高 振

山東省平邑縣教育和體育局教研室，山東 臨沂 273300

根據(jù)非靜電力的起源，電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可分為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)。由洛倫茲力作為非靜電力產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)叫動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；由感生電場(chǎng)力作為非靜電力產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)叫感生電動(dòng)勢(shì)。在求解磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電流的功率問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)分不同參考系中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的本質(zhì)（非靜電力的起源）及其方向，才能正確地等效電路、計(jì)算感應(yīng)電流的功率。

1 一道高考題引發(fā)的問(wèn)題

原題 （2017年江蘇高考第13題）[1]如圖1所示，兩條相距d的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，其右端接一阻值為R的電阻。質(zhì)量為m的金屬桿靜置在導(dǎo)軌上，其左側(cè)的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域MNPQ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下。當(dāng)該磁場(chǎng)區(qū)域以速度v0勻速地向右掃過(guò)金屬桿后，金屬桿的速度變?yōu)関。導(dǎo)軌和金屬桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌光滑且足夠長(zhǎng)，桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸。求：

圖1 原題圖

（1）MN剛掃過(guò)金屬桿時(shí)，桿中感應(yīng)電流的大小 I；

（2）MN剛掃過(guò)金屬桿時(shí)，桿的加速度大小a；

（3）PQ剛要離開(kāi)金屬桿時(shí)，感應(yīng)電流的功率P。

該題前兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單，在此不作討論。

引發(fā)的問(wèn)題：由于磁場(chǎng)區(qū)域和金屬桿運(yùn)動(dòng)的速度選擇的是地面參考系，但第（3）問(wèn)感應(yīng)電流的功率沒(méi)有明確要求在哪個(gè)參考系計(jì)算，難道感應(yīng)電流的功率與參考系無(wú)關(guān)嗎？

2 引發(fā)問(wèn)題的主流觀點(diǎn)

在幾個(gè)全國(guó)物理教師QQ大群（有些群人數(shù)高達(dá)數(shù)千人）討論上述“引發(fā)的問(wèn)題”時(shí)，群里面教師的主流觀點(diǎn)如下：

由于金屬桿所在處磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變，觀察者無(wú)論是以地面為參考系，還是以產(chǎn)生磁場(chǎng)的“磁源”（磁體或載流線圈）為參考系，在PQ剛要離開(kāi)金屬桿的極短時(shí)間Δt內(nèi)，穿過(guò)該回路的磁通量的有效面積減小均為ΔS=d（v0-v）Δt，由法拉第電磁感應(yīng)定律得回路總電動(dòng)勢(shì)大小為

從（1）式的得出過(guò)程中可以看出，回路總電動(dòng)勢(shì)與所選慣性參考系無(wú)關(guān)。

而感應(yīng)電流的功率

由（1）（2）式得感應(yīng)電流的功率

（3）式與高考參考答案的結(jié)果一致。

因此，QQ群中主流觀點(diǎn)認(rèn)為，感應(yīng)電流的功率與所選的慣性參考系無(wú)關(guān)。

筆者查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[1]的觀點(diǎn)和所求結(jié)果與（3）式明顯不同，而文獻(xiàn)[2]和[3]的觀點(diǎn)和所求結(jié)果以及高考參考答案均與（3）式相同。究竟誰(shuí)是誰(shuí)非呢？

3 不同慣性參考系中的定量分析和計(jì)算

3.1 在地面參考系中等效電路，計(jì)算感應(yīng)電流的功率

第（3）問(wèn)沒(méi)有明確指出參考系，一般默認(rèn)是地面參考系。地面系中的觀察者看到的不是靜磁場(chǎng)，而是磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)（本質(zhì)是產(chǎn)生磁場(chǎng)的源磁體或載流線圈的運(yùn)動(dòng)）產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，既有磁場(chǎng)又有感生電場(chǎng)。根據(jù)電動(dòng)力學(xué)中不同參考系的電磁場(chǎng)變換公式，可以得到地面參考系中的磁場(chǎng)和感生電場(chǎng)。

