劉廣彥，熊土林，王璐，文磊

（1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2. 北京科技大學 國家材料服役安全科學中心，北京 100083）

機械加工過程會引起殘余應力，而殘余應力會對構件的力學性能產(chǎn)生重要影響[1]，例如它可能會降低構件屈服極限[2]，縮短構件疲勞壽命[3]，造成應力腐蝕開裂[4]等. 因此消除殘余應力通常對提升構件的力學性能具有重要意義，而了解構件內部殘余應力場分布對去應力加工起著關鍵的作用. 殘余應力可通過無損測量法或有損測量法[5]獲得. 無損測量法在不破壞構件的情況下通過物理手段來獲取其殘余應力，例如X–射線衍射法、同步輻射法等. 有損測量法則是通過對構件施加機械破壞，根據(jù)構件變形的重新分布計算出殘余應力，例如鉆孔法、剝層法等. 然而上述殘余應力測量方法只能獲得構件有限測點的殘余應力值，無法獲得全場殘余應力分布，發(fā)展一種根據(jù)有限測點的殘余應力值重構構件全場殘余應力分布的方法具有重要的應用價值.

構件全場殘余應力可通過插值法[6]、有限元模擬[7?8]等方法獲得，但插值法本質上是一種數(shù)學方法，未考慮殘余應力分布需要滿足的物理屬性；而有限元模擬在實際工程中由于缺乏對加工工藝的深入了解會導致較大的殘余應力預測誤差. 發(fā)展從有限實驗測點值重構出帶有力學約束的殘余應力場的方法在過去10 年受到廣泛關注[9]. JUN 等[10]提出了本征應變法重構全場殘余應力，該方法通過求解滿足平衡方程、物理方程的本征應變場從而重構出構件殘余應力場. 在本征應變法基礎上, COULES 等[11]，CHUKKAN等[12]還開發(fā)了一種平滑逆本征應變方法，用于由有限應變測量結果重建殘余應力場，從而抑制了與問題物理規(guī)律相反的波動. 然而本征應變法需要預先知道構件本征應變的分布區(qū)域，否則重構復雜的殘余應力場將變得十分困難. 一種可替代的重構方法是應力函數(shù)法[13]，應力函數(shù)法通過構造滿足平衡方程、邊界條件的應力函數(shù)重構殘余應力場. FARRAHI等[14]使用應力函數(shù)法重構了厚壁圓筒的殘余應力場. FAGHIDIAN 等[9]使用修正應力函數(shù)法重構了不同深度位置處受噴丸工藝影響的三維噴丸板殘余應力. 王鳳云[15]利用傅里葉級數(shù)形式的應力函數(shù)對四點彎試件的殘余應力場進行了有效重構. 然而，由于殘余應力的分布具有高度的非線性，不同工藝下的殘余應力場往往需要不同的應力基函數(shù)表達. 此外，由于難以構造合適的基函數(shù)，現(xiàn)有應力函數(shù)法大多僅限于一維殘余應力的重建，即只能得到構件沿某一特定方向的殘余應力分布，針對構件真實復雜殘余應力場重構的應力函數(shù)法目前文獻中還報道較少.

為了改善應力函數(shù)法的上述不足，本文發(fā)展了一種更為有效的殘余應力場重構方法，即選擇雙元傅里葉函數(shù)作為應力函數(shù)逼近任意殘余應力場分布規(guī)律，通過優(yōu)化算法反向識別應力函數(shù)中的未知參數(shù). 提出的方法可通過模型階數(shù)確定重構殘余應力場需要的測點個數(shù)，避免了測點選擇的盲目性，在預測復雜殘余應力分布方面具有通用性. 需要指出的是在工程實際中應用本文的方法進行預測時，由于滿足有限測點的殘余應力場并不唯一，為了提升重構殘余應力場的精度，確定模型階數(shù)可能需要一定的經(jīng)驗以避免重構場的過擬合或者通過補充測點等策略解決過擬合問題.

