梁艷美 陸博? 古華光

1) (河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新鄉(xiāng) 453003)

2) (同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

具有重要、廣譜的生理功能的大腦新皮層神經(jīng)元表現(xiàn)出規(guī)則和快速峰放電、內(nèi)源性和連續(xù)型簇放電,受到兩個(gè)慢變量 (T 型鈣和鈣激活的鉀離子通道) 的調(diào)控 (Wilson 模型).若只選取更慢的慢變量進(jìn)行單慢變量的快慢變量分離,不能獲得Wilson 模型的簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,因?yàn)榇藭r(shí)的快子系統(tǒng)還含有另一個(gè)慢變量.因此,本文采用雙慢變量的快慢變量分離方法進(jìn)行分析.首先獲得快子系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔及分岔曲線與簇放電相軌線的交點(diǎn);基于兩個(gè)慢變量都不足夠慢導(dǎo)致的只有部分交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分岔與簇放電相關(guān),本文進(jìn)一步獲得三維空間中分岔曲線與相軌跡的位置關(guān)系,識(shí)別出與簇放電相關(guān)的分岔,并排除無關(guān)的分岔.結(jié)果發(fā)現(xiàn),內(nèi)源性簇放電與不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔有關(guān)、與鞍結(jié)分岔無關(guān),連續(xù)型簇放電與不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔和超臨界霍普夫分岔有關(guān)、與鞍結(jié)分岔無關(guān).本研究全面深入認(rèn)識(shí)了新腦皮層神經(jīng)元簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,為調(diào)控放電模式奠定了基礎(chǔ).

1 引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)單位,通過電活動(dòng)實(shí)現(xiàn)各種生理功能.神經(jīng)元電活動(dòng)主要包括峰放電 (spiking) 模式、簇放電 (bursting) 模式及靜息(resting state) 等[1],在感覺、認(rèn)知、運(yùn)動(dòng)控制和疾病等方面發(fā)揮著重要作用[2?5].峰放電模式表現(xiàn)出連續(xù)快速放電,而簇放電模式表現(xiàn)為簇 (burst,連續(xù)快速的放電峰(spike)) 與休止期的交替.揭示放電模式隨參數(shù)變化的轉(zhuǎn)遷規(guī)律或分岔序列有助于認(rèn)識(shí)神經(jīng)系統(tǒng)的功能.例如,溫度和鈣離子誘發(fā)神經(jīng)元電活動(dòng)從簇放電到峰放電的轉(zhuǎn)遷規(guī)律,分別與溫度和痛覺相關(guān)[6,7];鉀離子濃度調(diào)控峰放電到簇放電 (擴(kuò)散性抑制) 的轉(zhuǎn)遷與偏頭疼相關(guān)[8].除了放電模式隨參數(shù)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律,放電模式產(chǎn)生的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)及在外界調(diào)控下的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)也是神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的重要環(huán)節(jié).

簇放電模式的產(chǎn)生與慢變量調(diào)控有關(guān),快慢變量分離結(jié)合分岔已經(jīng)被廣泛用于揭示簇放電的內(nèi)在機(jī)制[9?12].神經(jīng)元系統(tǒng)可以分解為快子系統(tǒng)和慢變量,如Hindmarsh-Rose 模型和Chay 模型,是由二維快子系統(tǒng)和一個(gè)慢變量構(gòu)成的.這些模型的簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制已經(jīng)獲得較為全面和深入的理論認(rèn)識(shí).快子系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出峰放電、靜息以及峰放電與靜息之間的分岔;慢變量調(diào)控下簇放電行為會(huì)在快子系統(tǒng)的峰放電和靜息之間轉(zhuǎn)遷,簇的起始和結(jié)束對(duì)應(yīng)于快子系統(tǒng)的分岔[9].因此,不同的簇放電模式就是由簇的起始和結(jié)束的分岔不同所決定的.快慢變量分離已經(jīng)廣泛用于揭示不同調(diào)控下的簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)機(jī)制,如pre-B?tzinger 復(fù)合體 (pre-B?tzinger complex) 的簇放電[12?14].此外,具有時(shí)滯的突觸流與噪聲可以作用到快子系統(tǒng)的分岔點(diǎn)附近通過改變運(yùn)行軌跡來引起新的節(jié)律[15?20],而不具有時(shí)滯的多類調(diào)控可以通過改變快子系統(tǒng)分岔引起復(fù)雜的節(jié)律[21,22].這些復(fù)雜的放電節(jié)律還對(duì)興奮性作用引起放電增強(qiáng)或抑制性作用引起放電降低的傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn),豐富了非線性動(dòng)力學(xué)的內(nèi)涵[23?26].

雖然快慢變量分離能成功用于揭示只有單個(gè)慢變量的簇放電的動(dòng)力學(xué),但是,當(dāng)慢變量不足夠慢時(shí),簇的起始和結(jié)束相位與快子系統(tǒng)分岔點(diǎn)的位置關(guān)系會(huì)有些偏差[27].更為重要的是,在實(shí)際的神經(jīng)系統(tǒng)中,往往會(huì)受到兩個(gè)及兩個(gè)以上的慢變量的調(diào)控.例如,胰腺β細(xì)胞受到兩個(gè)慢速鉀電流的調(diào)控[28],偏頭疼出現(xiàn)時(shí)的海馬錐體神經(jīng)元受到鉀和鈉離子濃度兩個(gè)慢變量的調(diào)控[29],損傷神經(jīng)纖維受到細(xì)胞內(nèi)和內(nèi)質(zhì)網(wǎng)的鈣離子濃度兩個(gè)慢變量的調(diào)控[30].此外,還有描述新腦皮層神經(jīng)元電活動(dòng)的理論模型 (本文稱為Wilson 模型[31]),受到低閾值T 型鈣流和鈣激活的鉀離子超極化電流的調(diào)控等.如何對(duì)多個(gè)慢變量調(diào)控的簇放電進(jìn)行快慢變量分離獲得其內(nèi)在動(dòng)力學(xué)機(jī)制仍是有待解決的重要問題.最近,已有研究關(guān)注了兩種雙慢變量調(diào)控的簇放電動(dòng)力學(xué).一種是以胰腺β細(xì)胞[28]的簇放電為代表,兩個(gè)慢變量中的一個(gè)比另一個(gè)慢很多,此時(shí),將更慢的慢變量看作常數(shù)來簡(jiǎn)化模型,再進(jìn)行單慢變量的快慢變量分離.另一種是以海馬錐體神經(jīng)元中的簇放電為代表,兩個(gè)慢變量 (鉀和鈉離子濃度) 都特別慢.若只選擇其中一個(gè)慢變量進(jìn)行快慢變量分離,快子系統(tǒng)的分岔不能與簇的起始和結(jié)束相匹配,說明單慢變量的快慢變量分離對(duì)于分析具有雙慢變量的簇放電已經(jīng)失效[29].因此,文獻(xiàn)[29]將兩個(gè)慢變量同時(shí)看作分岔參數(shù),對(duì)快子系統(tǒng)進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析,獲得了多類余維–1 分岔曲線,簇放電的相軌跡與余維–1 分岔曲線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著簇的起始和結(jié)束.實(shí)際上,受兩個(gè)慢變量調(diào)控的簇放電還有很多不同的情形,例如,描述新腦皮層神經(jīng)元放電的理論模型—Wilson 模型的兩個(gè)慢變量都不足夠慢,與上述兩種都不同,可能需要提出新的雙慢變量的快慢變量分離的流程.

