施郁

復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系，上海 200433

2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予阿蘭·阿斯佩(Alain Aspect)、約翰·克勞澤(John F. Clauser)和蔡林格(Anton Zeilinger)，獎(jiǎng)勵(lì)他們通過(guò)糾纏光子的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了貝爾不等式的違反，也開創(chuàng)了量子信息科學(xué)[1]。阿蘭·阿斯佩是法國(guó)巴黎-薩克雷大學(xué)(Paris-Saclay University)光學(xué)研究所研究生院(Institut d'optique Graduate School)以及巴黎綜合理工學(xué)院(école Polytechnique)教授，克勞澤在克勞澤與伙伴(J. F. Clauser and Associates)公司，蔡林格是維也納大學(xué)教授。他們的開創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)使量子糾纏成為“有力的工具”，為量子科技的新紀(jì)元打下基礎(chǔ)。這代表了量子革命的新階段[2]，或者說(shuō)是第二次量子革命[3]。

整整100年前的1922年，愛因斯坦在上海收到通知，他獲得1921年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)(1921年該獎(jiǎng)項(xiàng)曾空缺)[4]。諾貝爾獎(jiǎng)的頒獎(jiǎng)詞是：“獎(jiǎng)勵(lì)他對(duì)理論物理的貢獻(xiàn)，特別是他做出的光電效應(yīng)定律的發(fā)現(xiàn)?！盵5]作為光量子假說(shuō)的應(yīng)用，“光電效應(yīng)定律”是他1905年光量子論文的一部分[6]。

愛因斯坦說(shuō)過(guò)：“我思考量子問(wèn)題的時(shí)間是相對(duì)論的一百倍?！盵7]獲得2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的量子糾纏研究是由愛因斯坦在1935年開創(chuàng)的[8]。本文解讀2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的成就，并梳理貝爾不等式研究的主要概念和里程碑。我們強(qiáng)調(diào)是愛因斯坦開創(chuàng)了量子糾纏之路，這個(gè)偉大成績(jī)是第一位的。

1 量子力學(xué)、量子態(tài)與光子偏振

量子糾纏是量子力學(xué)中的一個(gè)概念。量子力學(xué)是電子、光子、原子核等微觀粒子所服從的基本物理規(guī)律，而宏觀物體通常服從經(jīng)典物理。

量子力學(xué)起源于20世紀(jì)初。自20世紀(jì)20年代以來(lái)，量子力學(xué)成為整個(gè)微觀物理學(xué)的基本理論框架，并且取得巨大的成功。在量子力學(xué)之前已經(jīng)建立的物理學(xué)框架被稱作經(jīng)典物理。量子力學(xué)的數(shù)學(xué)工具并不比經(jīng)典物理的更復(fù)雜，但是量子力學(xué)的概念框架卻與之截然不同。玻爾說(shuō)：“沒(méi)被量子理論震撼就沒(méi)懂?！痹谌祟愃枷胧飞希孔恿W(xué)改變了實(shí)在觀，是最重大的革命之一。

量子力學(xué)的中心概念是量子態(tài)[9]。顧名思義，“量子態(tài)”即“量子狀態(tài)”。量子態(tài)并不是像質(zhì)量、速度那樣的物理量，而是一個(gè)類似概率那樣的描述，從它可以計(jì)算出概率分布，但是又比概率的信息更多。通過(guò)量子態(tài)，可以計(jì)算出很多物理性質(zhì)。當(dāng)測(cè)量量子系統(tǒng)的某個(gè)屬性時(shí)，量子態(tài)就以一定的概率(原來(lái)的量子態(tài)決定這個(gè)概率大小)隨機(jī)變?yōu)槊鞔_具有這個(gè)屬性的量子態(tài)之一。 所以量子態(tài)包含了各種可能性。

比如，量子粒子在空間中的運(yùn)動(dòng)由一個(gè)量子態(tài)描述。它可以確定處于一個(gè)位置，也就是說(shuō)，它的空間量子態(tài)代表它處于某個(gè)確定位置，叫作位置本征態(tài)。但是一般來(lái)說(shuō)，描述空間運(yùn)動(dòng)的量子態(tài)是不同的位置本征態(tài)的疊加。也就是說(shuō)，測(cè)量它的位置時(shí)，有一定的概率得到各種位置，從而量子態(tài)塌縮為相應(yīng)的位置本征態(tài)。這個(gè)概率等于“位置波函數(shù)”的大小的平方。

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，空間量子態(tài)可以寫成

量子粒子也可以具有確定的動(dòng)量，這時(shí)的量子態(tài)是動(dòng)量本征態(tài)。一般情況下，描述空間運(yùn)動(dòng)的量子態(tài)，同一個(gè)｜ψ〉，也可以看成不同的動(dòng)量本征態(tài)的疊加。因此，測(cè)量動(dòng)量時(shí)有一定的概率得到各種動(dòng)量，從而量子態(tài)塌縮為相應(yīng)的動(dòng)量本征態(tài)。這個(gè)概率等于“動(dòng)量波函數(shù)”大小的平方。

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：

其中｜p〉是動(dòng)量本征態(tài)，對(duì)p積分代表動(dòng)量本征態(tài)的疊加，φ ( p)是動(dòng)量波函數(shù)，｜φ ( p)｜2是測(cè)量動(dòng)量得到p的概率。

用來(lái)疊加出原來(lái)的量子態(tài)｜ψ〉的一套量子態(tài)叫作基矢態(tài)，統(tǒng)稱基。采取測(cè)量哪個(gè)物理量(位置或動(dòng)量)的測(cè)量方式，測(cè)量之后就得到哪個(gè)物理量的某個(gè)本征態(tài)。

再比如，光有個(gè)內(nèi)部性質(zhì)叫偏振，代表了電場(chǎng)振動(dòng)方向，總是位于與光的傳播方向垂直的平面上。在此平面中，我們總可以任意建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，用從原點(diǎn)出發(fā)的單位長(zhǎng)度的箭頭(叫作矢量)代表偏振，箭頭末端的坐標(biāo)就確定了偏振方向。偏振太陽(yáng)鏡只允許太陽(yáng)光中偏振方向與鏡片透光軸一致的線偏振光通過(guò)。

光是由光量子組成的(這是愛因斯坦在1905年提出的，如上所述，他獲得諾貝爾獎(jiǎng)的工作就是這個(gè)假說(shuō)的應(yīng)用)。光量子后來(lái)也被稱為光子。作為一種量子粒子，每個(gè)光子有一個(gè)偏振量子態(tài)，對(duì)應(yīng)于宏觀的光偏振。任意兩個(gè)互相正交的方向(比如沿著兩個(gè)位置軸)所對(duì)應(yīng)的線偏振量子態(tài)也是互相正交的，由它們可以疊加成任何偏振量子態(tài)。