以產(chǎn)生磁場(chǎng)的“源”磁體或載流線圈為參考系，由于磁源系相對(duì)于地面系（靜系）的運(yùn)動(dòng)速度v0遠(yuǎn)小于真空中的光速c，忽略洛倫茲膨脹因子，可得地面系（加撇的量）和磁源系（不加撇的量）的電磁場(chǎng)變換公式[4]：根據(jù)題目條件，磁源系中只有磁場(chǎng)，而電場(chǎng)=0，可知地面系中既存在沿金屬桿向下的感生電場(chǎng)E'=v0B，又存在垂直于導(dǎo)軌平面向下的磁場(chǎng)B'=B。因此，桿中的自由電子受到的非靜電力是沿桿向上的感生電場(chǎng)力（大小為F非1=eE'=ev0B）和沿桿向下的洛倫茲力（分力，大小為F非2=f洛=evB）的矢量和，由電動(dòng)勢(shì)定義得回路總電動(dòng)勢(shì)

從非靜電力的起源看，地面系中回路總電動(dòng)勢(shì)（4）式由兩部分組成：一部分是桿中自由電子受沿桿向上的感生電場(chǎng)力eE'，產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)E1=Bdv0，其方向在圖1中沿金屬桿向下（與回路電流方向一致，金屬桿扮演著“發(fā)電機(jī)”的角色）；另一部分是桿中自由電子受沿桿向下的洛倫茲力（分力）evB，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E2=Bdv，其方向在圖1中沿棒向上（與回路電流方向相反，是反電動(dòng)勢(shì)，金屬桿扮演著“電動(dòng)機(jī)”的角色）。因此，回路等效電路如圖2所示。

圖2 地面系的等效電路

顯然，地面系中該題呈現(xiàn)的物理情境的本質(zhì)就是一個(gè)電磁驅(qū)動(dòng)[5]問(wèn)題，金屬桿同時(shí)扮演著“發(fā)電機(jī)”和“電動(dòng)機(jī)”的雙重角色。從電路角度看，回路等效電路圖2是含有反電勢(shì)的非純電阻電路。所以，從地面系中觀測(cè)到的能量轉(zhuǎn)化是：感生電動(dòng)勢(shì)E1=Bdv0提供電能，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)（反電動(dòng)勢(shì)）E2=Bdv和電阻R都消耗電能，則地面系中感應(yīng)電流的功率

而回路中的感應(yīng)電流

由（4）—（6）式得，地面系中感應(yīng)電流的功率

（7）式與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果一致，顯然文獻(xiàn)[1]是在地面參考系中計(jì)算的感應(yīng)電流的功率。

3.2 在磁源參考系中等效電路，計(jì)算感應(yīng)電流的功率

在磁源系中觀測(cè)到的僅是靜磁場(chǎng)B，圖1中金屬桿在磁源系中以速度（v0-v）向左運(yùn)動(dòng)，桿中隨桿向左運(yùn)動(dòng)的自由電子受到沿桿向上的洛倫茲力（分力）f洛=eB（v0-v）是產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力。因此，電路中只存在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由電動(dòng)勢(shì)定義得回路總電動(dòng)勢(shì)

由于磁源系中觀察者僅觀測(cè)到一個(gè)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，觀察者認(rèn)為金屬桿只是提供電能的發(fā)電機(jī)，等效電路如圖3所示，是一個(gè)純電阻電路。顯然，兩個(gè)參考系中回路的等效電路明顯不同（圖2、圖3）。

圖3 磁源系中的等效電路

由圖3和（8）式易得，磁源系中感應(yīng)電流的功率

可見(jiàn)，QQ群中主流觀點(diǎn)的（3）式、高考參考答案以及文獻(xiàn)[2]和[3]的結(jié)果，均與磁源參考系中的（9）式一致。

對(duì)比（7）式和（9）式可知，地面參考系和磁源參考系中感應(yīng)電流的功率不同。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電流的功率問(wèn)題，在地面參考系和磁源參考系中做了深入的對(duì)比分析和計(jì)算，指出了兩個(gè)參考系中感應(yīng)電流的功率不同的物理根源。

由于高考題目條件中沒(méi)有明確指出在哪個(gè)參考系中計(jì)算感應(yīng)電流的功率，一般默認(rèn)是在地面為參考系中的功率，因此第（3）問(wèn)感應(yīng)電流的功率應(yīng)該是文獻(xiàn)[1]指出的地面參考系中計(jì)算的。而高考參考答案和文獻(xiàn)[2]和[3]中的感應(yīng)電流的功率，也是沒(méi)有錯(cuò)誤的，只要指出這是磁源參考系中感應(yīng)電流的功率即可。