哺乳動(dòng)物新腦皮層在神經(jīng)系統(tǒng)高級(jí)功能的實(shí)現(xiàn)中起著廣泛和重要的作用.在新腦皮層神經(jīng)元觀察到4 類基本的放電形式[32?35]: 規(guī)則峰放電 (regular spiking,RS)、快速峰放電 (fast spiking,FS)、連續(xù)型簇放電 (continuous bursting,CB) 和內(nèi)源性簇放電 (intrinsic bursting,IB),涉及多類離子電流[36],例如鈉流、鉀流、T 型鈣流 (IT) 和鈣激活的鉀離子超極化電流(IAHP).RS 神經(jīng)元主要是第4 層的棘星細(xì)胞 (spiny stellate cells) 和第2,3,5 和6 層的錐體神經(jīng)元,起興奮性調(diào)控作用.FS 神經(jīng)元是非錐體細(xì)胞,例如,γ氨基丁酸能中間神經(jīng)元 (GABAergic interneurons)[37],與感覺及皮層節(jié)律有關(guān).FS 表現(xiàn)出后超極化 (after-hyperpolarization,AHP) 和高頻特性,是因?yàn)殁浟髟趶?fù)極化和AHP 中起重要作用[38].CB 神經(jīng)元主要是棘星細(xì)胞和第2,3,4 層的錐體神經(jīng)元,產(chǎn)生具有高頻峰的簇放電,簇內(nèi)峰的幅值明顯降低,簇通過后去極化 (after-depolarization,ADP) 結(jié)束[39].視覺誘發(fā)的GAMMA 振蕩與CB 神經(jīng)元的同步活動(dòng)相關(guān)[40].IB 神經(jīng)元在強(qiáng)直流作用下生成簇放電,然后在電流的作用下表現(xiàn)為伴隨ADP 的低頻峰放電.IB 神經(jīng)元對(duì)應(yīng)興奮性錐體神經(jīng)元,特別是在第5 層最為豐富.例如,IB 簇放電與癲癇[41]或慢波睡眠[42]有關(guān).因此,了解皮層神經(jīng)元的不同電活動(dòng)對(duì)于了解大腦皮層的正常功能和病理生理過程至關(guān)重要.

理論上,基于主要的離子流INa,IK,IT和IAHP的新皮層神經(jīng)元模型 (wilson model)[31]被提出,可以模擬FS,RS,IB 和CB 四種放電形式.已有諸多關(guān)于該模型的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)和單神經(jīng)元放電的動(dòng)力學(xué)的研究.例如,利用RS 或IB 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)研究動(dòng)作電位波形依賴于慢電導(dǎo)刺激[43]、多巴胺影響GAMMA 同步振蕩與注意力的關(guān)系[44],以及小世界耦合的RS 和IB 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步振蕩機(jī)制[45].在單神經(jīng)元中,研究了不同調(diào)控下的Wilson 模型的動(dòng)力學(xué)行為.例如,只調(diào)控直流激勵(lì)或同時(shí)調(diào)控IT和IAHP,誘發(fā)FS,RS,Bursting 和混沌等不同放電模式之間的躍遷,表明混沌可以通過加周期或倍周期分岔產(chǎn)生[46].但是,由于該模型為四維模型,含有兩個(gè)快變量和兩個(gè)慢變量,比一般的三維 (兩個(gè)快變量和一個(gè)慢變量) 的描述簇放電的動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜.因此,到目前還沒有對(duì)四維Wilson 模型的4 類放電特別是簇放電的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)的認(rèn)識(shí).該模型的復(fù)雜特性對(duì)于放電動(dòng)力學(xué)分析,特別是簇放電的分析帶來了困難,因此有許多研究對(duì)Wilson模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,簡(jiǎn)化為兩維或三維模型,并用于研究皮層神經(jīng)元的電活動(dòng)[47?52].但是,二維Wilson模型需要其他調(diào)控才能產(chǎn)生簇放電.到目前為止,對(duì)于Wilson 模型的復(fù)雜放電特別是簇放電的內(nèi)在動(dòng)力學(xué) (與快子系統(tǒng)的分岔的關(guān)系) 還沒有全面和深入研究,對(duì)于外界調(diào)控下的放電模式的諸多研究也未與內(nèi)在動(dòng)力學(xué)建立聯(lián)系,這是亟待解決的問題.

本文提出了適合于分析Wilson 模型簇放電的雙慢變量的快慢變量分離流程,利用單和雙慢變量的快慢變量分離來研究四維Wilson 模型峰放電和簇放電產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.首先,仿真了4 類放電及放電模式隨參數(shù)的變化規(guī)律.其次,利用單參數(shù)的快慢變量分離揭示了兩類峰放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.再次,發(fā)現(xiàn)單慢變量的快慢變量分離不能有效分析兩類簇放電,簇的開始或結(jié)束相位與快速子系統(tǒng)的分岔點(diǎn)不匹配,簇內(nèi)峰的幅值與極限環(huán)的幅值也不匹配.這是因?yàn)榭熳酉到y(tǒng)含有另一個(gè)慢變量不能作為快子系統(tǒng)而導(dǎo)致.為了克服這個(gè)問題,提出了新的雙慢變量的快慢變量分離的操作流程.將慢變量T和H都作為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù),在 (H,T)空間得到余維–2 分岔點(diǎn) (Bogdanov-Takens (BT)分岔和Cusp 分岔) 和多個(gè)余維–1 分岔曲線,包括不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔 (saddle-node on invariant circle bifurcation,SNIC)、亞臨界霍普夫分岔 (subcritical Andronov-Hopf bifurcation,SubHopf)、超臨界霍普夫分岔 (supercritical Andronov-Hopf bifurcation,SupHopf) 和鞍-同宿軌分岔 (saddle-Homoclinic orbit bifurcation,SHC).然后,在獲得簇放電的相軌跡與余維–1 分岔曲線在 (H,T) 平面上的交點(diǎn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步得到它們?cè)?(H,T,V) 三維空間中的位置關(guān)系,識(shí)別了交點(diǎn)中與簇的起始和結(jié)束的局部動(dòng)力學(xué)相關(guān)的分岔,并排除了無關(guān)的分岔,獲得了簇內(nèi)峰的幅值與穩(wěn)定極限環(huán)幅值的關(guān)系.本研究與兩個(gè)慢變量都很慢的錐體神經(jīng)元的結(jié)果[29]有兩處不同,一是簇放電的軌線與分岔點(diǎn)的位置有些許偏差,這由慢變量不夠慢導(dǎo)致;二是要在 (H,T,V) 三維空間中進(jìn)一步識(shí)別簇放電相軌跡和分岔的位置關(guān)系,識(shí)別出與簇放電相關(guān)的分岔并排除無關(guān)的分岔,給出了一類適用于分析兩個(gè)慢變量不是很慢的簇放電的方法.本研究具有兩個(gè)方面的意義,一是給出一類新的雙慢變量的快慢變量分離的操作流程,適用于兩個(gè)慢變量都不是很慢的情形;二是深入認(rèn)識(shí)新腦皮層神經(jīng)元的兩類峰放電和兩類簇放電的復(fù)雜內(nèi)在動(dòng)力學(xué).該研究可以為揭示不同調(diào)控下的放電模式的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)奠定基礎(chǔ).