當(dāng)一個(gè)光子到達(dá)一個(gè)透光方向沿著某方向的偏振片，光子要么完全穿透，要么完全不能穿透，而且是隨機(jī)的。穿透的概率就是它原來(lái)的偏振量子態(tài)在透光方向的分量大小的平方，穿透后，光子偏振量子態(tài)就“塌縮”成沿著透光方向的態(tài)。如果光子沒(méi)有穿透，那么偏振量子態(tài)就“塌縮”成垂直于偏振片透光方向的態(tài)，被吸收。后者的概率是1減去前者。當(dāng)然，光子原來(lái)的偏振方向也可能正好沿著偏振片透光方向，在此特殊情況下偏振量子態(tài)不發(fā)生變化。

偏振分束器(PBS)不存在偏振片的光子吸收問(wèn)題。它利用雙折射效應(yīng)，將入射偏振態(tài)分解為互相正交的兩個(gè)線偏振態(tài)，而且分別沿互相垂直的兩個(gè)方向出射。將一個(gè)雙折射立方體晶體沿著對(duì)角面切開，得到半立方體，再將兩個(gè)這樣的半立方體拼回立方體(接觸面涂上合適的介電涂層)，得到偏振分束器。光垂直入射后，分成正常光和反常光。正常光偏振垂直于晶體光軸方向(當(dāng)然也垂直于光傳播方向)，穿透過(guò)對(duì)角面，再沿原來(lái)的傳播方向離開偏振分束器；反常光偏振方向垂直于正常光的偏振方向(當(dāng)然也垂直于自己的傳播方向)，在對(duì)角面反射，所以傳播方向改為垂直于原來(lái)方向離開偏振分束器。

單個(gè)光子垂直進(jìn)入偏振分束器后，隨機(jī)地從兩個(gè)可能的出口出來(lái)。如果是沿著原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，那么偏振方向垂直于原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，而且平行于兩個(gè)拼接的半立方體的接觸面；如果垂直于原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，那么偏振方向就沿著原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向。

比如我們可以以水平和豎直方向的偏振態(tài)｜→〉和｜↑〉作為基矢態(tài)，也可以以45°和135°方向的偏振態(tài)｜↗〉和｜↖〉作為基矢態(tài)，即

其中θ是相對(duì)于水平方向的角度，θ'是相對(duì)于45°方向的角度。我們也可以以圓偏振態(tài)｜±〉作為基矢態(tài)。相對(duì)于運(yùn)動(dòng)方向，｜+〉是右旋，｜-〉是左旋。也有個(gè)說(shuō)法，它們的螺旋度分別是1和-1。可以得到

光子偏振與宏觀電磁波的偏振既不一樣，又有聯(lián)系。大量處于同樣偏振態(tài)的光子到達(dá)偏振片后，它們穿透偏振片的比例就是單個(gè)光子穿透的概率。所以宏觀電磁波到達(dá)偏振片后，一部分沿著透光方向穿透過(guò)去。比如，如果偏振態(tài)由(3)式給出，透光方向沿水平方向，那么穿透光強(qiáng)與入射光強(qiáng)之比就是cos2(θ)。這叫馬呂斯定律。相應(yīng)地，單個(gè)光子的穿透概率也是cos2(θ)。方便起見，這也可以叫馬呂斯定律。能量占原電磁波能量的比例(正比于電場(chǎng)大小平方之比)就是單個(gè)光子穿透的概率。本次諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)工作都使用光子偏振。

2 量子糾纏與愛因斯坦

量子糾纏是復(fù)合系統(tǒng)的量子態(tài)的一種性質(zhì)。復(fù)合系統(tǒng)是指由若干子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)。如果至少有一個(gè)子系統(tǒng)沒(méi)有獨(dú)立量子態(tài)(嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這里所謂的獨(dú)立量子態(tài)指量子純態(tài)，即它不包含經(jīng)典概率意義上的混合)，那么就說(shuō)這個(gè)子系統(tǒng)與其他子系統(tǒng)之間存在量子糾纏，這個(gè)量子態(tài)叫作量子糾纏態(tài)。也就是說(shuō)，量子糾纏是由兩個(gè)或兩個(gè)以上子系統(tǒng)構(gòu)成的整體的量子態(tài)性質(zhì)，這個(gè)量子態(tài)叫作量子糾纏態(tài)。在數(shù)學(xué)和量子理論形式上，量子糾纏的概念很清楚。事實(shí)上，絕大多數(shù)量子態(tài)都是糾纏的。

最早對(duì)量子糾纏的研究是在1935年5月，由愛因斯坦以及兩位年輕同事波多爾斯基(Boris Podolsky)和羅森(Nathan Rosen)進(jìn)行的討論[8]。他們沒(méi)有使用“量子糾纏”這個(gè)名詞，但是發(fā)現(xiàn)量子糾纏是一個(gè)有特別涵義的性質(zhì)。事實(shí)上，量子糾纏也被稱為愛因斯坦-波多爾斯基-羅森(EPR)關(guān)聯(lián)。

愛因斯坦是量子力學(xué)的先驅(qū)，但是對(duì)量子力學(xué)的概率性框架不滿意，提出過(guò)很多質(zhì)疑。逐漸地，他的質(zhì)疑聚焦于量子力學(xué)的完備性。也就是說(shuō)，他認(rèn)為客觀實(shí)在的某些元素可能在量子力學(xué)沒(méi)有描述。而他的理論武器就是量子糾纏。

EPR考慮一對(duì)粒子從同一源出發(fā)，向相反方向運(yùn)動(dòng)，保持總動(dòng)量為0，離源距離相同，也就是位移相反。這里我給出一個(gè)簡(jiǎn)單形式，將源的位置設(shè)為0，將兩個(gè)粒子的量子態(tài)表示為

L代表某個(gè)空間范圍。

這對(duì)粒子的動(dòng)量和位置有很多可能性，測(cè)量第一個(gè)粒子，等概率隨機(jī)得到一個(gè)x值，可以立即預(yù)測(cè)第二個(gè)粒子的位置這時(shí)肯定是-x。而這個(gè)量子態(tài)｜ψ〉也可以寫成

