王 維，劉向民，唐翰昭

(石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

一般而言，可通過(guò)解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法這兩種方法求解初相位.解析法是學(xué)生在中學(xué)階段就較為熟悉的方法，即通過(guò)初位置(x0=Acosφ0)和初速度(v0=-Aωsinφ0)2個(gè)方程聯(lián)立求解，得到tanφ0=-v0/ωx0，由此在區(qū)間(0, 2p)或(-π, π)內(nèi)可得到2個(gè)解.然而一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)只可能有一個(gè)初相位.這時(shí)關(guān)于兩個(gè)解的取舍問(wèn)題，同學(xué)們?nèi)菀着袛噱e(cuò)誤.還需把兩個(gè)解帶入sinφ0=-v0/wA加以驗(yàn)證，從而確定正確且唯一的解.因此，雖然可以利用解析法來(lái)求解初相位，但是計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò).教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生使用旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)求初相位，其本質(zhì)是將簡(jiǎn)諧振動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)在水平方向的投影，從而避免雙值選擇的難題，該方法能夠直觀、形象地反映簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程，極大地減小了計(jì)算量且簡(jiǎn)單易懂.

在利用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相位時(shí)，需要知道振動(dòng)速度的方向.對(duì)于已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線求振動(dòng)方程和已知給定時(shí)刻的波形圖求波動(dòng)方程這兩類典型問(wèn)題，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)同學(xué)們不會(huì)根據(jù)已知圖像判斷振動(dòng)的方向.這是由于學(xué)生沒(méi)有深刻地理解振動(dòng)過(guò)程與波動(dòng)過(guò)程的本質(zhì)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)的位移、相位變化、振動(dòng)方向和質(zhì)元間的相位關(guān)系只是一知半解，從而不能順利而正確地判斷振動(dòng)方向.在教學(xué)過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)同學(xué)們經(jīng)?；煜駝?dòng)速度的判斷方式，學(xué)生們?cè)诟咧袝r(shí)學(xué)習(xí)了各種各樣的根據(jù)波形圖來(lái)判斷振動(dòng)方向的方法或者口訣，例如：帶動(dòng)法、上下坡法、微平移法、刮風(fēng)法、逆復(fù)描法[2]、能量分析法、等值線法[3]、倒三角法[4]、斜率法[5]、右手食指法[6]等，然而隨著時(shí)間的推移，學(xué)生們并不理解甚至記反了相應(yīng)的方法或者口訣.因此，根據(jù)已知的振動(dòng)曲線或者波形圖分別提出一種較為直觀且易懂的判斷質(zhì)點(diǎn)或者質(zhì)元振動(dòng)方向的方法至關(guān)重要.本文試圖通過(guò)2個(gè)例題展示振動(dòng)曲線和波形圖中振動(dòng)速度方向的不同判斷方法，基于旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程和平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程，方便學(xué)生日后學(xué)習(xí).

1 方法介紹

1.1 旋轉(zhuǎn)矢量法介紹

旋轉(zhuǎn)矢量法是將周期性的簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)聯(lián)合到一起，能夠簡(jiǎn)單、有效地避免多值選擇的困難.如圖1所示，一固定長(zhǎng)度為A的矢量OM繞O點(diǎn)(x軸的坐標(biāo)原點(diǎn))以角速度w逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其矢端在Ox軸上的投影點(diǎn)將以O(shè)為平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng).旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度、角速度和初角位置與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的3個(gè)特征量(振幅、角頻率和初相位)一一對(duì)應(yīng)，如表1所示，用x表示矢量在x軸上的投影，則有：x=Acos(wt+φ0)，這正是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程，可見(jiàn)任意時(shí)刻的相位wt+φ0確定了此時(shí)投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[7].在簡(jiǎn)諧振動(dòng)和波動(dòng)研究中，準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)矢量法的內(nèi)涵，用該方法求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程、振動(dòng)時(shí)間、相位差、振動(dòng)合成、波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧波的疊加等問(wèn)題，相較于需要大量計(jì)算的解析法可提高準(zhǔn)確度和求解速度[8].

