呂巖，曹菲，楊劍，馮曉偉，何川

（1. 火箭軍工程大學(xué) 核工程學(xué)院，陜西，西安 710025；2. 中國人民解放軍 96746 部隊(duì)，新疆，庫爾勒 841000；3. 火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，陜西，西安 710025）

陣列信號(hào)處理作為一種空間濾波技術(shù)，可通過調(diào)整陣元權(quán)值控制波束形成，使其在期望信號(hào)(signal of interest, SOI)方向形成高增益波束，同時(shí)抑制干擾信號(hào)方向的增益. 目前，波束形成算法已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、地震波監(jiān)測、通訊和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1?3]. 極化陣列[4]不同于傳統(tǒng)相控陣，能夠獲取空間電磁波的極化方式信息，從而將信號(hào)極化域和空域信息相結(jié)合，可有效克服空域?yàn)V波的不足[5?6].

自適應(yīng)波束形成算法在信號(hào)模型出現(xiàn)陣元位置擾動(dòng)和波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)誤差時(shí)，性能將會(huì)嚴(yán)重下降. 為了提升波束形成的穩(wěn)健性，對(duì)角加載技術(shù)被廣泛應(yīng)用于陣列信號(hào)處理中. 廣義線性組合(general linear combination, GLC)算法[7]是一種在最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)準(zhǔn)則下估計(jì)陣列理論協(xié)方差矩陣的算法，能夠依據(jù)采樣協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)自動(dòng)確定對(duì)角加載量(diagonal loading level, DLL)，從而提升有限快拍條件下陣列波束形成的穩(wěn)健性. WANG等[8]中提出了一種使用兩種收縮方案的改進(jìn)GLC算法，分別使用原GLC 算法和經(jīng)指數(shù)矩陣改進(jìn)的GLC 算法確定DLL，獲得了更高的輸出信干噪比.KE 等[9]首先研究了不同算法在快拍數(shù)和傳感器數(shù)量較大時(shí)的性能，并針對(duì)GLC 算法的不足，提出了結(jié)合數(shù)據(jù)降噪預(yù)處理和MMSE 準(zhǔn)則估計(jì)真實(shí)協(xié)方差矩陣的自動(dòng)確定DLL 算法，該算法在高快拍和多傳感器條件下性能優(yōu)于其他算法，但在快拍數(shù)較低時(shí)，過大的DLL 將會(huì)影響陣列輸出的信干噪比.GAN 等[10]基于高斯分布提出了一種改進(jìn)的GLC 算法，該算法在保持GLC 算法性能的同時(shí)具有更低的計(jì)算復(fù)雜度. YUAN[11]通過添加協(xié)方差矩陣相關(guān)的系數(shù)對(duì)GLC 算法收縮矩陣進(jìn)行改進(jìn)，得到了比GLC算法更大的DLL，但該算法在輸入信噪比較高時(shí)性能受限.

為了提升極化敏感陣列波束形成的穩(wěn)健性，本文將GLC 算法應(yīng)用于極化敏感陣列. 分析了信噪比較高時(shí)，GLC 算法在陣元擾動(dòng)和SOI 存在DOA 誤差情況下的輸出信干噪比隨快拍數(shù)增加而下降的原因，并提出了一種結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的改進(jìn)GLC 算法. 所提算法依據(jù)SCM 特征值相關(guān)參數(shù)的大小，對(duì)信噪比進(jìn)行判斷. 信噪比較高時(shí)，采用改進(jìn)GLC 算法計(jì)算DLL；信噪比較低時(shí)，采用原GLC 算法計(jì)算DLL. 最后，通過主瓣干擾條件下的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的性能.

1 信號(hào)模型

如圖1 所示，考慮一個(gè)由N組正交偶極子對(duì)組成的均勻線陣，陣元間距為入射信號(hào)半波長d=λ/2，每組正交偶極子分別沿X軸和Y軸放置.

