)生在猜想到使用線性回歸數(shù)學(xué)模型以后，需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行數(shù)學(xué)模型的參數(shù)求解.由于在一元線性回歸模型的參數(shù)求解過程中計算比較復(fù)雜，學(xué)生將會提出能否使用統(tǒng)計軟件Geogebra進行參數(shù)的求解.

師生活動 與畫散點圖步驟相同，要求學(xué)生獨立進行數(shù)據(jù)輸入，教師進行一元線性回歸方程的建立的演示.具體步驟如下：

（1）打開GeoGebra，選擇視圖菜單中的表格區(qū)，在A列輸入自變量汽車流量的數(shù)據(jù)，在B列輸入對應(yīng)的PM2.5濃度的數(shù)據(jù).

（2）在表格區(qū)按shift鍵，分別點擊A，B兩列的表頭，選中兩列數(shù)據(jù)后，選擇操作菜單中的“雙變量回歸分析”，點擊分析后，得到成對數(shù)據(jù)散點圖，在回歸模型中選擇“線性”得到線性回歸方程.同時可以在菜單選項中查找精確度選項，來調(diào)整回歸方程系數(shù)的精確度.

設(shè)計意圖 中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力有限，由教師進行演示建模過程，可以讓學(xué)生熟悉建模的一般步驟和流程.同時經(jīng)過實際動手操作，可以發(fā)現(xiàn)使用信息技術(shù)進行數(shù)學(xué)模型的求解的方便之處.

問題5 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你是否對建立數(shù)學(xué)模型流程有所了解？

師生活動 學(xué)生思考、交流.教師引導(dǎo)學(xué)生指出本節(jié)課堂所經(jīng)歷的建模過程.

設(shè)計意圖 通過本環(huán)節(jié)，學(xué)生交流建模的過程和方法，對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有全面、系統(tǒng)的認識，深化學(xué)生對函數(shù)知識的掌握程度，總結(jié)研究方法，積累研究數(shù)學(xué)問題的方法和過程性經(jīng)驗.

6 目標(biāo)檢測設(shè)計

利用本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進行平均氣溫如何影響PM2.5濃度的定量研究.

設(shè)計意圖 利用與課堂探究的例題屬于同類型的問題，讓學(xué)生重溫建立一元線性回歸模型的過程，檢測學(xué)生“學(xué)會用數(shù)學(xué)建模的思想解決實際生活中的問題”這一目標(biāo)的達成情況.

7 課例設(shè)計反思

7.1 背景引入

本節(jié)課利用學(xué)生學(xué)過的成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性和一元線性回歸模型作為基礎(chǔ)，以實際生活中的問題作為素材.PM2.5濃度是與我們生活息息相關(guān)的環(huán)境問題，容易引起學(xué)生的探究興趣.同時，與PM2.5濃度有關(guān)的相關(guān)因素的背景資料易于獲得，使學(xué)生可以從數(shù)學(xué)的視角對實際情境進行背景分析，對實際情景進行必要的抽象和簡化形成統(tǒng)計問題，促使學(xué)生在接觸數(shù)據(jù)的同時產(chǎn)生聯(lián)想，在頭腦中形成問題的可比統(tǒng)計化情境，進而將實際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

7.2 背景生成

教學(xué)是不斷發(fā)展的過程，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決實際生活當(dāng)中的問題，通過設(shè)置處于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的實際問題，有利于激發(fā)學(xué)生的探究熱情和興趣，同時通過小組合作、教師引導(dǎo)、自主探究，使學(xué)生可以解決相關(guān)實際問題.

在教學(xué)中明確要求學(xué)生結(jié)合建立數(shù)學(xué)模型的過程中學(xué)會使用統(tǒng)計軟件，有助于推廣信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的應(yīng)用，這是綜合提高學(xué)生能力的體現(xiàn).

7.3 背景創(chuàng)新

本節(jié)課的教學(xué)是教師在學(xué)生學(xué)習(xí)“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”和“一元線性回歸模型”后的實際應(yīng)用.在教學(xué)過程中，教師不再是課堂的權(quán)威，而是學(xué)生小組合作探究的組織者和幫助者，充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用的同時，培養(yǎng)學(xué)生小組合作探究的能力，讓學(xué)生成為課堂的主人.

最后，在本節(jié)課的課堂教學(xué)過程中，教師通過教學(xué)演示推廣了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，提高學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代化的能力，在充分了解數(shù)學(xué)建模的同時，意識到統(tǒng)計軟件在數(shù)學(xué)建模的重要性，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn).

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