表1 旋轉(zhuǎn)矢量與簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)關(guān)系表

值得注意的是，要求得初相位需要明確簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初位置在圓周上的對(duì)應(yīng)位置，這需要同時(shí)確定其位移的大小及初速度的方向.由圖1可知，矢量的矢端速度和加速度在x軸上的投影對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度.因?yàn)槭噶孔瞿鏁r(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，所以圖1中圓上某點(diǎn)繞逆時(shí)針的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)的速度方向，從圖 1可以看到，上半圓圓周上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度為負(fù)，下半圓圓周上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度為正[9-10].由此可見(jiàn)，正確判斷振動(dòng)速度的方向，是得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位的關(guān)鍵.

圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖

1.2 振動(dòng)方向判斷法

無(wú)論是求振動(dòng)方程還是波動(dòng)方程，都需要使用旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)確定初相位，需要同時(shí)確定初位置的位移大小及速度方向.一般來(lái)說(shuō)，位移大小可以直接從圖上讀出來(lái)，速度的方向如何判定影響著初相位的判斷.已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線，可以采用斜率法，任一點(diǎn)速度的正負(fù)取決于此處切線斜率的正負(fù).已知給定時(shí)刻的波形圖，可以采用平移法，首先需要看是否是t=0時(shí)刻的波形圖，如果不是，需要進(jìn)行平移得到t=0時(shí)刻的波形圖，再沿波的傳播方向?qū)⒉ㄐ?t=0)平移一個(gè)微小的距離Δx.若質(zhì)元的位置在上面，則質(zhì)元此刻振動(dòng)方向朝上；若質(zhì)元的位置在下面，則質(zhì)元此刻振動(dòng)方向朝下.由此可見(jiàn)，對(duì)于振動(dòng)曲線和波形圖，判斷振動(dòng)速度方向的方式完全不同，這也是同學(xué)們掌握的薄弱環(huán)節(jié).

2 求解方程的基本步驟

2.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程

(1)根據(jù)題中文字描述或者圖像得到振幅A，或者周期T，根據(jù)T=2π/w得到圓頻率w;

(2)根據(jù)x點(diǎn)(t=0)的位移在旋轉(zhuǎn)矢量圖中做垂直于x軸的虛線，與圓周相交于一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；

造模第12周時(shí)，光鏡下，A組大鼠肝組織結(jié)構(gòu)呈均質(zhì)狀，肝小葉、門(mén)管區(qū)等結(jié)構(gòu)清晰;D組大鼠肝臟切片見(jiàn)肝小葉結(jié)構(gòu)破壞，代之以許多大小不等的肝細(xì)胞團(tuán)，由致密的纖維組織包繞，分割成大小不等的島嶼狀，形成假小葉，假小葉中央部位的肝細(xì)胞出現(xiàn)萎縮、壞死;肝細(xì)胞索排列紊亂，肝細(xì)胞腫脹，核染色較深;可見(jiàn)淋巴細(xì)胞及少數(shù)中性粒細(xì)胞等炎性細(xì)胞浸潤(rùn);B組經(jīng)復(fù)方鱉甲軟肝片治療后，上述癥狀均逐漸好轉(zhuǎn)，治療6周后B組趨于正常。C組大鼠肝組織結(jié)構(gòu)接近于A組。見(jiàn)圖1。

(3)判斷x點(diǎn)的振動(dòng)速度方向，并確定唯一正確的交點(diǎn)，得到x點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正確位置，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量，得到其初相位φ0;

(4)如果w和T未知，也可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖和wΔt=Δφ或者φ=wt+φ0求得w；

(5)得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程.

2.2 平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程

機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波，如果波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣的波叫做簡(jiǎn)諧波.在波的傳播過(guò)程中，描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的方程稱為波動(dòng)方程，其表達(dá)式為

y(x)=Acos[w(t?x/u)+φ0]，

其中,波動(dòng)沿x軸正方向傳播取負(fù)號(hào)，沿x軸負(fù)方向傳播取正號(hào)[11-12].