因此如果測(cè)量第一個(gè)粒子的動(dòng)量得到一個(gè)p值，那么就可以立即預(yù)測(cè)第二個(gè)粒子的動(dòng)量肯定是-p。

EPR說(shuō)，離開源后，這兩個(gè)粒子再也沒(méi)有相互作用，因此對(duì)第一個(gè)粒子的測(cè)量不可能改變第二個(gè)粒子。上面的論證說(shuō)明，第二個(gè)粒子在不被干擾的情況下，位置和動(dòng)量都可以確定地預(yù)測(cè)，因此它們都是第二個(gè)粒子的固有屬性，都是客觀實(shí)在的元素。

以上論證基于假設(shè)量子力學(xué)的描述是完備的，推導(dǎo)出位置和動(dòng)量同時(shí)是客觀實(shí)在的元素。但是量子力學(xué)中，位置和動(dòng)量算符不對(duì)易，不可能同時(shí)有明確的值，所以不可能都是客觀實(shí)在的元素，因此有矛盾。據(jù)此，EPR認(rèn)為量子力學(xué)不完備。

EPR也預(yù)見到一種反對(duì)意見，就是有人可能提出，兩個(gè)或多個(gè)物理量只有可以同時(shí)測(cè)量或預(yù)測(cè)時(shí)，才能說(shuō)它們同時(shí)是客觀實(shí)在元素。而位置和動(dòng)量不是同時(shí)測(cè)量的，這個(gè)情況現(xiàn)在稱為反事實(shí) (counterfactual)。但是EPR認(rèn)為這不合理。

EPR論文的標(biāo)題是《物理實(shí)在的量子力學(xué)描述能被認(rèn)為是完備的嗎？》，摘要是：

“在一個(gè)完備的理論中，對(duì)應(yīng)于每個(gè)客觀實(shí)在的元素，都有一個(gè)理論元素。物理量實(shí)在性的一個(gè)充分條件是在系統(tǒng)不受擾動(dòng)的情況下，這個(gè)物理量能被確定預(yù)言。量子力學(xué)中，由非對(duì)易算符描寫的兩個(gè)物理量的情況里，一個(gè)物理量的知識(shí)排斥另一個(gè)。所以要么①量子力學(xué)中的波函數(shù)所給出的實(shí)在的描述是不完備的，要么②這兩個(gè)物理量不能同時(shí)具有實(shí)在性?？紤]基于對(duì)某個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量，對(duì)曾經(jīng)與之作用過(guò)的另一個(gè)系統(tǒng)做出確定預(yù)言，導(dǎo)致的結(jié)果是，如果①是錯(cuò)的，那么②也是錯(cuò)的。因此結(jié)論是，波函數(shù)對(duì)實(shí)在的描述是不完備的。”

需要注意的是，測(cè)量第一個(gè)粒子后，只有測(cè)量者可以對(duì)第二個(gè)粒子作出預(yù)言，控制第二個(gè)粒子的人是不知道的，除非第一個(gè)粒子的測(cè)量者將信息傳遞給他，而這個(gè)信息傳遞是受到相對(duì)論等物理定律制約的。這一點(diǎn)在討論量子信息時(shí)尤為重要。

3 早期的后續(xù)工作與偏振版本

EPR的工作引起薛定諤的巨大興趣，他與愛因斯坦有多次書信討論，并于1935年發(fā)表了幾篇論文。其中一篇《關(guān)于分離系統(tǒng)的概率關(guān)系的討論》中寫道[10]：

“對(duì)于兩個(gè)系統(tǒng)，我們通過(guò)它們各自的表示，知道它們的狀態(tài)。當(dāng)它們進(jìn)入由它們之間已知力所導(dǎo)致的暫時(shí)的物理相互作用，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間相互影響之后，兩個(gè)系統(tǒng)再分離，那么它們?cè)僖膊荒馨凑找郧暗姆绞?，用各自的表示?lái)描述。我不將此情況稱作量子力學(xué)的一個(gè)特征，而稱作特征(沒(méi)有之一)，它導(dǎo)致與經(jīng)典思路的完全背離。通過(guò)相互作用，這兩個(gè)表示(或者ψ-函數(shù))糾纏起來(lái)?！?/p>

薛定諤在另一篇文章里還討論了后來(lái)變得很著名的“薛定諤貓”佯謬，基于原子核衰變與否與貓的死活之間的量子糾纏[11]。

同年10月，玻爾用他的互補(bǔ)原理也對(duì)EPR作了回應(yīng)[12]。互補(bǔ)原理是說(shuō)，測(cè)量?jī)蓚€(gè)不對(duì)易的物理量，需要不同的測(cè)量?jī)x器。玻爾認(rèn)為，因?yàn)槲矬w與測(cè)量?jī)x器的相互作用，物體對(duì)測(cè)量?jī)x器的反作用無(wú)法控制，經(jīng)典因果律要拋棄；而對(duì)于EPR討論的情況，不確定關(guān)系和互補(bǔ)原理依然適用，互補(bǔ)原理使得量子力學(xué)描述滿足所有合理的完備性要求。玻爾特別指出，EPR的客觀實(shí)在判據(jù)中，“對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有擾動(dòng)”一說(shuō)含義模糊。他說(shuō)，雖然對(duì)一個(gè)粒子的測(cè)量對(duì)于另一個(gè)粒子沒(méi)有力學(xué)相互作用，但還是對(duì)相應(yīng)物理量賴以定義的情況有本質(zhì)的影響。

可見，愛因斯坦試圖進(jìn)行更深層次的討論，揭示了量子糾纏與局域?qū)嵲谡?即局域性和實(shí)在論共同成立)的沖突。局域性是指，如果兩個(gè)事件的空間距離大于光速乘以時(shí)間間隔，即所謂類空間隔，那么這兩個(gè)事件不可能有因果關(guān)聯(lián)，這是狹義相對(duì)論的要求。實(shí)在論是指，觀測(cè)量在被觀測(cè)之前就已經(jīng)確定了，與測(cè)量無(wú)關(guān)。EPR提出，基于對(duì)第一個(gè)粒子的測(cè)量，對(duì)第二個(gè)粒子沒(méi)有擾動(dòng)而確定預(yù)言的物理量是一個(gè)客觀實(shí)在的元素。這與量子力學(xué)沖突。

所以量子糾纏的研究應(yīng)該溯源歸功于愛因斯坦。雖然后來(lái)實(shí)驗(yàn)上否定了局域?qū)嵲谡摚菒垡蛩固归_辟了這個(gè)研究領(lǐng)域。量子糾纏研究最大的功臣就是愛因斯坦，正如他在別處所說(shuō)，提出問(wèn)題往往比解決問(wèn)題更重要。