1 殘余應力場重構理論

1.1 應力函數(shù)法

物體的殘余應力在沒有外力和熱梯度情況下保持自平衡狀態(tài)[16]，殘余應力應當滿足平衡方程：

物體的自由邊界上不存在面力，因此殘余應力滿足邊界條件：

式中l(wèi)、m和n為邊界外法線方向余弦，如在垂直于z軸的表面上，有

將式(3)帶入式(2)中，求解方程可得:

聯(lián)立式(1)(4)可得:

對于平面問題，為了滿足平衡方程(5)，可引入艾瑞應力函數(shù) φ(x,y)，應力分量與應力函數(shù)的關系為

現(xiàn)有文獻中使用1 個應力函數(shù)來同時表征3 個應力分量( σx、 σy、 τxy)的研究還鮮有報道，這主要是由于很難找到1 個合適的應力函數(shù)使得所有應力分量同時滿足實測散點殘余應力，以及平衡方程和邊界條件給定的力學約束.

應力函數(shù)是解析函數(shù)，可用三角級數(shù)的展開式來表達，本文選取雙元傅里葉級數(shù)來表示艾瑞應力函數(shù)，可逼近任意復雜的應力分布形式：

式中：N為用來預測殘余應力場需要的模型展開項數(shù)，稱為模型階數(shù)；aj,k、bj,k(j,k=0,1,···,N)為待確定的未知系數(shù)；x′′、y′′為 [0,π]范 圍內的獨立變量，且x′′=π(x?xmin)/(xmax?xmin)，y′′=π(y?ymin)/(ymax?ymin)，其 中xmin、xmax分 別 為x坐標的最小值 和最大值，ymin、ymax分別為y坐標的最小值和最大值.

將式(7)帶入式(6)，可得：

為了求解殘余應力，首先需要確定應力分量表達 式 中 的 未知 參 數(shù). 由 式(8)～(10)可 知 σx、 σy和τxy分別包含N2+N、N2+N和N2?N個待確定參數(shù). 確定未知參數(shù)的過程是一個反問題，可通過優(yōu)化算法使目標函數(shù)最小化而獲得. 目標函數(shù)反映的是重構殘余應力與真實測點殘余應力的誤差關系，定義為：

1.2 確定模型階數(shù)

通常構件上的殘余應力不能被充分測量，由式（8）～（10）可知，未知參數(shù)的個數(shù)隨著模型階數(shù)N增大而顯著增多，因此選擇合適的模型階數(shù)很關鍵. 為了得到合適的模型階數(shù)，引入判定系數(shù)R2:

判定系數(shù)是用來衡量回歸擬合程度的度量，取值范圍為0≤R2≤1,數(shù)值越接近1 代表擬合程度越高.模型階數(shù)可通過求解不同N與對應的R2關系，然后選擇使判定系數(shù)趨于1 的階數(shù)來確定.

2 殘余應力場重構方法驗證及應用

2.1 三點彎試件模擬殘余應力場重構

圖1 為理想彈塑性材料三點彎有限元模型，模型尺寸為100 mm×20 mm. 有限元模型在ABAQUS 軟件中被離散成2 000 個4 節(jié)點四邊形單元(CPS4R)，單元尺寸為1 mm×1 mm. 模型下端左右兩側為支撐剛體；中間頂部為剛體加載柱，用于施加外載荷. 梁的彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，屈服強度為300 MPa.通過對模型施加大小為2 500 N 的集中力使其發(fā)生塑性變形，完全卸載后模型內仍存在應力場（圖2），本研究將此應力場作為三點彎試件的殘余應力場驗證應力函數(shù)重構法的有效性.

圖1 三點彎試件有限元模型Fig.1 Finite element model of three-point bending specimen

圖2 三點彎試件模擬殘余應力場Fig.2 Simulated residual stress field of three-point bending specimen

為了確定式（7）中合適的模型階數(shù)，本研究首先對有限元模型（圖1）中A-A線和B-B線上的殘余應力進行了重構. 從A-A線和B-B線上均勻選取53 個測點數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化算法使其式（11）最小化，圖3 所示為A-A線和B-B線殘余應力重構的R2-N圖，該圖表明當模型階數(shù)N≥10 時，R2趨于平緩，且R2≥0.95,因此該模型選擇N=10 作為模型階數(shù). 圖4 所示為AA線和B-B線上殘余應力的重構結果，可以看出重構殘余應力與真實殘余應力分布較為一致.