求解波動(dòng)方程的基本步驟如下：①判斷簡(jiǎn)諧波的傳播方向;②基于旋轉(zhuǎn)矢量法求解坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程;③根據(jù)λ=uT，T=2π/w得到波速u或者λ;④得到波動(dòng)方程.

3 實(shí)例講解

下面借助2個(gè)例題來(lái)闡述如何確定振動(dòng)方向以及如何求解振動(dòng)方程和波動(dòng)方程.

3.1 已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線判斷振動(dòng)方向，并求解振動(dòng)方程

題目：一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖2所示，求振動(dòng)方程[13].

圖2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線

思考過(guò)程：由于t=0時(shí)，x=-5處切線斜率為負(fù)，可知其振動(dòng)方向沿著x軸負(fù)方向.由t=2時(shí)，x=0處切線斜率為正，可知其振動(dòng)方向沿著x軸正方向.

求解過(guò)程：設(shè)振動(dòng)方程為x=Acos(ωt+φ0)，由圖可知A=10 cm，

由t=0時(shí)，x=-5，且振動(dòng)方向沿著x軸負(fù)方向，作旋轉(zhuǎn)矢量圖(圖3)，可得初相位φ0=2π/3；

由t=2時(shí)，x=0，且振動(dòng)方向沿著x軸正方向，作旋轉(zhuǎn)矢量圖(圖3)，可得t=0到t=2秒間隔內(nèi)的相位差Δφ=ωΔt=5π/6，可得ω=5π/12；

圖3 不同時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖

3.2 已知給定時(shí)刻的波形圖判斷振動(dòng)方向，并求解波動(dòng)方程

題目：如圖4所示一平面余弦波在t=0時(shí)刻與t=2s(小于周期T)時(shí)刻的波形圖，求該波的波動(dòng)方程[13].

圖4 不同時(shí)刻的波形圖

求解過(guò)程：根據(jù)t=0時(shí)的波形圖及波的傳播方向可知，t=0 時(shí)，原點(diǎn)在平衡位置，且振動(dòng)方向朝著正方向，作原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量圖(圖5)，可得初位相φ0=-π/2；

圖5 原點(diǎn)在不同時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖

由φ=ωt+φ0，Δφ=φ-φ0=ωt可得：ω·2=π/4，ω=π/8;

由題中圖4知λ=160 m，波動(dòng)方程為

4 結(jié) 論

綜上所述，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是“振動(dòng)和波動(dòng)”教學(xué)中的重點(diǎn)與基礎(chǔ)，基于旋轉(zhuǎn)矢量法求解振動(dòng)方程更是本章教學(xué)的重點(diǎn).本文通過(guò)將旋轉(zhuǎn)矢量與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系繪制成表格，令學(xué)生更易理解.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程借助于旋轉(zhuǎn)矢量法的形象化描述，可將各物理量的關(guān)系更清楚、具體、直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，將繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算，使有關(guān)問(wèn)題的求解變得特別簡(jiǎn)單、方便，具有化難為易、事半功倍的優(yōu)點(diǎn).教學(xué)中，要令學(xué)生加強(qiáng)旋轉(zhuǎn)矢量法的做題訓(xùn)練，從而學(xué)生求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題就變得相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律也可以得到更好地掌握，實(shí)現(xiàn)良好的教學(xué)效果.

在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位時(shí)需要同時(shí)確定其位移的大小及初速度的方向.從學(xué)生的學(xué)習(xí)情況分析，根據(jù)振動(dòng)曲線或波形圖判斷振動(dòng)方向，學(xué)生們掌握的并不好，而振動(dòng)方向的判斷決定了相位的選取.結(jié)合振動(dòng)和波動(dòng)教學(xué)中多采用多媒體進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示，列舉的振動(dòng)方向判斷方法具有形象、直觀、易懂、易記的優(yōu)點(diǎn).本文介紹了求解振動(dòng)方程和波動(dòng)方程的基本步驟，并且結(jié)合例題對(duì)旋轉(zhuǎn)矢量法和振動(dòng)方向的判斷進(jìn)行了實(shí)例應(yīng)用，希望能為大學(xué)物理教學(xué)提供參考.