玻爾堅(jiān)持，量子力學(xué)就是理論的一切，認(rèn)為客觀實(shí)在就是這樣，而無(wú)視局域性和實(shí)在性的概念。他的意思是，測(cè)量第一個(gè)粒子時(shí)，雖然對(duì)第二個(gè)粒子沒(méi)有物理作用，但是第二個(gè)粒子依然受到影響。這只是復(fù)述量子力學(xué)的規(guī)則，沒(méi)有回答EPR的質(zhì)疑。很多物理學(xué)家根據(jù)玻爾的結(jié)論，以為問(wèn)題已經(jīng)解決，而不去深究里面的細(xì)節(jié)。

今天人們將這兩個(gè)糾纏態(tài)與另外兩個(gè)糾纏態(tài)

統(tǒng)稱為貝爾態(tài)。在此4個(gè)態(tài)組成的基上的測(cè)量叫作貝爾測(cè)量。

對(duì)于光子偏振態(tài)，考慮一個(gè)糾纏態(tài)例子：

如果測(cè)量第一個(gè)光子偏振，看它是水平｜→〉還是豎直｜↑〉，那么結(jié)果當(dāng)然是二者之一。如果第一個(gè)光子偏振被測(cè)到是水平，就可以預(yù)言第二個(gè)光子的偏振量子態(tài)也塌縮為水平；如果第一個(gè)光子偏振被測(cè)到是豎直，就可以預(yù)言第二個(gè)光子的偏振量子態(tài)也塌縮為豎直。如果測(cè)量第一個(gè)光子是｜↗ 〉還是｜↖〉，或者測(cè)量是｜+〉還是｜-〉，情況也類似。

偏振是內(nèi)部性質(zhì)，與空間距離無(wú)關(guān)，因此兩個(gè)糾纏的光子是可能相距很遠(yuǎn)的。但是相距很遠(yuǎn)意味著在分開的過(guò)程中，更容易受到外界擾動(dòng)，所以糾纏也更容易受到破壞。

我們?cè)儆眠@個(gè)糾纏態(tài)給出EPR論證的偏振版本。測(cè)量第一個(gè)光子的偏振是水平還是豎直。如果測(cè)到是水平(豎直)，可以明確(100%概率)預(yù)言另一個(gè)光子的偏振也是水平(豎直)。因?yàn)閮蓚€(gè)光子相距類空距離(沒(méi)有物理信號(hào)傳遞)，對(duì)一個(gè)光子的測(cè)量不會(huì)影響到第二個(gè)光子。因此第二個(gè)光子的水平-豎直偏振性質(zhì)是一個(gè)客觀實(shí)在元素(事先就確定了)。

類似地，測(cè)量第一個(gè)光子的偏振是45°還是135°。如果測(cè)到是45°(135°)，可以明確(100%概率)預(yù)言另一個(gè)光子的偏振是135°(45°)。因?yàn)閮蓚€(gè)光子相距類空距離(沒(méi)有物理信號(hào)傳遞)，對(duì)一個(gè)光子的測(cè)量不會(huì)影響到第二個(gè)光子。因此第二個(gè)光子的45°-135°偏振性質(zhì)是一個(gè)客觀實(shí)在元素(事先就確定了)。

而在量子力學(xué)中，光子偏振量子態(tài)是水平或豎直時(shí)，測(cè)量到45°或135°都有可能，反過(guò)來(lái)也如此(相應(yīng)的算符不對(duì)易，不能同時(shí)有確定的值)。因此水平-豎直和45°-135°這兩對(duì)性質(zhì)不能同時(shí)是客觀實(shí)在元素。所以參照EPR的論證，局域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)完備性矛盾。EPR認(rèn)為局域?qū)嵲谡撌菬o(wú)可動(dòng)搖的，所以量子力學(xué)不完備。

1957年，玻姆和阿哈羅洛夫(Aharonov)指出[14]，1950年吳健雄和薩克諾夫(Shaknov)實(shí)現(xiàn)了光子偏振關(guān)聯(lián)(Bohm-Aharonov不用“糾纏”一詞)[15]。吳健雄和薩克諾夫測(cè)量正負(fù)電子湮滅產(chǎn)生的光子對(duì)的康普頓散射，準(zhǔn)確驗(yàn)證了量子電動(dòng)力學(xué)。正負(fù)電子湮滅產(chǎn)生2個(gè)光子，偏振總是正交，分別被電子散射。對(duì)于不同散射角，測(cè)量這2個(gè)光子運(yùn)動(dòng)方向垂直和平行兩種情況下，符合概率的非對(duì)稱性，也就是這兩種情況的概率的差別。吳健雄與薩克諾夫的γ探測(cè)器敏感度是前人的10倍，測(cè)到非對(duì)稱性是，非常符合理論值2.00。

4 局域?qū)嵲谡撆c貝爾不等式

EPR認(rèn)為，量子力學(xué)不完備。意思是，除了量子力學(xué)中的量子態(tài)之外，物理系統(tǒng)還存在額外的變量，可以刻畫系統(tǒng)的準(zhǔn)確狀態(tài)。這些額外的變量叫作隱變量，它們代表了所謂的實(shí)在論。如果一個(gè)代替量子力學(xué)的理論包含隱變量，它就叫作隱變量理論。如果這個(gè)理論還滿足局域性，就叫局域隱變量理論，或者局域?qū)嵲谡摗?/p>

1931年，馮·諾伊曼(von Neumann)就在數(shù)學(xué)上證明過(guò)隱變量不存在[16]。20世紀(jì)50～60年代有一些關(guān)于隱變量理論的討論，特別是玻姆的一系列工作。1964年(1966發(fā)表)，貝爾(John Bell)指出，馮·諾伊曼的證明并不成立[17]。

1964年，貝爾又提出，局域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)是矛盾的。他發(fā)表了一個(gè)不等式，是局域隱變量理論都應(yīng)該滿足的不等式[18]。后來(lái)所有這一類的不等式都叫貝爾不等式，是關(guān)于兩個(gè)子系統(tǒng)的測(cè)量結(jié)果的關(guān)聯(lián)，每個(gè)子系統(tǒng)由一個(gè)局域的觀察者對(duì)之進(jìn)行測(cè)量。用局域隱變量理論計(jì)算各種測(cè)量結(jié)果的關(guān)聯(lián)，其結(jié)果滿足貝爾不等式。而在量子力學(xué)中，如果這兩個(gè)子系統(tǒng)用某些量子糾纏態(tài)描述，那么根據(jù)量子力學(xué)計(jì)算的結(jié)果是違反貝爾不等式的。

量子力學(xué)基本問(wèn)題曾被視為“只是哲學(xué)”，貝爾不等式證明這是有理論有實(shí)驗(yàn)的物理，將原來(lái)帶有形而上學(xué)味道的討論轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢杂脤?shí)驗(yàn)定量決定的判定，將哲學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定量的科學(xué)問(wèn)題。