2 模型與方法

2.1 Wilson 模型

Wilson 模型是常用來描述新皮層神經(jīng)元峰放電和簇放電的理論模型[31],其方程如下:

該模型有4 個(gè)變量,分別為電壓變量V,鉀通道恢復(fù)變量R,與鈣離子電流有關(guān)的電導(dǎo)變量T,與鈣激活的鉀離子電流有關(guān)的電導(dǎo)變量H.C代表神經(jīng)元的電容.τR,τT和τH分別代表IK,IT和IAHP流的時(shí)間常數(shù).I表示去極化電流.其中INa,IK,IT和IAHP分別代表鈉流、鉀流、低閾值T 型鈣流和鈣激活的鉀離子超極化電流,對(duì)應(yīng)的方程分別為:INa=m∞(V-ENa),IK=gRR(V-EK),IT=gT T×(V-ECa)和IAHP=gHH(V-EK).式中g(shù)R,gT和gH分別是鉀離子、鈣離子和鈣激活的鉀離子的最大電導(dǎo),ENa,EK和ECa分別是鈉離子、鉀離子和鈣離子的反轉(zhuǎn)電位,函數(shù)m∞,R∞和T∞是關(guān)于膜電位V的多項(xiàng)式,各項(xiàng)表達(dá)式為:m∞=17.8+47.6V+33.8V2,R∞=1.24+3.7V+3.2V2和T∞=8(V+0.725)2.

Wilson 模型采用的參數(shù)值為[31]:τT=14 ms,τH=45 ms,C=1 μF/cm2,gR=26 mS/cm2.ENa=0,EK=–0.95,ECa=1.2.方程計(jì)算出的膜電位、反轉(zhuǎn)電位的值乘以100 后的值的量綱對(duì)應(yīng)mV,電流INa,IK,IT,IAHP和I的值除以10 后的值對(duì)應(yīng)的量綱為 nA/cm2.為了描述簡(jiǎn)便,后續(xù)本文的電壓和電流值不再給出量綱.

2.2 快慢變量分離

本文研究的Wilson 模型,τR=4.2 ms 或τR=1.5 ms,τT=14 ms,τH=45 ms .τT和τH大于τR,說明T和H是兩個(gè)慢變量;但τT和τH跟τR的差距不夠大,在一個(gè)量級(jí),說明兩個(gè)慢變量不足夠慢 (根據(jù)經(jīng)驗(yàn),時(shí)間常數(shù)差別在2 個(gè)數(shù)量級(jí)及以上往往是足夠慢).傳統(tǒng)的快慢變量分離只有一個(gè)慢變量.本文研究的簇放電模式受兩個(gè)慢變量影響,需要發(fā)展雙慢變量的快慢變量分離方法進(jìn)行分析.方程 (1a)—(1d) 構(gòu)成全系統(tǒng).

2.2.1 單慢變量

對(duì)于RS,CB 和IB,因?yàn)棣親=45 ms 較大,以H為慢變量,方程 (1a)—(1c) 為快子系統(tǒng).對(duì)于FS,因?yàn)間H=0,所以以T為慢變量,方程 (1a)和 (1b) 為快子系統(tǒng).對(duì)快子系統(tǒng),獲得以單慢變量為參數(shù)的分岔圖.將全系統(tǒng)峰(簇)放電的相軌跡疊加到快子系統(tǒng)的分岔圖上,研究峰(簇)放電的起始和結(jié)束相位與分岔的關(guān)系.

2.2.2 雙慢變量

選取T和H同時(shí)為慢變量,則方程 (1a) 和(1b) 構(gòu)成快子系統(tǒng).T和H均作為分岔參數(shù),在(H,T) 參數(shù)空間上得到快子系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔.將全系統(tǒng)峰 (簇) 放電的相軌跡疊加到雙參數(shù)分岔平面上,得到相軌跡與分岔曲線的交點(diǎn),交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分岔就是可能的與簇放電的起始和結(jié)束相位相關(guān)的分岔.進(jìn)一步,在三維空間探尋分岔與相軌線的準(zhǔn)確位置關(guān)系,獲得與簇放電相關(guān)的分岔,排除與簇放電無關(guān)的分岔: 距離軌線近的就是與簇放電相關(guān)的分岔,距離遠(yuǎn)的就是與簇放電無關(guān)的分岔.

2.3 計(jì)算方法

運(yùn)用四階Runge-Kutta 的方法求解方程,積分步長(zhǎng)為0.0001 ms,積分時(shí)間為20000 ms 以保證獲得穩(wěn)態(tài)放電 (圖1 中的時(shí)間0 ms 對(duì)應(yīng)積分時(shí)間的10000 ms).分岔計(jì)算通過XPPAUT[53]軟件獲得.

圖1 Wilson 模型在不同參數(shù)下的膜電位 (a) RS,其中 I=10,gT=0.1 mS/cm2,gH=5 mS/cm2,τR=4.2 ms;(b) FS,其中 I=3.5,gT=0.25 mS/cm2,gH=0 mS/cm2,τR=1.5 ms;(c) CB,其中 I=8.5,gT=2.25 mS/cm2,gH=9.5 mS/cm2,τR=4.2 ms;(d) IB,其中 I=3.5,gT=1.2 mS/cm2,gH=3.4 mS/cm2,τR=4.2 ms;圖 (c),(d) 中,點(diǎn)A 和點(diǎn)B 分別代表第一個(gè)簇(藍(lán)色)的起始與結(jié)束相位Fig.1.Membrane potential of Wilson model at different parameter values: (a) RS,I=10,gT=0.1 mS/cm2,gH=5 mS/cm2,τR=4.2 ms;(b) FS,I=3.5,gT=0.25 mS/cm2,gH=0 mS/cm2,τR=1.5 ms;(c) CB,I=8.5,gT=2.25 mS/cm2,gH=9.5 mS/cm2,τR=4.2 ms;(d) IB,I=3.5,gT=1.2 mS/cm2,gH=3.4 mS/cm2,τR=4.2 ms.In Fig.1 (c),(d),the points A and B represent the start and termination phases of first burst (blue),respectively.

3 結(jié)果

3.1 四類放電

通過對(duì)τR,gT,gH和I賦予不同的參數(shù)值(見圖1),模擬RS,FS,CB,IB 四種不同的電活動(dòng),膜電位的時(shí)間歷程分別如圖1(a)—(d) 所示.

RS 和FS 均表現(xiàn)出緊張性放電,如圖1(a),(b)所示,FS 比RS 放電頻率更高,主要是因?yàn)镕S 復(fù)極化速度更快.IB 和CB 表現(xiàn)為周期性的簇放電模式,如圖1(c),(d)所示.正如生理學(xué)上觀察到的那樣,CB 每個(gè)簇內(nèi)峰的高度依次降低,并且每個(gè)簇以去極化后電位 (ADP) 終止.

3.2 峰峰間期分岔圖

為進(jìn)一步描述4 類電活動(dòng)隨參數(shù)的變化,不同放電模式的峰峰間期 (inter-spike intervals,ISIs)分別隨參數(shù)I,gT和gH的變化如圖2—圖4 所示.