圖1 極化陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of polarization array

假設(shè)遠(yuǎn)場空間中存在1 個(gè)SOI 分量s0(t)和J個(gè)互不相關(guān)的干擾信號(hào)s1(t),s2(t),···,sJ(t)（均為窄帶信號(hào)），其中SOI 的DOA 為 [θ0,φ0]， 干擾信號(hào)DOA 為[θ1,φ1],[θ2,φ2],···,[θJ,φJ(rèn)]， 則 陣 列 在 瞬 時(shí) 時(shí) 刻t接 收 到 的 信號(hào)為

式中：ai=?為極化-空域聯(lián)合導(dǎo)向矢量；n(t)為加性高斯復(fù)噪聲； ?表示Kronecker 乘積運(yùn)算；表示極化導(dǎo)向矢量分量[12]：

式中：Bi表示入射信號(hào)在各電偶極子上的投影矩陣；gi為 入 射 信 號(hào) 的 極 化 信 息； γi和 ηi代 表 極 化 參 數(shù)，tanγi=AY/AX表示電場極化幅度比，滿足 γi∈[0,π/2]，ηi=?Y??X為電場極化相位差， ηi∈[0,2π]. 為便于分析，假設(shè)入射信號(hào)位于XOY平面內(nèi)，則可得

則陣列接收數(shù)據(jù)X(t)的協(xié)方差矩陣為[13]

式中：E(·)表 示期望運(yùn)算； (·)H代 表Hermitian 轉(zhuǎn)置運(yùn)算；表示入射信號(hào)功率；為 噪聲功率，I代表單位矩陣；Ri+n為理想的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣. 基于Capon 波束形成器(standard Capon beamformer, SCB)，陣列的最優(yōu)權(quán)值矢量和最優(yōu)輸出信干噪比可表示為

2 GLC 算法及改進(jìn)

2.1 極化陣列GLC 算法

對(duì)角加載技術(shù)[14?15]可以使SCM 的小特征值散布程度變低，從而提升波束形成的穩(wěn)健性，尤其在快拍數(shù)較低的情況下，對(duì)角加載算法對(duì)方向圖的穩(wěn)定性和輸出信干噪比的提升效果較為顯著，但最優(yōu)DLL 的選取相對(duì)困難. GLC 算法可根據(jù)SCM 參數(shù)自動(dòng)確定DLL，描述如下：

在GLC 算法中，RX被估計(jì)為

其中，K為快拍數(shù). 式(8)中， α 和 β可通過MMSE 方法獲得

經(jīng)過推導(dǎo)，可得

其中:

其中， tr(·)表示矩陣求跡運(yùn)算. 經(jīng)過GLC 算法計(jì)算極化陣列模型的DLL，可得陣列的權(quán)值矢量.

此時(shí)，波束形成器輸出的信干噪比為

2.2 GLC 算法的不足

根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，隨著快拍數(shù)的增加，由GLC算法所得的DLL 逐漸降低并趨近于0，此時(shí)將逐漸接近于理論協(xié)方差矩陣RX，為便于理論推導(dǎo)，使用RX代 替SCM 進(jìn)行后續(xù)分析. 若SOI 的導(dǎo)向矢量a0不存在誤差，則陣列輸出的信干噪比為

在實(shí)際應(yīng)用中，由于存在SOI 的DOA 誤差或者陣元位置擾動(dòng)，a0無法準(zhǔn)確獲取. 假設(shè)估計(jì)的SOI 導(dǎo)向 矢 量 為ad，和a0之 間 滿 足：ad=a0+ae， 其 中ae表 示兩者之間的誤差. 將ad和RX代入式(16)求出權(quán)值矢量，并代入式(17)計(jì)算陣列輸出為

利用矩陣求逆公式，根據(jù)式(5)可得

將式(20)代入式(18)和式(19)，并計(jì)算兩者之間的差值：

式中： Λ為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素表示Ri+n的特征值；U為對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的矩陣. 將式(23)代入Θ可得

將式(24)中Cad記 為c1，Ca0記 為c2，可得：

由式(25)可知 Θ ≤1， 代入式(22)，可得 S INRdif>0，且SCM 中所含的SOI 功率越大或者ae越 大，則SINRdif也隨之增大. 可得結(jié)論：當(dāng)信噪比較高時(shí)，若陣列模型存在DOA 誤差或陣元位置擾動(dòng)誤差，此時(shí)隨著快拍數(shù)的增加，由GLC 算法所得的陣列輸出要遠(yuǎn)低于不存在誤差時(shí)的輸出 SINRpol.

