百文萌，王勁松，2，高慧杰

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；2.長春理工大學 中山研究院，中山 528437）

主動噪聲控制（ANC）是一種利用聲波相消干涉原理，人為地產(chǎn)生與噪聲同頻、等幅、反相的“抗噪聲”達到降噪的新技術(shù)[1]。在整個ANC系統(tǒng)中，自適應(yīng)控制算法可以稱之為其核心部分[2-3]，其中以計算量小和容易實現(xiàn)為優(yōu)點的濾波-x最小均方（FxLMS）算法在主動降噪中廣泛應(yīng)用[4]。在FxLMS中，一個不可忽視的存在即為步長因子，因為它既是決定算法能否收斂的關(guān)鍵因素，也是判斷收斂速率和穩(wěn)態(tài)誤差大小的重要因素。所以，對于FxLMS算法的改進始終是個熱門課題。改進的主要目的是在算法收斂的情況下，提高算法迭代過程的收斂速率、降低穩(wěn)態(tài)誤差以及有利于算法的硬件實現(xiàn)。目前比較經(jīng)典的改進算法有歸一化LMS算法、泄露FxLMS算法等。其中，雖然歸一化LMS算法的收斂速率確有改善，但是在算法穩(wěn)定后，步長因子不能達到一個較小的值，致使穩(wěn)態(tài)誤差較大；泄露FxLMS算法是加入泄露因子可以約束次級信號，降低FxLMS算法不穩(wěn)定的機會，但是收斂速度沒有得到明顯的改善。

針對上述步長調(diào)整原則和變步長算法的優(yōu)缺點，提出一種泄露變步長的FxLMS算法來克服傳統(tǒng)固定步長的缺點，提高算法的穩(wěn)定性。本文將對FxLMS算法和改進后的算法分別進行仿真分析，并最終將其運用在雙通道主動噪聲控制的結(jié)構(gòu)中，以提高降噪效果。

1 噪聲主動控制算法的基本原理

FxLMS算法是在最小均方（LMS）算法的基礎(chǔ)上考慮到了次級路徑存在的影響，由Morgan、Widrow和Burgess獨立推導得到[5-6]。前饋單通道FxLMS算法如圖1所示，x(n)為輸入的初始信號，d(n)為初始信號通過初級傳遞函數(shù)P(z)到達誤差傳感器附近的期望信號，e(n)為誤差傳感器接收到的誤差信號，W(z)代表自適應(yīng)濾波器。r(n)是x(n)經(jīng)過次級路徑傳遞函數(shù)估計S?(z)后的濾波信號，將r(n)和e(n)共同作為控制器W(z)的另一個輸入信號，通過算法處理后獲得的控制器輸出信號y(n)再通過次級路徑傳遞函數(shù)S(z)可在誤差傳感器附近得到一個與期望信號相抵消的控制信號yp(n)，從而達到降噪的目的。

圖1 基于FxLMS算法的ANC系統(tǒng)框圖

設(shè)濾波器的長度為L，其算法具體如下：

（1）某一時間初始信號的輸入為：

（2）x(n)經(jīng)過W(z)后的信號y(n)為：

（3）y(n)經(jīng)過次級路徑后輸出的控制信號yp(n)為：

（4）x(n)經(jīng)過后輸出的濾波信號為：

（5）誤差傳感器處的誤差信號為：

（6）通過迭代求取新的濾波器抽頭系數(shù)：

式中，步長μ為一個固定值，取值需滿足：

式中，λmax是初始信號向量自相關(guān)矩陣的最大特征值。

由上述的公式可知算法的收斂系數(shù)μ是一個固定的值，其取值的大小影響著算法收斂速度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。經(jīng)過仿真分析可得，步長取值較大時，可使算法較快收斂，但同時會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，嚴重時會導致算法發(fā)散，步長取值較小時，可使算法的穩(wěn)態(tài)誤差較小，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性更好，但是算法達到穩(wěn)定時所需的時間較長。

2 改進的FxLMS算法

分析可知，步長是一個至關(guān)重要的存在，為了更好地兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這兩個關(guān)鍵因素，人們提出了變步長的改進思路[7]，即：在算法初期，為了保證有較高的收斂速率，應(yīng)使步長因子的值處于一個較大的值，在算法末期，為了保證有較低的穩(wěn)態(tài)誤差，則此時對應(yīng)的步長因子的值也應(yīng)該較小。在上述的步長設(shè)計思路下，考慮到權(quán)系數(shù)更新過程中由實際次級路徑下的數(shù)模轉(zhuǎn)換過程產(chǎn)生的量化誤差給系統(tǒng)帶來的泄露影響[8]，進而提出一種泄露變步長FxLMS算法。