RS,FS,CB 和IB 電活動(dòng)的ISIs 隨I變化的分岔分別如圖2(a)—(d) 所示.RS 和FS 的ISIs隨I的遞增而減小.CB 的ISIs 隨著I的變化會(huì)產(chǎn)生分岔.類似地,IB 的ISIs 也表現(xiàn)出了分岔,說明兩類簇放電在不同參數(shù)調(diào)控下會(huì)有周期數(shù)的變化.

4 類電活動(dòng)的ISIs 隨gH改變的分岔如圖3(a)—(d) 所示.峰放電的ISIs 都隨gH的遞增而增長(zhǎng),不同的是FS 的ISIs 隨gH增大會(huì)產(chǎn)生倍周期分岔.CB和IB 隨gH變化表現(xiàn)出加周期分岔.IB 的ISIs 在gH較小時(shí)表現(xiàn)為周期1 的峰放電.

參數(shù)gT的改變對(duì)于神經(jīng)元4 類電活動(dòng)的影響如圖4(a)—(d) 所示.RS,CB 和IB 的ISIs 隨gT變化趨勢(shì)類似,該模型會(huì)經(jīng)歷復(fù)雜的分岔,由峰放電轉(zhuǎn)換為不同周期數(shù)的簇放電.而FS 的ISIs 隨gT遞增逐漸減小.

圖2—圖4 展示了Wilson 模型在不同參數(shù)下展示出不同的放電模式,本文將以圖1 展示的4 類放電模式為代表進(jìn)行快慢動(dòng)力學(xué)分析.

圖2 4 類放電的ISIs 關(guān)于I 的分岔 (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.(a)—(d) 的豎虛線對(duì)應(yīng)圖1(a)—(d)Fig.2.Bifurcation of ISIs with respect to I of four types of firing patterns: (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.The vertical dotted line in panels (a)–(d) corresponds to Fig.1(a)–(d).

圖3 ISIs 關(guān)于 gH 的分岔 (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.(a)—(d) 的豎虛線對(duì)應(yīng)圖 1(a)—(d)Fig.3.Bifurcations of ISIs with respect to gH : (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.The vertical dotted line in panels (a)–(d) corresponds to Fig.1(a)–(d).

圖4 ISIs 關(guān)于 gT 的分岔 (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.(a)—(d) 的豎虛線對(duì)應(yīng)圖 1(a)—(d)Fig.4.Bifurcations of ISIs with respect to gT : (a) RS;(b) FS;(c) CB;(d) IB.The vertical dotted line in panels (a)—(d) corresponds to Fig.1(a)–(d).

3.3 峰放電和簇放電的快慢變量分離: 單慢變量

圖1(a) 的RS 的單慢變量的快慢變量分離的結(jié)果如圖5(a) 所示.快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)曲線呈“Z”形,由穩(wěn)定平衡點(diǎn) (紅色實(shí)線) 和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(黑色虛線) 組成.紅色實(shí)線為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn) (右下分支),具有較低膜電位,對(duì)應(yīng)于靜息狀態(tài);黑色虛線代表鞍點(diǎn) (中間分支) 和不穩(wěn)定焦點(diǎn) (上分支).在H≈0.568757 處存在不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔 (SNIC),穩(wěn)定極限環(huán) (最大振幅Vmax和最小振幅Vmin分別由上綠線和下綠線表示) 消失.穩(wěn)定的極限環(huán)對(duì)應(yīng)于放電.此外,“Z”形曲線的上拐點(diǎn) (SN),出現(xiàn)在鞍點(diǎn) (中間分支) 和不穩(wěn)定焦點(diǎn) (上分支) 的交點(diǎn)處.由圖5(a) 可以看出,快子系統(tǒng)極限環(huán)幅值的最大值與全系統(tǒng)峰放電軌線 (藍(lán)色軌跡) 幅值的極大值對(duì)應(yīng),全系統(tǒng)軌線都在快子系統(tǒng)的放電區(qū)域內(nèi),不在靜息的區(qū)域內(nèi).

圖5 峰放電的快子系統(tǒng)隨H 或T 變化的分岔和峰放電的相軌跡 (藍(lán)色實(shí)線) (a) RS,SNIC 代表H≈0.568757 處不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔;(b) FS,SNIC 和SupHopf 分別代表H≈–0.365159 處不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔和H≈7.012722 處超臨界霍普夫分岔.紅色實(shí)線、黑色虛線分別代表穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡點(diǎn).上 (Vmax) 和下 (Vmin) 綠線代表穩(wěn)定極限環(huán)的最大和最小幅值Fig.5.Bifurcation of the fast subsystem of the spiking with respect to H or T and the phase trajectory of spiking (solid blue curves): (a) RS,SNIC represents saddle-node on invariant circle bifurcation at H≈0.568757;(b) FS,SNIC and SupHopf represent saddle-node on invariant circle bifurcation at H≈-0.365159 and the supercritical Andronov-Hopf bifurcation at H≈7.012722,respectively.The red solid curves and the black dashed curves represent the stable and unstable equilibrium points,respectively.Upper (Vmax) and lower (Vmin) green curves represent the maximum and minimum amplitudes of the stable limit cycle.

對(duì)于圖1(b) 的FS,gH=0,因此,將慢變量T作為分岔參數(shù).FS 的單慢變量的快慢變量分離的結(jié)果如圖5(b) 所示.快速子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)曲線呈“S”形,由穩(wěn)定平衡點(diǎn) (紅色實(shí)線) 和不穩(wěn)定平衡點(diǎn) (黑色虛線) 組成.左紅色實(shí)線代表穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),具有較低膜電位,對(duì)應(yīng)于靜息狀態(tài);右紅色實(shí)線代表穩(wěn)定焦點(diǎn),具有較高膜電位,對(duì)應(yīng)于去極化阻滯.黑色虛線代表鞍點(diǎn) (中間分支) 和不穩(wěn)定焦點(diǎn) (上分支).穩(wěn)定極限環(huán) (綠色) 出現(xiàn)在SNIC (T≈–0.365159) 和 SupHopf (T≈7.012722) 之間,即放電區(qū)域.可以看出,FS 的相軌跡 (藍(lán)色軌跡) 的極值與極限環(huán)極值對(duì)應(yīng),位于快子系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)區(qū)間內(nèi).

圖1(c) 的CB 以慢變量H為分岔參數(shù)的快慢變量分離的結(jié)果如圖6(a),(b) 所示.快子系統(tǒng)的分岔如圖6(a) 所示,平衡點(diǎn)曲線呈“Z”形,上支和下支紅色實(shí)線代表穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),中支黑色短劃線代表不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)與鞍點(diǎn)相碰形成兩個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn),SN1和SN2,分別位于H≈0.287483 和H≈0.718103 處.將CB 的相軌跡疊加到圖6(a)上,得到圖6(b).將CB 的相軌跡疊加到圖6(a),得到圖6(b).淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表CB 的簇和休止期.可以看出,簇的起始相位點(diǎn)A與快子系統(tǒng)的SN1有一定關(guān)系,休止期與快子系統(tǒng)的靜息有關(guān);但是,簇的結(jié)束相位點(diǎn)B與快子系統(tǒng)的分岔無關(guān),簇內(nèi)峰的幅值與穩(wěn)定極限環(huán)的幅值無關(guān).以上結(jié)果表明,單慢變量的快慢變量分離不能解釋CB 的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,這是因?yàn)榇藭r(shí)快子系統(tǒng)含有慢變量T.