檢驗(yàn)大自然是否滿足貝爾不等式的實(shí)驗(yàn)叫作貝爾測(cè)試。進(jìn)行貝爾測(cè)試需要使用分居兩地又處于量子糾纏態(tài)的子系統(tǒng)，也需要迅速高效的探測(cè)，以及事先不可預(yù)測(cè)地對(duì)于每個(gè)測(cè)量裝置的獨(dú)立安排。所有有關(guān)貝爾不等式違反(或稱貝爾定理)的工作都是在貝爾的開創(chuàng)性工作基礎(chǔ)之上進(jìn)行的。

實(shí)驗(yàn)判定量子力學(xué)勝利，局域?qū)嵲谡撌?。但是長(zhǎng)期以來(lái)，實(shí)驗(yàn)判定上存在邏輯漏洞或額外假設(shè)，直到近年來(lái)才消除。貝爾不等式的提出和驗(yàn)證又與量子信息學(xué)的興起密切相關(guān)，包括概念和實(shí)驗(yàn)技術(shù)。榮獲2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的工作就是對(duì)這兩方面的重大貢獻(xiàn)。

5 Bell-CHSH不等式與實(shí)驗(yàn)

5.1 CHSH不等式

貝爾最初的不等式具體形式所依賴的假設(shè)過(guò)于理想化，比如嚴(yán)格關(guān)聯(lián)，無(wú)法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中核實(shí)，因此不適合真實(shí)的實(shí)驗(yàn)。1969年，克勞澤(John Clauser)、Michael Horn、Abner Shimony和Richard Holt推廣了貝爾的不等式，通常稱為CHSH或者Bell-CHSH不等式[19]，使其更適合實(shí)際情況，可以在現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)。

延續(xù)上面我們對(duì)貝爾不等式的討論?？紤]A(a,λ)[B(b,λ)+ B(b',λ)]+ A(a',λ)[B(b,λ)-B(b',λ)]，它肯定等于±2，因?yàn)锽(b,λ)+B(b',λ)與B(b,λ)-B(b',λ)中必然有一個(gè)等于±1，一個(gè)等于0。由此得到S=P(a,b)+P(a,b')+P(a',b)-P(a',b') 滿足-2≤S≤2。

因此只要有局域?qū)嵲谛?，Bell-CHSH不等式即可成立，而且可以在實(shí)驗(yàn)上檢驗(yàn)。量子力學(xué)違反它，所以量子力學(xué)與局域?qū)嵲谡撃膫€(gè)正確，就要看哪個(gè)與實(shí)驗(yàn)符合。

另外，1989年，塞林格曾經(jīng)與丹尼爾·格林伯格(Daniel Greenberg)和邁克爾·霍恩(Michael Horne)發(fā)現(xiàn)一種三粒子量子糾纏態(tài)具有特別的性質(zhì)，不需要統(tǒng)計(jì)平均，就與局域?qū)嵲谡摯嬖跊_突[20]。

5.2 弗里德曼-克勞澤(Freedman-Clauser)實(shí)驗(yàn)

克勞澤當(dāng)時(shí)是分子天體物理專業(yè)博士生。1970年獲博士學(xué)位后，他來(lái)到加州大學(xué)伯克利分校，成為查爾斯·湯斯(Charles Townes)的博士后，被允許自主研究貝爾不等式。在伯克利，1967年，尤金·康明斯(Eugene Commins)的學(xué)生卡爾·考克爾(Carl Kocher)的博士論文工作是研究來(lái)自同一個(gè)原子源的光子對(duì)的時(shí)間關(guān)聯(lián)[21]。

克勞澤和尤金·康明斯的博士生弗里德曼(Freedman)改造了這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，改進(jìn)了偏振片的效率。這個(gè)系統(tǒng)中，CHSH不等式給出

其中R0是沒(méi)有偏振片時(shí)的符合率。

克勞澤和弗里德曼得到的實(shí)驗(yàn)中，上式左邊是0.050±0.008，違反貝爾不等式，精度是有6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差[22]。

這個(gè)初步的實(shí)驗(yàn)嘗試有漏洞和局限。因?yàn)楫a(chǎn)生和探測(cè)粒子的效率低，測(cè)量也是事先設(shè)置好，所以在邏輯上，有可能隱變量使得對(duì)粒子的探測(cè)有選擇性，從而導(dǎo)致貝爾不等式的違反，而且不滿足局域性要求。

局域性是貝爾不等式的一個(gè)關(guān)鍵前提假設(shè)。相互分離的兩個(gè)子系統(tǒng)的測(cè)量必須相互獨(dú)立，包括選擇做哪種測(cè)量，比如位置還是動(dòng)量，橫向的磁矩還是縱向的磁矩(磁矩正比于自旋)，或者偏振片的透光方向。因此必須保證二者的測(cè)量時(shí)間差足夠小，以至于不可能有物理信號(hào)從一方傳到另一方。因?yàn)樗械男盘?hào)速度不超過(guò)光速，實(shí)驗(yàn)上必須保證雙方測(cè)量的時(shí)間差小于距離除以光速。弗里德曼-克勞澤實(shí)驗(yàn)的固定設(shè)置不滿足局域性要求。

5.3 阿斯佩實(shí)驗(yàn)

1981—1982年，阿斯佩(Alain Aspect)與合作者Phillipe Grangier、Gerard Roger和Jean Dalibard做了3個(gè)實(shí)驗(yàn)，以高精度觀察到了對(duì)Bell-CHSH不等式的違反，在很大程度上實(shí)現(xiàn)局域性。

在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中[23]，在發(fā)生級(jí)聯(lián)過(guò)程前，通過(guò)兩套激光，用雙光子吸收直接將電子激發(fā)到61S0，這比以前通過(guò)61P1有效得多。

在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中[24]，用雙通道偏振片進(jìn)行測(cè)量，得到很好的統(tǒng)計(jì)和很大的對(duì)貝爾不等式的違反，精度是幾十個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

第三個(gè)實(shí)驗(yàn)最重要[25]。從鈣原子到偏振片距離6 m，光子飛行只有20 ns，在光子飛行過(guò)程中旋轉(zhuǎn)偏振片是來(lái)不及的。他們用了阿斯佩早些年設(shè)計(jì)的巧妙方法[26]。一對(duì)光子在到達(dá)一對(duì)偏振片之前，經(jīng)過(guò)一個(gè)聲光開關(guān)，被導(dǎo)向兩對(duì)偏振片中的一對(duì)。聲光開關(guān)每10 ns切換一次。所使用的CHSH不等式給出-1≤S≤0，量子力學(xué)給出0.112。