2.1 歸一化FxLMS算法

由前文可知，F(xiàn)xLMS算法的權(quán)矢量迭代公式為：

根據(jù)歸一化FxLMS算法可得步長因子公式為：

則權(quán)系數(shù)更新公式改寫成：

則更為可靠的實現(xiàn)方式[9]為：

式中，μ0和ε均為正常數(shù)。當歐式范數(shù)平方‖r(n)‖2出現(xiàn)較小值時，易引起步長過大，從而導致算法發(fā)散，常數(shù)ε的存在則避免了此類情況的出現(xiàn)。對于存在的常數(shù)μ0，可以看作為步長參數(shù)，用來控制調(diào)節(jié)算法的收斂速率和失調(diào)量，當μ0=1和ε=0時，此時的遞推方程式（11）即為式（10）。

2.2 改進的FxLMS算法

由式（11）可得步長因子與輸入的初始信號的自相關(guān)矩陣有關(guān)。對算法的分析可知，此歸一化FxLMS算法的步長因子雖在自適應(yīng)過程初始階段有變化，但在自適應(yīng)過程趨于穩(wěn)定之后其步長不能達到一個小的值，則穩(wěn)態(tài)誤差會增大。在此基礎(chǔ)上改變步長，可用步長因子除以誤差向量的歐式平方范數(shù)，使步長在自適應(yīng)過程初始階段有一個較大的值，且伴隨著迭代過程的進行，步長也將逐步降低，并最終穩(wěn)定在一個較小的值，即降低穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)更加穩(wěn)定。有：

式中，誤差向量e(n)的歐式平方范數(shù)可以寫為，隨著采樣次數(shù)的增加可知，步長μ(n)既和當前的誤差量e(n)有關(guān)，又和誤差向量迭代過程的前n步有關(guān)，因此，迭代步長是平滑下降的一個函數(shù)[10]，確保了步長在自適應(yīng)過程的初期值較大，末期值較小，可以有效地降低穩(wěn)態(tài)誤差。另外，固定參數(shù)a的選取影響著μ(n)的變化，受初始信號的影響，參數(shù)值不容易確定。由于此算法中μ(n)的值只能是不斷地下降，所以在應(yīng)對非平穩(wěn)隨機過程系統(tǒng)中的跟蹤能力較弱[11]。為此，可引入對數(shù)函數(shù)對其進行改進，使得μ(n)的值在一定的范圍內(nèi)不斷地進行調(diào)整，有：

其中，γ的數(shù)值影響步長函數(shù)μ(n)的陡峭化程度，γ的值越大，其整體的變化率就越快，α和β的值確定了μ(n)的變化范圍。這里的e(n)2代表第n次迭代中瞬時誤差量的平方值，對比上式e(n)的歐式平方范數(shù)而言，運算量大幅度降低，只需要一個標量的平方運算，更易于硬件的實現(xiàn)，并且由于μ(n)僅與當前誤差向量e(n)有關(guān)，不是單純地不斷下降，而是根據(jù)當前的誤差在范圍內(nèi)不斷地調(diào)整，提高了算法的實時性，使算法也適合于非平穩(wěn)過程。

此時的權(quán)系數(shù)更新公式為：

本文提出的泄露變步長FxLMS是在式（14）的基礎(chǔ)上，考慮了實際數(shù)模轉(zhuǎn)換過程中量化誤差帶來的泄露影響，可將上式的權(quán)值更新公式改寫為：

式中，η是泄露系數(shù)，是小于且接近1的一個常數(shù)。

2.3 次級通道辨識

由前面的分析可知，在更新濾波器抽頭系數(shù)的迭代公式中含有濾波-x信號矢量r(n)，r(n)是x(n)通過傳遞函數(shù)估計模型求得。對次級路徑建模，如圖2所示，選擇LMS算法模塊，獲得傳遞函數(shù)估計模型的值。

圖2 次級通道建模原理圖

次級路徑建模的步驟如下：

（2）使用誤差傳感器接收由揚聲器產(chǎn)生的對消信號y(n)：

（4）計算路徑的實際模型和估計模型之間的輸出差值：

（6）重復以上迭代過程，利用誤差信號e(n)不斷調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)，直至達到設(shè)定要求為止，同時將得到的的系數(shù)值存儲起來，方便后續(xù)Fx-LMS算法使用。

現(xiàn)根據(jù)圖2所示的過程進行次級路徑建模仿真，為了驗證結(jié)果的有效性，設(shè)傳遞函數(shù)[12]為：

通過對其進行建模分析，取μ=0.01作為建模過程中LMS算法的步長因子的值，仿真的結(jié)果如圖3所示，從圖3（a）中可看出，識別誤差從采樣點數(shù)100往后接近于零，系統(tǒng)也趨于收斂。即建模仿真實驗對次級路徑的識別效果是穩(wěn)定的。另外，通過仿真建模實驗得到的實際路徑和估計路徑的濾波器權(quán)值也非常接近，仿真結(jié)果表明實驗有良好的估計值，辨識結(jié)果準確。