圖6 H 為慢變量時(shí),CB 的快慢變量分離 (a) 快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和極限環(huán)的分岔,在 H≈0.287483 和H≈0.718103 處的SN1 和SN2 代表鞍結(jié)分岔點(diǎn),紅色實(shí)線和黑色虛線分別代表穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡點(diǎn);(b) CB 相軌跡與圖 (a) 的疊加,淺藍(lán)色和灰色實(shí)線分別代表簇和休止期的相軌跡,點(diǎn)A 和點(diǎn)B 分別代表簇的起始和結(jié)束Fig.6.The fast-slow variable dissection to CB with H taken as the slow variable: (a) The bifurcations of the equilibrium point and the limit cycle of the fast subsystem.SN1 at H≈0.287483 and SN2 at H≈0.718103 represent saddle-node bifurcation points;respectively,the red solid curves and the black dashed curves represent stable and unstable equilibrium points,respectively;(b) phase trajectory of CB plotted with Fig.6(a),the light blue and gray solid curves represent the phase trajectory of the burst and the quiescent state,respectively,and points A and B represent the start and termination phases of burst,respectively.

圖1(d) 的IB 以H為慢變量的快慢變量分離如圖7(a),(b)所示.快子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和分岔如圖7(a),包括靜息 (右下支紅色實(shí)線),放電(上、下綠色實(shí)線) 和去極化阻滯 (左上支紅色實(shí)線),多個(gè)平衡點(diǎn)的分岔 (SupHopf (H≈0.331783)和SubHopf (H≈0.919389));鞍結(jié)分岔 (SN1和SN2),極限環(huán)的鞍結(jié)分岔 (FLC1和FLC2).淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表簇和休止期的相軌跡,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別代表簇的開始和結(jié)束.雖然休止期與快子系統(tǒng)的靜息有關(guān),而且簇的起始相位 (點(diǎn)A) 比較靠近SN1分岔,結(jié)束相位 (點(diǎn)B) 比較靠近FLC1,但簇內(nèi)峰的幅值與穩(wěn)定極限環(huán)的最大、最小值 (上、下綠色實(shí)線) 并不匹配.不匹配的原因是此時(shí)系統(tǒng)還有慢變量T.

圖7 H 為慢變量時(shí),IB 的快慢變量分離 (a) 快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和極限環(huán)的分岔;(b) IB 相軌跡與圖 7 (a) 的疊加,上、下支紅色實(shí)線和中支黑色短劃線、點(diǎn)線分別代表穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡點(diǎn).上、下綠色 (深藍(lán)色) 實(shí)線分別代表穩(wěn)定 (不穩(wěn)定) 極限環(huán),淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表簇和休止期的相軌跡,點(diǎn)A 和B 分別代表簇的起始與結(jié)束.SN,SubHopf,SupHopf 和FLC 分別代表鞍結(jié)分岔、亞臨界霍普夫分岔、超臨界霍普夫分岔和極限環(huán)的鞍結(jié)分岔Fig.7.The fast-slow variable dissection to IB with H taken as the slow variable: (a) Bifurcation of the equilibrium point and limit cycle of fast subsystem;(b) phase trajectory of IB plotted with Fig.7(a).The upper and lower red solid curves represent stable equilibrium points,and the middle black dashed and dotted curves represent unstable equilibrium points,respectively.The upper and lower green (dark blue) solid curves represent the stable (unstable) limit cycles.The light blue and gray solid curves represent the phase trajectory of the burst and the quiescent state,and points A and B represent the start and termination phases of burst,respectively.SN,SubHopf,SupHopf,and FLC represent the saddle-node bifurcation,the subcritical Andronov-Hopf bifurcation,the supercritical Andronov-Hopf bifurcation,and the fold limit cycle bifurcation,respectively.

3.4 簇放電的快慢變量分離: 雙慢變量

對(duì)于CB 和IB,H和T同時(shí)作為慢變量,由變量V和R構(gòu)成的方程 (1a)和(1b) 作為快子系統(tǒng),快子系統(tǒng)中的H和T作為分岔參數(shù).在 (H,T) 空間上獲得的快子系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu);然后,獲得簇放電相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔曲線關(guān)系;依據(jù)位置關(guān)系和分岔來揭示簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)理.

3.4.1 CB

對(duì)于CB,快子系統(tǒng)的雙參分岔平面 (H,T)上的分岔曲線 (粗線) 和簇放電的相軌跡 (細(xì)線)如圖8(a) 所示.紅色實(shí)線是SN 分岔曲線,綠色實(shí)線是SNIC 分岔曲線,黑色實(shí)線是SupHopf 分岔曲線.CB 的相軌跡 (細(xì)線) 與分岔曲線共有A,B和C三個(gè)交點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)SNIC,SupHopf 和SN,需要對(duì)A,B和C三點(diǎn)處的分岔分別進(jìn)行分析來獲得簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué).其中,在A和C點(diǎn)上方的參數(shù)空間,快子系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的分岔,如圖8(b) 所示,與簇放電的相軌線距離較遠(yuǎn),不影響簇放電的動(dòng)力學(xué)行為.存在余維–2 分岔點(diǎn),包括退化分岔點(diǎn)P2[54,55],BT 和Cusp 分岔點(diǎn).左、右鞍結(jié)分岔曲線相碰產(chǎn)生Cusp 分岔 (H≈0.322795 和T≈0.0592512).右SN 曲線 (右紅色) 從Cusp 發(fā)出,向左下運(yùn)行至BT 分岔點(diǎn) (H≈0.3182227 和T≈0.0552198),同時(shí)出現(xiàn)SupHopf 分岔曲線 (黑色) 和SHC 分岔曲線 (藍(lán)色),因此BT 點(diǎn)是導(dǎo)致SupHopf 和SHC 分岔的原因;SHC 與SNIC 曲線相交于點(diǎn)P2,SHC 在點(diǎn)P2處結(jié)束,同時(shí)SNIC 分岔曲線變?yōu)镾N 分岔曲線.

圖8 CB 的快子系統(tǒng)在 (H,T ) 平面上的雙參分岔和相軌跡 (a) SNIC (綠色實(shí)線)、SN (紅色實(shí)線) 和SupHopf (黑色實(shí)線) 分別代表不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔曲線、鞍結(jié)分岔曲線和超臨界霍普夫分岔曲線,BT 代表余維–2 分岔點(diǎn);淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表簇和休止期的相軌跡;(b) (a) 中BT 分岔點(diǎn)附近的放大.P2 是退化分岔點(diǎn),SHC (藍(lán)色實(shí)線) 代表鞍-同宿軌分岔Fig.8.The bifurcations of fast subsystem of CB in two-parameter plane (H,T ) and the phase trajectory: (a) SNIC (green solid line),SN (red solid line) and SupHopf (black solid line) represent the saddle-node on invariant circle bifurcation curve,the saddlenode bifurcation curve and the supercritical Andronov-Hopf bifurcation curve respectively,BT represents the codimension-2 bifurcation point;the light blue and gray solid curves represent the phase trajectory of the burst and the quiescent state;(b) the enlargement near BT bifurcation point in Fig.(a).P2 is a degenerate bifurcation point,and SHC (blue solid line) represents the Saddle-Homoclinic orbit bifurcation.