圖3 模型階數(shù)與判定系數(shù)關系Fig.3 Relationship between model order and determination coefficient

從圖2 可知三點彎試件的殘余應力主要分布在中間對稱位置附近，其余位置殘余應力非常小或接近0. 本文選擇了對圖2 中數(shù)值較大的黑色虛線框內的殘余應力場進行重構，重構區(qū)域包含420 個節(jié)點.當模型階數(shù)N=10 時，式（8）～（10）中分別包含110、110、 90 個未知參數(shù). 為求解未知參數(shù)，已知應力分量數(shù)量應大于未知參數(shù)的數(shù)量. 本文從 σx、 σy和τxy場分別均勻選擇了140、140、110 個節(jié)點優(yōu)化獲得應力函數(shù)中的未知參數(shù). 圖5 所示為重構的殘余應力場，與圖2 對比可以看出重構的殘余應力場與目標殘余應力場較為吻合. 重構的3 個應力分量場的平均絕對誤差為10.3 MPa，與無損測量法測量精度保持一致.

圖5 三點彎重構殘余應力場Fig.5 Reconstruction of residual stress field of three-point bending

2.2 鋁合金板真實殘余應力場重構

本小節(jié)將第1 節(jié)所提出的應力函數(shù)法應用于真實鋁合金板的表面殘余應力場重構，邊長為70 mm的鋁合金方板如圖6 所示. 在鋁合金板表面均勻選取64 個測點，即圖6 中網(wǎng)格線的交匯處. 鋁合金板在500 °C 高溫下固溶2 h，通過X射線衍射法測量其表面各測點的殘余應力 σx和 σy. 對于該鋁合金板，使用所有測點數(shù)據(jù)進行重構來確定模型階數(shù)，圖7 所示為鋁合金板判定系數(shù)與模型階數(shù)的關系. 可以看出當N≥7 時，判定系數(shù)R2≥0.95，且判定系數(shù)隨著模型階數(shù)增大而趨于平緩，因此該鋁合金板的模型階數(shù)選為7. 式(8)～(9)包含未知參數(shù)數(shù)目分別為56和56 個，為了確定未知參數(shù)，64 個測點的殘余應力分量全部用于鋁合金的殘余應力重構. 圖8 為重構獲得的鋁合金板全場殘余應力 σx和 σy，可以看出重構殘余應力均為壓應力. 為了與實測結果進行比較，圖9 展示了鋁合金板8 條水平線上 σx、 σy，可以看出各測點應力均為壓應力，重構殘余應力光滑地擬合了實測點殘余應力.

圖6 鋁合金板及殘余應力測點位置Fig.6 Aluminum alloy plate and locations of residual stress measuring points

圖7 鋁合金板判定系數(shù)與模型階數(shù)的關系Fig.7 Relationship between determination coefficient and model order of aluminum alloy plate

圖8 鋁合金板重構殘余應力場Fig.8 Reconstructed residual stress field of aluminum alloy plate

圖9 重構殘余應力與實測殘余應力比較Fig.9 Comparison between reconstructed and measured residual stresses

3 結 論

為改進應力函數(shù)法重構殘余應力場時基函數(shù)難以選取的問題，本文使用雙元傅里葉函數(shù)作為應力函數(shù)來逼近任意殘余應力場分布，通過優(yōu)化算法確定應力函數(shù)中的未知參數(shù)，實現(xiàn)了復雜殘余應力場的重構，通過三點彎模擬殘余應力場驗證了該方法的準確性和可行性，并將其應用于真實鋁合金板殘余應力場重構，主要結論如下：

①使用傅里葉級數(shù)展開式作為艾瑞應力函數(shù)具有通用性，可表達復雜的殘余應力分布. 在三點彎模擬實驗中，本文同時重構3 個殘余應力分量，重構場具有較高的精度.

②需要重構的測點個數(shù)可通過計算模型階數(shù)確定，而模型階數(shù)與判定系數(shù)R2呈正相關關系，可通過判定系數(shù)R2確定，避免了選擇測點數(shù)目的盲目性.

③所提出的應力函數(shù)法應用于真實鋁合金板殘余應力重構具有較高的精度，85%以上測點處重構的殘余應力相對誤差在10%以內.