圖3 次級通道傳遞函數(shù)建模仿真實驗

2.4 改進FxLMS算法的仿真分析

仿真中，將傳統(tǒng)的FxLMS算法和本文的改進FxLMS算法進行比較，由于單一的頻率信號在實際應(yīng)用中很少存在，而更常見的是帶有一定帶寬的噪聲信號，因此本文的仿真實驗中采用的是混合信號，將x(t)=s(t)+v(t)作為輸入信號，其中v(t)是信噪比SNR=7的隨機白噪聲，s(t)是一個混頻信號，則：

即該信號由頻率分別為200 Hz、350 Hz和600 Hz組合構(gòu)成?？紤]到收斂速度和實現(xiàn)的硬件成本，選取濾波器的階數(shù)為16，傳統(tǒng)FxLMS算法的固定步長取μ=0.012，改進算法仿真中取泄露因子η=0.999，步長函數(shù)各參數(shù)取β=0.012，α=0.003，γ值的大小決定其變化率，這里取γ=10。

仿真結(jié)果如圖4所示，圖4（a）和圖4（b）分別代表了FxLMS算法和泄露變步長FxLMS算法濾波的噪聲殘留。從圖中可知，噪聲經(jīng)過這兩種算法的處理都得到了顯著的改善，然而對比觀察即可發(fā)現(xiàn)，在改進算法的處理下，噪聲殘留明顯有所降低，這是由于改進算法的步長是根據(jù)當前誤差向量在一定的范圍內(nèi)不斷地進行調(diào)整，如圖4（c）所示，步長在迭代的過程中整體呈現(xiàn)下降的趨勢，并且在迭代的后期也處于較小值的狀態(tài)，因此，收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差較小，噪聲殘留也更低。

圖4 單通道兩種算法的仿真結(jié)果

為了驗證改進算法的優(yōu)良性，把白噪聲作為輸入信號，對比FxLMS算法和改進的FxLMS算法的收斂性能，算法的各參數(shù)設(shè)定值不變，其均方誤差（MSE）如圖5所示，可以看出改進的FxLMS算法明顯比傳統(tǒng)的FxLMS算法的收斂速度快，且穩(wěn)態(tài)誤差值也較低，整體的穩(wěn)定性也更好。

圖5 不同算法的MSE對比圖

圖6為單通道系統(tǒng)下不同算法處理后的功率譜。圖6（a）為經(jīng)過傳統(tǒng)FxLMS算法降噪處理后的功率譜，其在中心頻率200 Hz、350 Hz、600 Hz處的幅值下降為13.8 dB。圖6（b）為提出的泄露變步長FxLMS算法經(jīng)過降噪處理后的功率譜，其在中心頻率處的幅值下降為19.6 dB。

圖6 不同算法降噪前后的功率譜

3 多通道ANC系統(tǒng)

由于單通道的ANC系統(tǒng)的降噪范圍有限，只能實現(xiàn)小范圍內(nèi)的噪聲減小，而有源噪聲控制的目的是提高降噪效果，擴大降噪范圍以及適應(yīng)復雜的環(huán)境，因此引入多通道控制系統(tǒng)進行降噪。多通道ANC系統(tǒng)與單通ANC系統(tǒng)類似[13]，有I個初始傳感器、J個次級聲源以及K個誤差傳感器、因此就存留了I×J個初級通道和J×K個次級通道。

本文將以1×2×2的雙通道有源降噪系統(tǒng)為模型，將分別對前文的FxLMS算法和改進的Fx-LMS算法進行分析和對比。

3.1 雙通道FxLMS算法

從以上分析可知，雙通道的系統(tǒng)模型1×2×2中，包含1×2個初級聲通道和2×2個次級聲通道，其示意圖[14]如圖7所示。P1(z)和P2(z)分別代表了初級傳感器到誤差傳感器1和誤差傳感器2的聲通道的傳遞函數(shù)，同理，S11(z)和S12(z)代表的是次級聲源1分別到誤差傳感器1和誤差傳感器2的次級路徑傳遞函數(shù)，S21(z)和S22(z)代表的是次級聲源2分別到兩個誤差傳感器的次級路徑傳遞函數(shù)。