在參數(shù)平面 (H,T) 上,對(duì)應(yīng)A,B和C三點(diǎn)的T分別取值為0.00522,0.535852 和0.004636.對(duì)二維快子系統(tǒng),將T分別取為A,B和C三點(diǎn)的值,獲得對(duì)參數(shù)H的單參數(shù)分岔,將CB 的相軌跡疊加到單參數(shù)分岔圖上,如圖9(a)—(c) 所示,能分別解釋簇放電的相軌跡在A,B和C點(diǎn)附近的局部動(dòng)力學(xué).從圖9(a) 可以看出,簇的起始點(diǎn)A距離SNIC 分岔較近;圖9(b) 中,簇的結(jié)束點(diǎn)B距離SupHopf 分岔較近;但是,簇放電的幅值與極限環(huán)的幅值并不對(duì)應(yīng),說明只能揭示簇的起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)附近的局部動(dòng)力學(xué).對(duì)于交點(diǎn)C(T≈0.004636),快慢變量分離如圖9(c) 所示,點(diǎn)C距離SN 分岔點(diǎn)比較遠(yuǎn),說明C點(diǎn)不是真正的分岔曲線和簇放電的相軌跡的交點(diǎn);因此,C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的SN 分岔與簇放電無關(guān).簇放電的相軌跡和余維–1 分岔曲線是否相交還要在更高維的空間內(nèi)才能得到準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),比如 (H,T,V) 空間內(nèi).

圖9 在對(duì)應(yīng)A,B 和C 三個(gè)T 值處的CB 的快慢變量分離 (a) 對(duì)應(yīng)CB 的起始點(diǎn) A(T≈0.00522),A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)SNIC 分岔點(diǎn);(b) 對(duì)應(yīng)CB 的結(jié)束點(diǎn) B(T≈0.535852),B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)SupHopf 分岔點(diǎn);(c) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) C(T≈0.004636);點(diǎn)C 與SN 分岔點(diǎn)距離較遠(yuǎn).淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表簇和休止期的相軌跡.紅色實(shí)線、黑色虛線和綠色實(shí)線分別代表穩(wěn)定平衡點(diǎn)、不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和穩(wěn)定極限環(huán).SN,SNIC 和SupHopf 分別代表鞍結(jié)分岔、不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔和超臨界霍普夫分岔Fig.9.The fast-slow variable dissection to CB at three T values corresponding to points A,B and C: (a) Corresponding to initial point A of CB (T≈0.00522).Point A corresponds to the SNIC bifurcation point;(b) corresponding to termination point B of CB(T≈0.535852).Point B corresponds to the SupHopf bifurcation point;(c) corresponding to point C (T≈0.004636).Point C is far away from the SN bifurcation point.The light blue and gray solid curves represent the phase trajectory of burst and quiescent state,respectively.The red solid curves,black dashed curves,and green solid curves represent the stable equilibrium points,the unstable equilibrium points,and the stable limit cycle,respectively.SN,SNIC,and SupHopf represent the saddle-node bifurcation,the saddle-node on invariant circle bifurcation,and the supercritical Andronov-Hopf bifurcation,respectively.

為全面和準(zhǔn)確揭示簇放電的相軌跡和快子系統(tǒng)的分岔的關(guān)系,在三維空間 (H,T,V) 中,將CB的相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔疊加,如圖10(a)—(d)所示.如圖10(a) 所示,藍(lán)色、黃色和粉色曲面構(gòu)成平衡點(diǎn)曲面,對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),上、下綠面代表穩(wěn)定極限環(huán)的極大值 (Vmax) 和極小值 (Vmin),綠、紅和黑粗線分別代表SNIC,SN和SupHopf 分岔曲線 (局部放大見圖10(b)—(d)),黑色細(xì)線代表CB 的相軌跡.可以看出,簇內(nèi)峰的幅值與極限環(huán)的幅值 (綠面) 也是基本符合的,說明簇放電確實(shí)與快子系統(tǒng)的放電有關(guān);簇放電的休止期與粉色面 (靜息) 很近,說明簇放電確實(shí)與快子系統(tǒng)的靜息有關(guān).

圖10 (H,T,V) 空間中CB 的雙參分岔和相軌跡.藍(lán)色、黃色和粉色面分別由不穩(wěn)定焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成,紅色、綠色、黑色粗線分別代表鞍結(jié) (SN) 分岔、不變環(huán)上的鞍結(jié) (SNIC) 分岔和超臨界霍普夫 (SupHopf) 分岔,上、下綠面代表穩(wěn)定極限環(huán)的極大值 (Vmax) 和極小值 (Vmin),黑色細(xì)線代表簇的相軌跡 (a) 全圖;(b) 圖(a)中B 點(diǎn)附近的放大圖,B 點(diǎn)位于SupHopf 分岔曲線正下方,對(duì)應(yīng)簇的結(jié)束相位;(c) 圖(a)中BT 分岔點(diǎn)附近的放大;(d) 圖(a)中A 點(diǎn)和C 點(diǎn)附近的放大,A 點(diǎn)在SNIC 分岔曲線正下方,對(duì)應(yīng)CB 軌跡的起始相位,C 點(diǎn)距離SN 分岔曲線較遠(yuǎn)Fig.10.Two-parameter bifurcation of fast system and phase trajectory of CB in the (H,T,V ) space.The blue,yellow,and pink surfaces are composed of the unstable focus,the saddle and the stable node,respectively.The red,green,and black thick curves represent the saddle-node (SN) bifurcation,the saddle-node on invariant circle (SNIC) bifurcation,and the supercritical Andronov-Hopf (SupHopf) bifurcation.The upper and lower green surfaces represent the maximum value (Vmax) and the minimum value(Vmin) of the stable limit cycle,respectively,and the black thin curve represents the phase trajectory of the bursting: (a) Global view;(b) the enlargement near point B in Fig.(a),point B is located just below the SupHopf bifurcation curve,corresponding to the termination phase of the burst;(c) the enlargement near BT bifurcation point in Fig.(a);(d) the enlargement near points A and C in Fig.(a).The point A is just below the SNIC bifurcation curve,corresponding to the start phase of burst,and point C is far from the SN bifurcation curve.

圖10(b) 為簇的結(jié)束點(diǎn)B附近的放大,可以發(fā)現(xiàn),簇的結(jié)束B靠近黑粗線SupHopf 分岔,但略有偏差,說明簇放電結(jié)束于SupHopf 分岔,但因慢變量不夠慢使得結(jié)束點(diǎn)與分岔點(diǎn)有些許偏差.簇的起始點(diǎn)A和簇放電的相軌跡的關(guān)系見圖10(c),(d)(圖10(a)的局部放大).余維–2 分岔BT,以及余維–1 分岔SNIC,SupHopf,SN 和 SHC 等的空間位置關(guān)系清晰可見,如圖10(c) 所示.圖10(d) 中,簇的起始點(diǎn)A與SNIC 分岔曲線距離較近,說明簇起始于SNIC 分岔.可以明顯看出,簇放電的C點(diǎn)與SNIC 分岔曲線距離很遠(yuǎn),并無關(guān)系.

因此,與圖9 的平面圖相比,圖10 給出三維空間中CB 相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔圖可以更全面認(rèn)識(shí)簇放電的內(nèi)在動(dòng)力學(xué): 簇與快子系統(tǒng)的放電有關(guān),休止期與靜息有關(guān);簇的起始與SNIC 分岔有關(guān),結(jié)束與SupHopf 有關(guān);簇放電與SN 分岔無關(guān),雖然平面圖 (圖9) 提示SN 分岔曲線與簇放電相軌跡相交,但實(shí)際上在三維空間并不相交.因此,在三維參數(shù)空間 (H,T,V) 中,簇放電的動(dòng)力學(xué)和快子系統(tǒng)的分岔能更為全面和準(zhǔn)確的識(shí)別簇放電動(dòng)力學(xué).