實(shí)驗(yàn)得到0.101±0.020，與量子力學(xué)一致，違反不等式。精度是5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

這些實(shí)驗(yàn)以及后來(lái)的很多貝爾測(cè)試實(shí)驗(yàn)都判定量子力學(xué)勝利，局域?qū)嵲谡撌?，但是這些工作中仍然存在技術(shù)性的邏輯漏洞，如在探測(cè)器效率或局域性上。在阿斯佩的第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)儀器之間距離很短，由于技術(shù)的局限性，測(cè)量裝置的改變不是隨機(jī)的，而是周期性的，因此沒(méi)有關(guān)閉局域性漏洞。

5.4 1997年塞林格組補(bǔ)上局域性漏洞

1997年，塞林格研究組的實(shí)驗(yàn)終于補(bǔ)上了局域性漏洞[27]。在他們的實(shí)驗(yàn)中，分析糾纏光子對(duì)的裝置相距400 m，以光速飛行，需要光1 300 ns。糾纏光子對(duì)通過(guò)光纖傳到偏振片。每個(gè)光子的偏振分析裝置的方向快速隨機(jī)改變，用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器控制，用原子鐘計(jì)時(shí)。

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中各種技術(shù)改進(jìn)很多。值得指出，這里用第2類參量下轉(zhuǎn)換(type-II parametric down conversion)方法產(chǎn)生糾纏光子對(duì)。這是一個(gè)非線性光學(xué)過(guò)程，用偏硼酸鋇(β-BBO)晶體實(shí)現(xiàn)。β-BBO晶體是由中國(guó)科學(xué)院福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所首次發(fā)現(xiàn)和研制的紫外倍頻晶體。此前塞林格組與史硯華的一個(gè)合作工作中，用了這個(gè)產(chǎn)生糾纏對(duì)的方法[28]。這個(gè)方法最早由歐澤宇和L.Mandel，以及史硯華和C. O. Alley于20世紀(jì)80年代提出[29-30]。

5.5 后續(xù)工作

在關(guān)于貝爾不等式的實(shí)驗(yàn)中，還長(zhǎng)期存在“探測(cè)漏洞”。因?yàn)楸惶綔y(cè)到的糾纏粒子只是最初產(chǎn)生的糾纏對(duì)中的一部分，有多少被探測(cè)到與實(shí)驗(yàn)裝置有關(guān)。在公平取樣的前提下，實(shí)驗(yàn)上得到的統(tǒng)計(jì)分析可以用來(lái)檢驗(yàn)貝爾不等式。但是如果探測(cè)效率不夠高，就可能做不到公平取樣。這就是探測(cè)漏洞。要補(bǔ)上探測(cè)漏洞，保證公平取樣，必須滿足這樣的條件：當(dāng)一邊測(cè)量到光子時(shí)，另一邊也探測(cè)到光子的概率大于2/3[31]。2001年和2008年研究人員在離子實(shí)驗(yàn)中補(bǔ)上了探測(cè)漏洞[32-33]。2013年，塞林格組[34]和Kwiat組[35]在光子實(shí)驗(yàn)中也補(bǔ)上探測(cè)漏洞。

2015年，有幾個(gè)實(shí)驗(yàn)都同時(shí)補(bǔ)上局域性漏洞和探測(cè)漏洞。塞林格組[36]和美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)的Shalm組[37]都用了可以快速改變的偏振片和高效率的光子探測(cè)器。代爾夫特(Delft)理工大學(xué)的Hensen組用兩對(duì)電子-光子對(duì)[38]，測(cè)量?jī)蓚€(gè)光子，使得兩個(gè)電子糾纏。2017年，Weinfurter用相距398 m的糾纏原子也同時(shí)補(bǔ)上這兩個(gè)漏洞[39]。

下面介紹“自由選擇漏洞”。貝爾不等式是關(guān)于兩個(gè)子系統(tǒng)的各種測(cè)量結(jié)果之間的關(guān)聯(lián)，涉及測(cè)量裝置的幾種不同設(shè)置，比如測(cè)量的方向。這在貝爾不等式的推導(dǎo)中是完全自由的，與隱變量無(wú)關(guān)。

在貝爾測(cè)試中，需要自由隨機(jī)選擇這幾個(gè)不同設(shè)置。即使局域性漏洞和探測(cè)漏洞補(bǔ)上了，在實(shí)驗(yàn)中是由儀器來(lái)隨機(jī)選擇實(shí)驗(yàn)裝置的安排。但是這并不理想，因?yàn)槿f(wàn)一這些儀器所作的選擇本身就是由隱變量決定的呢。這叫作“自由選擇漏洞”。貝爾曾提出可以用人的自由選擇來(lái)保證實(shí)驗(yàn)裝置的安排的不可預(yù)測(cè)性，但是當(dāng)時(shí)的技術(shù)做不到。

2016年11月30日，一個(gè)叫作“大貝爾測(cè)試”(The Big Bell Test)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目就是這樣的實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)上了這個(gè)“自由選擇漏洞”。實(shí)驗(yàn)中所作的選擇都是來(lái)自全球各地的約10萬(wàn)個(gè)志愿者。12 h內(nèi)，這些志愿者通過(guò)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)游戲“the BIG Bell Quest”，每秒產(chǎn)生1000比特?cái)?shù)據(jù)，總共產(chǎn)生了97 347 490比特?cái)?shù)據(jù)。參加游戲的志愿者被要求在一定時(shí)間內(nèi)輸入一定的隨機(jī)比特0或1，被用于對(duì)實(shí)驗(yàn)中所作選擇的指令。有個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)算法會(huì)根據(jù)已輸入的比特，提醒志愿者避免可預(yù)測(cè)性，但是對(duì)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)不作選擇。

全球五個(gè)洲的12個(gè)實(shí)驗(yàn)室在12 h內(nèi)做了13個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)。這些實(shí)驗(yàn)用10萬(wàn)名志愿者無(wú)規(guī)律提供的這些數(shù)據(jù)來(lái)安排測(cè)量裝置，不同的實(shí)驗(yàn)采用不同的數(shù)據(jù)。在不同系統(tǒng)的貝爾測(cè)試結(jié)果表明了局域?qū)嵲谡撛谶@些系統(tǒng)中被違反，其中一個(gè)是潘建偉教授領(lǐng)導(dǎo)的光子偏振實(shí)驗(yàn)。