2.3 改進(jìn)GLC 算法

由2.2 節(jié)可知，快拍數(shù)較高時(shí)，若陣列模型出現(xiàn)誤差將導(dǎo)致GLC 算法性能下降，因此需要在原GLC算法的基礎(chǔ)上，提升其在高快拍時(shí)的DLL. 根據(jù)式(11)和式(12)，可得

本文采取放大式(14)中的參數(shù) ε提升DLL，為使調(diào)整后的DLL 與快拍數(shù)相關(guān)，在 ε基礎(chǔ)上乘以一個(gè)系數(shù)項(xiàng)，構(gòu)造?ε

其中k為當(dāng)前陣列接收的快拍數(shù)， ρ ∈[0,1]表示階次，易知 ε?>ε. 從式(27)可以看出，使用 ε? 代 替 ε能夠達(dá)到提升DLL 的目的. 根據(jù)文獻(xiàn)[9]，當(dāng)快拍數(shù)較低時(shí)，DLL 過大會(huì)使陣列輸出信干噪比降低，因此所提算法需要在低快拍時(shí)保持原GLC 算法的性能，快拍數(shù)較高時(shí)能夠隨之增大DLL. 基于以上分析，構(gòu)造轉(zhuǎn)換函數(shù)為

其中，Kfix∈[1,K]為設(shè)定的快拍轉(zhuǎn)換參數(shù). 由式(28)可知，當(dāng)k≤Kfix時(shí) ， χ(k)≈1； 當(dāng)k>Kfix時(shí) ， χ(k)≈kρ+1.假設(shè)k∈[0,500]，Kfix=200， ρ分別為1/3、1/2、2/3 的曲線如圖2 所示.

圖2 轉(zhuǎn)換函數(shù)曲線Fig.2 Curve of transformation function

將原GLC 算法中式(14)修改為

根據(jù)式(29)可知，當(dāng)k≤Kfix時(shí) ， χ(k)≈1，與原GLC算法一致；當(dāng)k>Kfix時(shí) ， ε? 被 放大 χ(k)倍，致使DLL 較原GLC 算法有所提升.

式中： δn為 降序排列的特征值；un代表與之對(duì)應(yīng)的特征向量；D表示入射信號(hào)數(shù)量，前D個(gè)特征值屬于信號(hào)加干擾子空間，其余 2N?D個(gè)較小特征值構(gòu)成噪聲子空間. 陣列入射信號(hào)的個(gè)數(shù)可使用信源數(shù)量估計(jì)算法獲得[16]，所以類似于文獻(xiàn)[17]，本文假設(shè)D已知.干擾信號(hào)功率一般遠(yuǎn)大于SOI 和噪聲功率，因此能夠通過特征值 δD的幅度判斷信噪比的高低程度. 根據(jù)文獻(xiàn)[18]的判定方法，當(dāng)輸入信噪比較高時(shí)，所有較小特征值的和小于最小信號(hào)子空間特征值和最大噪聲子空間特征值的差值，即

定義不等式(31)中的參數(shù)：

當(dāng) ζ1>ζ2時(shí)，判定為信噪比較高，此時(shí)需采用結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的GLC 算法計(jì)算DLL；反之當(dāng) ζ1＜ζ2時(shí)，則采用原GLC 算法計(jì)算DLL.

2.4 算法步驟

根據(jù)以上分析，總結(jié)所提算法步驟如下.

②根據(jù)式(32)和式(33)計(jì)算參數(shù) ζ1與 ζ2， 若ζ1＜ζ2，則執(zhí)行步驟(4)，否則執(zhí)行步驟(3)；

④根據(jù)式(13)、(14)和(15)計(jì)算 υ、 ε和l，確 定DLL，轉(zhuǎn)步驟(5)；

⑤根據(jù)式(16)計(jì)算陣元權(quán)值矢量，算法結(jié)束.