圖7 雙通道系統(tǒng)示意圖

圖8為基于 FxLMS算法的 1×2×2結(jié)構(gòu)圖，圖中有只有一路的信號輸入，兩路次級信號的輸出和四路的次級通道，另外控制器的輸入信號是初始信號與四路次級通道傳遞函數(shù)估計值卷積運算后的信號，根據(jù)前文的單通道FxLMS算法的迭代過程可以寫出這個結(jié)構(gòu)圖中的兩路誤差信號為：

圖8 基于FxLMS算法的1×2×2結(jié)構(gòu)圖

則兩個控制器權(quán)系數(shù)迭代公式為

由式（24）和式（25）可知，在權(quán)系數(shù)迭代更新中每一個控制器都有兩個誤差量來共同調(diào)節(jié)，以此達到更好的降噪效果。

3.2 雙通道離線建模

雙通道系統(tǒng)與單通道系統(tǒng)相比，其系統(tǒng)的復雜度有所增加，如若采用在線建模的方式，稍有不慎就會造成整個系統(tǒng)的發(fā)散，此時離線建模的優(yōu)點將更明顯地顯現(xiàn)出來，與在線建模相比，其算法的計算量大大減小，算法整體的運行速度和收斂收率也顯著提升，且有效地提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于白噪聲的各頻段分量都是恒定的，因而它對次級通道進行建模而言是一種理想的激勵信號，并將獲得的次級通道估計值用于后續(xù)算法之中。

已知多通道系統(tǒng)中存留J×K個次級通道。而需要采用的FxLMS算法由于濾波信號的存在，則要求對所有的次級通道進行補償。因此離線建模需要的次級通道估計模型S?jk(z)也為J×K個。圖9給出了當J=2、K=2時的離線辨識算法結(jié)構(gòu)[15]。

圖9 雙通道系統(tǒng)次級通道建模原理圖

其中v1(n)和v2(n)為雙通道離線建模系統(tǒng)輸入的白噪聲信號，另外，v1(n)、v2(n)經(jīng)過次級通道估計模型S?jk(n)后輸出yvjk(n)，而v1(n)、v2(n)經(jīng)過實際次級通道可輸出ypjk(n)，在誤差傳感器1和誤差傳感器2位置處，以上兩種次級聲源疊加可分別構(gòu)成誤差信號e1(n)和e2(n)，其表達有：

圖9中的f1(n)、f2(n)表示輸入信號經(jīng)過次級通道和次級通道估計模型后輸出信號之間的差值，即：

3.3 雙通道FxLMS仿真

（1）雙通道次級通路建模

在進行仿真前，需要完成上述原理圖中所有次級通道傳遞函的估計，根據(jù)文獻[16]，可設(shè)系統(tǒng)聲通道的傳遞函數(shù)，有：

利用本節(jié)提及的白噪聲來檢驗上述次級通道傳遞函數(shù)的可行性，其中建模過程中算法的步長因子同樣為0.01，以次級通道1為例，其結(jié)果如圖10所示，即誤差信號可以很快地收斂于零，證明了所設(shè)置的次級通道傳遞函數(shù)是有效的，且不會造成系統(tǒng)的發(fā)散。

圖10 次級通路建模結(jié)果

（2）雙通道FxLMS算法仿真

仿真的信號參數(shù)和前文的單通道的參數(shù)一樣，則實驗仿真結(jié)果如圖11（a）和圖11（b）所示，在雙通道中，改進的FxLMS算法仍舊比傳統(tǒng)的FxLMS算法的收斂速度更快。

圖11 雙通道兩種算法的仿真結(jié)果

圖12是兩種算法在雙通道系統(tǒng)中降噪前后的功率譜。由圖12（a）圖可得，傳統(tǒng)FxLMS算法在降噪前后位于其中心頻率的降噪量達到為18.2 dB，由圖12（b）知，本文提出的泄露變步長FxLMS算法降噪前后在中心頻率處的降噪量最高達到24.7 dB。即雙通道比單通道的降噪效果好，且基于改進算法的降噪效果比傳統(tǒng)的FxLMS算法降噪效果好。

圖12 雙通道不同算法降噪前后的功率譜

4 結(jié)論

本文提出的泄露變步長FxLMS算法以瞬時誤差向量的平方值作為步長的函數(shù)的輸入信號，經(jīng)仿真結(jié)果表明，在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上均有明顯的優(yōu)勢，并且其仿真功率譜表明，經(jīng)過FxLMS算法和泄露變步長FxLMS算法降噪處理后，在單通道中的降噪量分別為13.8 dB和19.6 dB，而在雙通道中的降噪量分別為18.2 dB和24.7 dB，從雙通道ANC系統(tǒng)的降噪量可以表明多通道ANC系統(tǒng)有非常好的降噪效果。但是，對于多通道ANC系統(tǒng)而言計算量是未來進一步需要研究的重點。