2018年5月9日，Nature雜志以“用人的選擇挑戰(zhàn)局域?qū)嵲谡摗睘轭}，發(fā)表了這13個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)的結(jié)果[40-41]，顯示局域?qū)嵲谡撛谟泄庾?、單原子、原子系綜與超導(dǎo)器件等系統(tǒng)中被違反。這一工作代表了對(duì)量子力學(xué)基本理論的檢驗(yàn)又前進(jìn)了一步。

最后提一下，既然局域?qū)嵲谡撆c量子力學(xué)沖突，那么矛盾的源泉來(lái)自哪里，局域論還是實(shí)在論？為研究這個(gè)問(wèn)題，萊格特(Leggett)考慮一種“加密非局域?qū)嵲谡摗保鹤鳛榉蔷钟蛐?，?duì)于確定的偏振方向，被測(cè)量量既依賴測(cè)量偏振片方向，也依賴于另一邊的偏振片方向。但是物理態(tài)是各種偏振方向的統(tǒng)計(jì)平均，服從局域規(guī)律，如馬呂斯定律。對(duì)此，萊格特導(dǎo)出萊格特不等式，被量子力學(xué)違反[42]。最近我們提出一個(gè)推廣的萊格特不等式，特別適用于粒子物理中的糾纏介子，被量子力學(xué)和粒子物理違反[43]。

6 量子糾纏是量子信息中的資源

隨著量子物理以及相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，特別是量子力學(xué)基本問(wèn)題的研究，量子信息科學(xué)逐步興起。其中，貝爾不等式和量子糾纏的研究起了重要作用，演示了量子糾纏的重要性。量子糾纏已經(jīng)成為量子信息處理的資源[9,44-46]。例如，利用量子糾纏可以實(shí)現(xiàn)量子隱形傳態(tài)。

基于量子力學(xué)的線性疊加原理，量子信息科學(xué)中的一個(gè)基本定理叫作“量子態(tài)不可復(fù)制”：不可能存在一個(gè)基于量子力學(xué)演化的機(jī)器，它能夠復(fù)制任意的未知的量子態(tài)[47-48]。如果有這樣的機(jī)器，它是一個(gè)演化算符U，復(fù)制過(guò)程是|ψ〉|φ〉|M〉→|ψ〉|ψ〉|M'〉，|ψ〉是被復(fù)制的態(tài)，|φ〉代表復(fù)制前的復(fù)本空白狀態(tài)，|M〉和|M'〉以及下文的|M''〉和|M'''〉代表機(jī)器的量子態(tài)。同理，對(duì)于另一個(gè)被復(fù)制的態(tài)|ψ'〉，復(fù)制過(guò)程是|ψ'〉|φ〉|M〉→|ψ'〉|ψ'〉|M''〉。對(duì)于α|ψ〉+β|ψ'〉，復(fù)制過(guò)程應(yīng)該是(α|ψ〉+β|ψ'〉)|φ〉|M〉→(α|ψ〉+β|ψ'〉)(α|ψ〉+β|ψ'〉)|M'''〉，但是量子力學(xué)的原理導(dǎo)致(α|ψ〉+β|ψ'〉)|φ〉|M〉=α|ψ〉|φ〉|M〉+β|ψ'〉|φ〉|M〉→α|ψ〉|ψ〉|M'〉+β|ψ'〉|ψ'〉|M''〉，與期望的復(fù)制過(guò)程不同。因此不存在復(fù)制機(jī)器。

因此，如果一個(gè)任意量子態(tài)從一個(gè)載體，經(jīng)過(guò)某個(gè)過(guò)程轉(zhuǎn)移到另一個(gè)載體上，那么原來(lái)的載體上的量子態(tài)就肯定改變了。這體現(xiàn)于量子隱形傳態(tài)中。

1993年Bennett、Brassard、Crèpeau、Jozsa、Peres和Wootters提出量子隱形傳態(tài)方案，借助量子糾纏和經(jīng)典通信，將未知量子態(tài)從第一個(gè)粒子傳到遠(yuǎn)方的第二個(gè)粒子上[49]。第三個(gè)粒子與第一個(gè)粒子處于同一地點(diǎn)，但是與第二個(gè)粒子糾纏，處于某個(gè)貝爾態(tài)，不失一般性，可以用|ψ+〉表示。將第一個(gè)粒子的態(tài)記作|γ〉。3個(gè)粒子的量子態(tài)是

其中X和Z都是某種操作，而且逆操作是它們自己。

Alice控制第一個(gè)和第三個(gè)粒子，對(duì)它們進(jìn)行以貝爾糾纏態(tài)為基的測(cè)量(叫作貝爾測(cè)量)，并將測(cè)量結(jié)果以經(jīng)典通信通知控制第二個(gè)粒子的Bob，后者對(duì)第二個(gè)粒子采取相應(yīng)操作。

Alice對(duì)第一個(gè)和第三個(gè)粒子進(jìn)行貝爾測(cè)量后，她知道三個(gè)粒子狀態(tài)成為上面(12)式右邊的4項(xiàng)之一，將結(jié)果告訴Bob，Bob相應(yīng)地做上式寫在|γ〉前面操作的逆操作(碰巧等于原操作)。這樣最后得到的第二個(gè)粒子的狀態(tài)總是|γ〉。如果Alice得到|ψ+〉，Bob不做任何操作；如果Alice得到|ψ-〉，Bob得知結(jié)果后，做Z操作；如果Alice得到|φ+〉，Bob得知結(jié)果后，做X操作；如果Alice得到|ψ〉-，Bob得知結(jié)果后，做XZ操作。

粒子本身沒(méi)有被傳送，是量子態(tài)被傳送，而該量子態(tài)原來(lái)的載體(第一個(gè)粒子)則改變了量子態(tài)，事實(shí)上變成與第二個(gè)粒子處于一個(gè)糾纏態(tài)，而且經(jīng)典通信起了重要作用。這樣，雖然Alice和Bob不知道|γ〉是什么，但是從第一個(gè)粒子傳到了第二個(gè)粒子。注意，一個(gè)關(guān)鍵的步驟是甲將測(cè)量結(jié)果通知乙，否則是不可能實(shí)現(xiàn)的。妙處是甲和乙都不知道被傳的狀態(tài)，而且粒子本身沒(méi)有傳送。

量子糾纏和量子隱形傳態(tài)都不可能瞬間傳遞信息。如果Alice不將測(cè)量結(jié)果通知Bob，后者是觀測(cè)不到第二個(gè)粒子的任何變化的，觀測(cè)結(jié)果與塌縮前的量子態(tài)也是完全融洽的(因?yàn)橛须S機(jī)性)。因此這里沒(méi)有超光速信號(hào)的傳輸，量子糾纏并不違反相對(duì)論。對(duì)相對(duì)論的遵守也體現(xiàn)在量子隱形傳態(tài)中，Alice必須將測(cè)量結(jié)果告訴Bob。事實(shí)上，任何信號(hào)傳輸都不能超過(guò)光速。

1997年，塞林格組[50]和De Martini組[51]分別在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了量子隱形傳態(tài)。

正如量子隱形傳態(tài)的最初理論文章中也提到的，量子隱形傳態(tài)可以推廣如下：粒子1和2處于一個(gè)貝爾糾纏態(tài)，粒子3和4處于另一個(gè)同樣的貝爾糾纏態(tài)。粒子2和3一起被做貝爾測(cè)量，結(jié)果粒子1和4就會(huì)處于一個(gè)糾纏態(tài)，雖然它們沒(méi)有相遇。這可以從下式看出：

塞林格參與的一個(gè)理論工作將之稱為糾纏交換，并指出這可以用于檢測(cè)糾纏對(duì)的產(chǎn)生[52]。1998年，塞林格組在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了糾纏交換[53]。中國(guó)學(xué)者潘建偉作為研究組成員參加了量子隱形傳態(tài)和糾纏交換實(shí)驗(yàn)。

量子技術(shù)的一個(gè)重要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離的量子糾纏。其中一個(gè)技術(shù)途徑是用光纖，但是光有衰減，所以需要中繼，然而量子態(tài)不能被復(fù)制，因此與經(jīng)典中繼器不同。

一個(gè)方法是借助衛(wèi)星，因?yàn)榇髿庖陨系淖杂煽臻g中，光衰減很小。中國(guó)的潘建偉研究團(tuán)隊(duì)用2016年發(fā)射的墨子號(hào)衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)了這個(gè)方案，實(shí)現(xiàn)了北京附近的興隆與烏魯木齊附近的南山之間(相距1 200 km)的BB84方案(Bennett和Brassard1984年的方案，不需要量子糾纏[54])的密鑰分發(fā)[55]。不用衛(wèi)星，但是作為衛(wèi)星工作的技術(shù)準(zhǔn)備，他們?cè)谇嗪：浇鼘?shí)現(xiàn)了約100 km距離的量子糾纏、量子隱形傳態(tài)和Bell-CHSH不等式違反(S=2.51±0.21，無(wú)局域性漏洞)[56]。然后用衛(wèi)星，又將糾纏光子分發(fā)到青海的德令哈和云南的麗江之間(相距1 203 km)，觀察到雙光子糾纏以及Bell-CHSH不等式違反(S=2.37±0.09，無(wú)局域性漏洞)[57]。后來(lái)，又與塞林格組合作，實(shí)現(xiàn)了在中國(guó)與奧地利之間的密鑰分配(無(wú)量子糾纏)[58]。衛(wèi)星還有望取得進(jìn)一步成就[59]。

另一個(gè)途徑是所謂量子中繼器，基于糾纏交換，通過(guò)多個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)程糾纏。除了有效的糾纏交換，還需要好的量子存儲(chǔ)，因?yàn)樵谝环降脑S多次糾纏交換過(guò)程中，另一方必須保持量子態(tài)不變。這些技術(shù)結(jié)合起來(lái)，可以導(dǎo)致全球量子網(wǎng)絡(luò)的建立。

1991年，Artur Ekert提出一種基于量子糾纏態(tài)的量子密鑰分配方案[60]——這叫Ekert91方案。Alice和Bob共享來(lái)自一個(gè)獨(dú)立源的處于|ψ_〉的糾纏量子比特(自旋、光子偏振或者其他載體)。他們分別隨機(jī)在3個(gè)方向(a1, a2, a3) 和(b1, b2, b3)測(cè)量所擁有的量子比特。(a1, a2, a3)分別是90°、135°、180°方向，(b1, b2, b3)分別是135°、180°、225°方向。a1、a3、b1、b3方向的測(cè)量結(jié)果(可以公開)用來(lái)檢驗(yàn)貝爾不等式。通過(guò)檢驗(yàn)貝爾不等式是否違反，可以發(fā)現(xiàn)通道是否安全可靠、沒(méi)有竊聽。然后可以用a2和a3，也就是b1和b2方向的完美反關(guān)聯(lián)的測(cè)量結(jié)果生成密鑰。2006年，塞林格組以144 km距離，實(shí)現(xiàn)了這個(gè)方案[61]。他們檢驗(yàn)CHSH不等式的S是2.508±0.037，表明貝爾不等式的違反達(dá)到13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。2022年，3個(gè)組用沒(méi)有漏洞的貝爾測(cè)試，實(shí)現(xiàn)了這個(gè)方案[62-64]。

作為密鑰方案，也可以不檢驗(yàn)貝爾不等式，而是獨(dú)立去測(cè)量X或Z算符，結(jié)果應(yīng)該是反關(guān)聯(lián)的[65]。然后類似BB84方案，用一些結(jié)果作錯(cuò)誤率分析，檢驗(yàn)有無(wú)竊聽。如果沒(méi)有竊聽，就可以生成密鑰。這叫BBM92方案。2020年，墨子衛(wèi)星將糾纏光子分發(fā)到德令哈和南山(相距1 120 km)，實(shí)現(xiàn)了Ekert91和BBM92方案，而且違反Bell-CHSH不等式的S是2.56±0.07，達(dá)到8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差[66]。2022年，墨子衛(wèi)星將糾纏光子對(duì)分發(fā)到德林哈和麗江(相距1 200 km），然后在兩個(gè)地面站之間實(shí)現(xiàn)了量子隱形傳態(tài)[67]。

多個(gè)粒子的量子糾纏是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的基礎(chǔ)，而且也是理解多體量子態(tài)的重要概念。

7 結(jié)束語(yǔ)

愛因斯坦揭示了量子力學(xué)與局域?qū)嵲谡摰臎_突，貝爾將其定量化，CHSH將其推廣用于實(shí)際實(shí)驗(yàn)。為了檢驗(yàn)貝爾不等式，實(shí)驗(yàn)技術(shù)不斷提高。發(fā)展至今，從這個(gè)小眾領(lǐng)域生長(zhǎng)出與量子調(diào)控和量子信息科技等密切相關(guān)的大領(lǐng)域。量子糾纏成了有力工具，為量子技術(shù)新紀(jì)元打下基礎(chǔ)，是所謂第二次量子革命的基礎(chǔ)，在量子計(jì)算、量子模擬、量子通信、量子度量與傳感等方面扮演重要角色。作為實(shí)驗(yàn)工作，2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)成果為量子技術(shù)的發(fā)展打下基礎(chǔ)。