3.4.2 IB

對(duì)于IB 平面上獲得快子系統(tǒng)的分岔類似于CB,如圖11(a),(b) 所示.紅色、綠色和黑色實(shí)線分別對(duì)應(yīng)SN,SNIC 和SupHopf 分岔曲線.IB 的簇 (藍(lán)色線) 和休止期 (灰色線) 的相軌跡位于雙參分岔圖的左下角,即BT 分岔點(diǎn)的左下方.圖11(b)為圖11(a) 的放大,并且將放電區(qū)域標(biāo)記為藍(lán)色,空白色區(qū)域?qū)?yīng)靜息態(tài).IB 的相軌跡順時(shí)針穿過SNIC 和SN 曲線,共有A,B,C和D四個(gè)交點(diǎn).點(diǎn)A和B對(duì)應(yīng)SNIC 分岔,點(diǎn)C和D對(duì)應(yīng)SN 分岔.

同樣,為探究IB 的簇的起始與結(jié)束,需要對(duì)4 個(gè)交點(diǎn)處的分岔單獨(dú)進(jìn)行分析.在 (H,T) 平面上,圖11(b) 中A,B,C和D四個(gè)交點(diǎn)處的T值分別為0.003489,0.178687,0.138212 和0.025683.在A,B,C和D四個(gè)點(diǎn),將IB 的軌線疊加到二維快子系統(tǒng)隨H變化的分岔圖上,如圖12(a)—(d)所示.圖12(a) 中,簇的起始點(diǎn)A與SNIC 相匹配,簇的休止期與靜息有關(guān),并且首個(gè)峰的幅度可以很好地用快子系統(tǒng)的分岔來解釋,但是無法解釋簇的結(jié)束.簇的結(jié)束相位B點(diǎn)與SNIC 分岔點(diǎn)相近但略有差距,是因?yàn)槁兞坎粔蚵龑?dǎo)致的.從圖12(c),(d) 可以看出,點(diǎn)C和點(diǎn)D距離SN 分岔點(diǎn)都較遠(yuǎn),說明簇放電與SN 無關(guān).該結(jié)果僅能解釋IB 起始和結(jié)束相位附近的局部動(dòng)力學(xué).

圖12 在對(duì)應(yīng)A,B,C 和D 四個(gè)T 值處IB 的快慢變量分離,紅色實(shí)線、黑色虛線和綠色實(shí)線分別代表穩(wěn)定平衡點(diǎn)、不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和穩(wěn)定極限環(huán),SN,SNIC 和SupHopf 分別代表鞍結(jié)分岔、不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔和超臨界霍普夫分岔.淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表IB 的相軌跡 (a) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) A(T≈0.003489,簇的起始相位);(b) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) B(T≈0.178687,簇的結(jié)束相位);(c) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) C(T≈0.138212,距離SN 分岔曲線較遠(yuǎn));(d) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) D(T≈0.025683,距離SN 分岔曲線較遠(yuǎn))Fig.12.The fast-slow variable dissection to IB bursting at four T values corresponding to points A,B,C and D.The red solid curve,the black dashed curves,and the green solid curves represent the stable equilibrium point,the unstable equilibrium point,and the stable limit cycle,respectively.SN,SNIC,and SupHopf represent the saddle-node bifurcation,the saddle-node on invariant circle bifurcation,and the supercritical Andronov-Hopf bifurcation,respectively.The light blue,and gray solid curves represent the phase trajectory of IB: (a) Corresponding to point A(T ≈ 0.003489,the start phase of burst);(b) corresponding to point B(T≈0.178687,the termination phase of burst);(c) corresponding to point C(T≈0.138212,far from the SN bifurcation curve);(d) corresponding to point D(T≈0.025683,far from the SN bifurcation curve).

在三維空間 (H,T,V) 中,IB 的相軌跡和快子系統(tǒng)的分岔之間的關(guān)系如圖13(a),(b) 所示,圖13(b) 為圖13(a) 的局部放大.平衡點(diǎn)曲面為“Z”型,右下方粉色區(qū)域?qū)?yīng)靜息狀態(tài),中支黃色區(qū)域?qū)?yīng)鞍點(diǎn),上支藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)不穩(wěn)定的焦點(diǎn);上、下兩個(gè)綠面對(duì)應(yīng)穩(wěn)定極限環(huán)的最大值 (Vmax)和最小值 (Vmin);中支與下支平面的交線 (綠色)對(duì)應(yīng)SNIC 分岔曲線,中支與上支平面的交線 (紅色) 對(duì)應(yīng)SN 分岔曲線.黑色細(xì)線代表IB 的相軌跡.點(diǎn)A,B,C和D對(duì)應(yīng)圖11(b) 中的4 個(gè)交點(diǎn).如圖13(a) 所示,簇放電的峰的幅值與快子系統(tǒng)的極限環(huán)的幅值相對(duì)應(yīng),簇放電的休止期與快子系統(tǒng)的靜息 (粉色曲面) 相對(duì)應(yīng).

圖11 (H,T) 平面上的IB 的相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔,淺藍(lán)色和灰色實(shí)線代表簇和休止期的相軌跡 (a) SNIC (綠色實(shí)線)、SN (紅色實(shí)線) 和SupHopf (黑色實(shí)線) 分別代表不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔曲線、鞍結(jié)分岔曲線和超臨界霍普夫分岔曲線,BT 代表余維–2 分岔點(diǎn) (Bogdanov-Takens);(b)圖11(a) 中IB 相軌跡附近的放大圖,藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)放電區(qū)域,空白區(qū)域?qū)?yīng)靜息態(tài)Fig.11.The phase trajectory of IB bursting and bifurcations of the fast subsystem in phase plane (H,T ).The light blue and gray solid curves represent the phase trajectory of burst and quiescent state,respectively: (a) SNIC (green solid curves),SN (red solid curves),and SupHopf (black solid curves) represent the saddle-node on invariant circle bifurcation curve,the saddle-node bifurcation curve,and the supercritical Andronov-Hopf bifurcation curve,respectively,and BT represents the codimension-2 bifurcation point (Bogdanov-Takens);(b) the enlargement around the phase trajectory of IB in Fig.11(a),the blue area corresponds to the firing behavior,and the blank area corresponds to the resting state.

如圖13(b) 所示,簇的起始點(diǎn)A和結(jié)束點(diǎn)B與SNIC 分岔曲線相近但略有距離,是慢變量不夠慢引起的;C點(diǎn)和D點(diǎn)與SN 分岔曲線較遠(yuǎn),說明簇放電與SN 分岔無關(guān).