3 仿真分析

仿真基于極化敏感均勻線性陣列，正交偶極子對(duì)數(shù)量N=10，入射信號(hào)頻率設(shè)置為2.2 GHz，陣元間距為入射信號(hào)半波長. 入射信號(hào)的極化參數(shù)設(shè)置為：γ0=γ2=45?、γ1=30?、η0=180?、 η1=150?、 η2=70?.空 域參 數(shù)設(shè)置為：SOI 的DOA 為 θ0=25?、干擾信號(hào)DOA 為 θ1=?15?和 θ2=22?. 當(dāng)存在陣元位置擾動(dòng)誤差時(shí)，設(shè)定其隨機(jī)分布在[(n?1)d?0.05λ,(n?1)d+0.05λ]范圍內(nèi)；SOI 存在DOA 誤差時(shí)，設(shè)置其隨機(jī)分布在[θ0?2?,θ0+2?]范 圍內(nèi)，其中 θ0代表真實(shí)DOA. 仿真中信噪比設(shè)置為較高值等于10 dB（3.4 節(jié)除外）、干噪比設(shè)置為20 dB、快拍數(shù)量取10～500 拍，仿真中所得的結(jié)果均為200 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后的平均值.

3.1 算法參數(shù)選取

根據(jù)式(28)可知，所提算法需要確定的參數(shù)分別為階次 ρ和快拍轉(zhuǎn)換參數(shù)Kfix. 假設(shè)陣元位置擾動(dòng)和SOI 的DOA 誤差同時(shí)存在，選取 ρ分別等于0、1/6、2/6、3/6、4/6、5/6 和1 繪制陣列輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化的曲線如圖3 所示. 在構(gòu)造轉(zhuǎn)換函數(shù)過程中，為保證低快拍時(shí) χ(k)≈1， 需向系數(shù)項(xiàng)kρ中添加常數(shù)1，圖3 一并對(duì)比了采用式(27)和式(34)對(duì)陣列輸出信干噪比的影響，其中式(34)為

從圖3 可以看出，階次較低時(shí)，由式(27)和式(34)所得的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的升高出現(xiàn)較大差異，且呈現(xiàn)出逐漸下降的趨勢，表明DLL 不足. 當(dāng)階次設(shè)置為 ρ=1/2時(shí)，高快拍條件下陣列輸出的信干噪比要比其他階次更優(yōu)，并且此時(shí)采用式(27)和式(34)計(jì)算DLL 所得的輸出信干噪比曲線基本一致，因此設(shè)置階次 ρ=1/2. 為使所提算法在低快拍時(shí)保持原GLC 算法性能，高快拍時(shí)能夠利用轉(zhuǎn)換函數(shù)提高DLL，選擇 ρ=1/2與原GLC 算法的曲線交點(diǎn)作為快拍轉(zhuǎn)換參數(shù)，設(shè)置Kfix=70.

圖3 不同階次輸出信干噪比的變化趨勢Fig.3 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different orders

3.2 陣元擾動(dòng)對(duì)陣列輸出信干噪比的影響

為驗(yàn)證所提算法性能，將其與SCB、HKB[7](Hoerl-Kennard-Baldwin)、原GLC 算法和GLC 的一種改進(jìn)算法LS-TMMSE[9]相對(duì)比. 圖4 和圖5 分別為不同算法輸出信干噪比和DLL 隨快拍數(shù)的變化趨勢.

圖5 對(duì)角加載量對(duì)比Fig.5 Comparison of average diagonal loading levels

根據(jù)圖4 可知，由于主瓣內(nèi)部存在一個(gè)干擾信號(hào)，導(dǎo)致最優(yōu)信干噪比較非主瓣干擾有所降低，但因該干擾和SOI 的極化參數(shù)存在一定差異，使得最優(yōu)信干噪比仍能夠達(dá)到較高水平. 其中，非主瓣干擾條件下陣列輸出的最優(yōu)信干噪比為[19]

圖4 不用算法輸出信干噪比的變化趨勢Fig.4 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different algorithms

其 中 SNRin表 示SOI 的 功 率， lg(·)為 取 以10 為 底 的 對(duì)數(shù)運(yùn)算. 從圖4 還可以看出，對(duì)角加載類算法輸出的信干噪比均大于SCB. 當(dāng)快拍數(shù)較低時(shí)，由于所提算法的轉(zhuǎn)換函數(shù)值約等于1，所以該算法性能和原GLC 算法保持一致；隨著快拍數(shù)的升高，GLC 算法性能嚴(yán)重下降，輸出信干噪比均低于其他算法；與之相異，由于所提算法利用轉(zhuǎn)換函數(shù)有效提高了DLL，在快拍數(shù)較高時(shí)輸出信干噪比達(dá)到了最高，并且變化趨勢較為穩(wěn)定. 從圖5 可知，LS-TMMSE 算法由于在低快拍時(shí)采用較大的DLL，所以其性能不及GLC算法. GLC 算法隨快拍數(shù)升高DLL 逐漸趨于0，而所提算法在快拍數(shù)較高時(shí)的DLL 大于GLC 算法，因此使陣列具備更好的穩(wěn)健性能.

3.3 陣元擾動(dòng)加DOA 誤差對(duì)陣列輸出信干噪比的影響

圖6 和圖7 分別為不同算法輸出信干噪比與DLL 隨快拍數(shù)量的變化情況. 對(duì)比圖4 和圖6 可以看出，在陣元擾動(dòng)加DOA 失配的復(fù)雜條件下，所有算法輸出的信干噪比均有所降低，但所提算法在快拍數(shù)較高時(shí)仍優(yōu)于其他算法. 對(duì)比圖5 和圖7 可以發(fā)現(xiàn)，在快拍數(shù)較高時(shí)GLC 算法的DLL 趨近于0，所以GLC 算法輸出的信干噪比下降最為嚴(yán)重；相反，所提算法由于適度提高了DLL，從而使其輸出的信干噪比高于GLC 算法.

圖6 不同算法輸出信干噪比的變化趨勢Fig.6 Trends in output signal to interference plus noise ratio of different algorithms

圖7 對(duì)角加載量對(duì)比Fig.7 Comparison of average diagonal loading levels

3.4 輸入信噪比對(duì)陣列輸出信干噪比的影響

主要檢驗(yàn)主瓣干擾條件下，陣元擾動(dòng)和陣元擾動(dòng)加DOA 誤差兩種情況時(shí)，輸入信噪比變化對(duì)陣列輸出信干噪比的影響，快拍數(shù)設(shè)置為K=300. 圖8 為陣列輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線，可以看出所提算法的性能優(yōu)于GLC 算法，尤其在信噪比較高時(shí)性能差異較為明顯. 當(dāng)信噪比較低時(shí)，LSTMMSE 算法輸出的信干噪比較所提算法略高，隨著信噪比的提升，所提算法超過了其余算法，使陣列獲得了更優(yōu)的輸出.

圖8 信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線Fig.8 Signal to interference plus noise ratio of different algorithms versus input signal to noise ratio

4 結(jié) 論

①本文將GLC 算法應(yīng)用于極化敏感陣列，根據(jù)SCM 特征值相關(guān)參數(shù)的大小判定信噪比，從而選擇不同的DLL 計(jì)算策略；

②分析了信噪比較高時(shí)，GLC 算法性能下降的原因，提出了一種結(jié)合轉(zhuǎn)換函數(shù)的改進(jìn)GLC 算法，所提算法能夠在低快拍時(shí)保持GLC 算法的性能優(yōu)勢，當(dāng)快拍數(shù)較高時(shí)，通過增大DLL 進(jìn)一步提升了極化陣列在復(fù)雜誤差條件下波束形成的穩(wěn)健性；

③通過陣元擾動(dòng)和陣元擾動(dòng)加DOA 誤差主瓣干擾條件下的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提算法在輸入信噪比和快拍數(shù)較高時(shí)的性能均優(yōu)于原GLC 算法和其他幾種典型算法.