圖13 (H,T,V) 空間中快子系統(tǒng)的雙參分岔和IB 的相軌跡,H 和T 為慢變量,藍(lán)色、黃色和粉色面分別由不穩(wěn)定焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)和穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)構(gòu)成,紅色和綠色粗線分別代表鞍結(jié) (SN) 分岔和不變環(huán)上的鞍結(jié)分岔 (SNIC),上、下綠面代表穩(wěn)定極限環(huán)的極大值和極小值,黑色細(xì)線代表IB 的相軌跡 (a)全圖;(b) IB 相軌跡附近的放大,點(diǎn)A 和點(diǎn)B 對(duì)應(yīng)簇的起始相位和結(jié)束相位,點(diǎn)C 和點(diǎn)D 距離SN 分岔曲線較遠(yuǎn)Fig.13.Two-parameter bifurcations of fast subsystem in the (H,T,V) space and phase trajectory of IB with H and T regarded as slow variables.The blue,yellow,and pink surfaces are composed of unstable focus,saddle,and stable node,respectively.The red and green thick curves represent the saddle-node (SN) bifurcation and the saddle-node on invariant circle (SNIC) bifurcation,respectively.The upper and lower green surfaces represent the maximum and minimum values of the stable limit cycle,and the thin black line represents the phase trajectory of IB: (a) Global view;(b) the enlargement around the phase trajectory of IB in Fig.13(a).Points A and B correspond to initial and termination phases of the burst,and points C and D are far from the SN bifurcation curve.

4 結(jié)論

新腦皮層神經(jīng)元具有廣譜、重要的生理功能,表現(xiàn)出復(fù)雜多樣的峰和簇放電模式,依賴于神經(jīng)元的類型和生理參數(shù).揭示新腦皮層神經(jīng)元放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)是認(rèn)識(shí)其生理功能的重要環(huán)節(jié)[9].本文提出新的雙慢變量的快慢變量分離的流程,結(jié)合傳統(tǒng)的單慢變量的快慢變量分離方法,全面、深入地分析了新腦皮層神經(jīng)元的兩類峰放電和兩類簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué),創(chuàng)新性體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

一是提出了新的雙慢變量的快慢變量分離的流程.單慢變量的快慢變量分離在分析只受單個(gè)慢變量調(diào)控的簇放電或峰放電時(shí)獲得了巨大成功[9],但是,不能用于分析兩個(gè)慢變量調(diào)控的簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制[28,29],因?yàn)榇藭r(shí)快子系統(tǒng)含有慢變量.因此,需要根據(jù)雙慢變量的不同特征開發(fā)新的快慢變量分離方法.例如,β細(xì)胞的簇放電受到很慢和較慢的慢變量調(diào)控[28],固定很慢的慢變量為常數(shù)、然后利用較慢的慢變量為分岔參數(shù)進(jìn)行快慢動(dòng)力學(xué)分析.在海馬錐體神經(jīng)元[29],因?yàn)閮蓚€(gè)慢變量都很慢,將兩個(gè)慢變量都作為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù)進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析;因?yàn)槁兞孔銐蚵?雙參數(shù)平面的分岔曲線和簇放電相軌跡的交點(diǎn)與簇放電全都相關(guān).但是,對(duì)于本文研究的新腦皮層神經(jīng)元的簇放電,兩個(gè)慢變量都不足夠慢,這是不同于β細(xì)胞和錐體神經(jīng)元的一種新情況.因此,本文首先參照文獻(xiàn)[29]的流程,獲得了快子系統(tǒng)的雙參數(shù)平面的分岔曲線與簇放電的相軌跡的交點(diǎn).與文獻(xiàn)[29]結(jié)果不同,部分分岔點(diǎn)與簇放電相關(guān),部分不相關(guān).進(jìn)一步,本文獲得了三維空間的簇放電軌跡與快子系統(tǒng)的分岔曲線、平衡點(diǎn)曲面以及極限環(huán)的極值曲面的位置關(guān)系,依此識(shí)別了與簇放電相關(guān)的分岔,排除了與簇放電無關(guān)的分岔;與文獻(xiàn)[29]中分岔曲線和簇放電相軌線的交點(diǎn)與簇放電都相關(guān)不同.

二是全面、深入地認(rèn)識(shí)了新腦皮層神經(jīng)元峰放電和簇放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制.對(duì)于峰放電,只受或主要只受一個(gè)慢變量的調(diào)控,可以利用傳統(tǒng)的單快慢變量分離的方法來認(rèn)識(shí)峰放電 (RS 和FS) 的動(dòng)力學(xué)行為,峰放電對(duì)應(yīng)的軌跡只位于快子系統(tǒng)的放電區(qū)域內(nèi),與靜息和分岔無關(guān).而對(duì)于簇放電,受到兩個(gè)慢變量的調(diào)控,單慢變量的快慢變量分離不能解釋CB 和IB 簇放電的動(dòng)力學(xué)行為,即簇的起始和結(jié)束相位與快子系統(tǒng)的分岔點(diǎn)、簇內(nèi)峰與極限環(huán)的幅值或者簇的休止期與快子系統(tǒng)的靜息之間不匹配.因此,將兩個(gè)慢變量H和T作為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù),獲得雙參數(shù)平面 (H,T) 上的余維–1 分岔曲線 (SNIC 和SupHopf 分岔曲線) 和余維–2 分岔點(diǎn) (BT 和Cusp 分岔點(diǎn)),用于分析簇的起始和結(jié)束相位.CB 簇放電的相軌跡與分岔曲線相交于A,B和C三點(diǎn);通過三個(gè)交點(diǎn)處的單參分岔分析,可知CB 簇放電軌跡的起始和結(jié)束相位僅與SNIC(A點(diǎn)) 和SupHopf (B點(diǎn)) 相關(guān).IB 的相軌跡與分岔曲線相交于A,B,C和D四點(diǎn),而簇的起始和結(jié)束僅與SNIC (A和B點(diǎn)) 相關(guān).這就獲得了簇放電起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)附近的局部動(dòng)力學(xué),但是,該平面方法也有局限性: 不能認(rèn)識(shí)簇內(nèi)峰的幅值與穩(wěn)定極限環(huán)的幅值是否匹配,以及簇放電的相軌跡與快子系統(tǒng)的分岔曲線的具體位置關(guān)系.因此,本文進(jìn)一步分析了三維空間 (H,T,V) 中的簇放電軌跡與快子系統(tǒng)平衡點(diǎn)曲面、極限環(huán)極值曲面和分岔曲線的位置關(guān)系,進(jìn)一步解釋了平面圖上SN 分岔曲線與簇放電相軌跡相交是三維空間投影導(dǎo)致的,排除了與簇放電無關(guān)的分岔.此外,還展示了簇與快子系統(tǒng)的放電有關(guān),休止期與靜息相關(guān).這說明,針對(duì)兩個(gè)慢變量都不足夠慢的情況,本文給出了分析其簇放電動(dòng)力學(xué)行為一種有效的雙慢變量的快慢變量分離流程.

近期研究提示,針對(duì)不同的雙慢變量的快慢特征,可以發(fā)展不同的快慢變量分離法來分析簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué).本文提出了新的流程分析了兩個(gè)不足夠慢的慢變量 (T 型鈣和鈣激活鉀通道) 相關(guān)的簇放電的動(dòng)力學(xué).將利用本文的方法研究Wilson模型在不同參數(shù)下的不同放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué),將研究不同調(diào)控下 (如不同電流、突觸流、自反饋等) 的簇放電的復(fù)雜動(dòng)力學(xué),以及如何調(diào)控快子系統(tǒng)的分岔點(diǎn)來影響簇放電的動(dòng)力學(xué)行為.進(jìn)一步,還可以基于雙慢變量的快慢變量分離法研究Wilson 模型在網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué).