劉榮榮，陳永洪，杜 興，陳兵奎

(機械傳動國家重點實驗室(重慶大學)，重慶 400044)

行星滾柱絲杠(Planetary roller screw mechanism，PRSM)在航空、航天、船舶、石化、電力、醫(yī)療機械等領域中具有廣闊的應用前景[1-3]。嚙合特性研究方面，Jones、Fu等[4-5]建立了PRSM的嚙合模型并計算了嚙合點位置及嚙合間隙。喬冠等[6]建立了法截面內零件的輪廓方程和滾道螺旋曲面方程，并討論了結構參數對接觸特性的影響規(guī)律。Ma等[7]基于有限元的方法對嚙合特性進行了研究。在承載特性研究方面，Lisowski等[8]建立了PRSM中各構件間的載荷分布模型，并通過有限元方法對接觸區(qū)剛度進行了分析。Aurégan等[9]利用有限元方法得出了絲杠-滾柱側嚙合的最大接觸應力。Jones等[10]將絲杠等效成彈簧系統(tǒng)，利用直接剛度法，對PRSM的剛度及承載能力開展了研究。楊家軍等[11]以Hertz彈性接觸理論為基礎，將滾柱作為整體并建立了剛度模型，得到了載荷分布曲線。劉柱等[12]建立了考慮裝配誤差的滾柱兩側螺紋牙載荷分布計算模型。

現(xiàn)有研究中，PRSM的絲杠和螺母螺紋牙截面輪廓通常為直線，滾柱的螺紋牙截面輪廓為凸圓弧，實際上牙型輪廓的設計對于PRSM的承載和壽命有著重要的影響。本文將絲杠和螺母的牙型輪廓設計為凹圓弧，滾柱牙型輪廓仍采用凸圓弧，形成凸-凹接觸，建立凸凹接觸式PRSM的嚙合模型和承載模型，并系統(tǒng)分析結構參數對嚙合點位置、軸向間隙和載荷分布的影響規(guī)律，將計算得出的接觸應力分布與標準式進行了對比。

1 空間嚙合模型的建立

根據PRSM的結構特點，建立了如圖1所示的空間嚙合坐標系及構件坐標系。

(a)空間嚙合坐標系

圖1(a)中，整體坐標系O-XYZ的Z軸與絲杠的軸線重合，X軸穿過滾柱的軸線；絲杠坐標系O-xsyszs、螺母坐標系O-xnynzn的z軸和x軸與整體坐標系O-XYZ的Z軸和X軸重合，滾柱坐標系的O-xryrzr的zr軸與滾柱軸線重合，xr與X軸重合。

圖1(b)為構件坐標系o-xiyizi(i=s,r,n分別表示絲杠、滾柱和螺母)，點P為零件i螺旋曲面上的任意一點，則螺旋曲面的參數方程可以表示為

Qi=[rPcosθP,rPsinθP,Fi(rP,θP)]

(1)

式中：rP、θP為曲面坐標，F(xiàn)i(rP,θP)是由曲面坐標確定的螺旋曲面方程。

由圖1可得導程Li、螺旋角λi及中徑ri的關系：

Li=2πritanλi=niPi

(2)

式中：ni為頭數，Pi為螺距。

1.1 曲面方程

圖2為絲杠、滾柱及螺母的牙型輪廓圖，凸凹接觸式與標準式PRSM的絲杠、螺母有著不同的牙型輪廓，因此曲面方程也有所不同。

(a)絲杠在xsoszs面的牙型輪廓

1.1.1 絲杠的曲面方程

圖2(a)為絲杠在絲杠坐標系xsoszs面中的牙型輪廓，設ose是絲杠圓弧的圓心，坐標ose(xso,zso)與牙型角αs、半牙厚cs和絲杠圓弧半徑Rs的關系如下：

(3)

接觸線上任意一點(rPs,zs)滿足

(4)

最終得到絲杠螺旋曲面的曲面方程

θsLs/2π

(5)

式中：rPs、θs為絲杠螺旋曲面的參數坐標；ρs=1表示上螺旋曲面ΠSU；ρs=-1表示下螺旋曲面ΠSB。

1.1.2 滾柱的曲面方程

圖2(b)是滾柱在滾柱坐標系xrorzr面中的牙型輪廓，設ore是滾柱圓弧的圓心，坐標ore(xro,zro)與牙型角αr、半牙厚cr和滾柱圓弧半徑Rr的關系如下：

(6)

接觸線上任意一點(rPr,zr)滿足

(7)

最終得到滾柱螺旋曲面的曲面方程

(8)

式中：rPr、θr是絲杠螺旋曲面的參數坐標；ρr=1表示上螺旋曲面ΠRU；ρr=-1表示下螺旋曲面ΠRB。

1.1.3 螺母的曲面方程

圖2(c)為螺母在螺母坐標系xnonzn面中的牙型輪廓，設one是螺母圓弧的圓心，坐標one(xno,zno)與牙型角αn、半牙厚cn和絲杠圓弧半徑Rn的關系如下：

(9)

接觸線上任意一點(rPn,zn)滿足

(10)

最終得到螺母螺旋曲面的曲面方程

θnLn/2π

(11)

式中：rPn、θn為螺母螺旋曲面的參數坐標，ρn=1表示上螺旋曲面ΠNU，ρn=-1表示下螺旋曲面ΠNB。

1.2 嚙合方程

PRSM要保持連續(xù)嚙合，要求兩嚙合曲面在傳動過程中時刻處于相切接觸狀態(tài)，同時為了保證行星滾柱絲杠的正常裝配和運動的流暢性，各零件的螺紋之間通常具有一定的間隙[13]。圖3為PRSM在O-XYZ下兩嚙合曲面的相切接觸關系，圖中Π1和Π2為凸凹接觸的PRSM中兩個可能發(fā)生接觸的螺旋曲面，曲面Π2沿著向量Δ12=[0,0,e12]移動后與曲面Π1在點O12處相接觸，e12即為兩螺旋曲面的軸向間隙。根據齒輪嚙合原理[14]，可以得到凸凹接觸式行星滾柱絲杠兩螺旋曲面的相切接觸條件：

(12)

式中μ12為常數。

由式(12)可得：

(13)

由式(13)可得PRSM在絲杠-滾柱側的嚙合方程為：

(14)

(15)

同理可以得到PRSM在絲杠-滾柱側的嚙合方程為：

(16)

(17)

當ρi=1時，表示螺母下螺旋面和滾柱上螺旋面嚙合；ρi=-1時，表示螺母下螺旋面和滾柱上螺旋面嚙合。由式(17)可得具有5個未知數rn′、θn′、rr′、θr′和enr的5個獨立的非線性方程，可以求得螺母和滾柱的嚙合半徑與軸向間隙。

2 行星滾柱絲杠承載模型

2.1 赫茲接觸變形

凸凹接觸式PRSM的滾柱與絲杠和螺母之間仍為點接觸，只是由原來的平面-曲面接觸變?yōu)榱饲?曲面接觸，可以利用赫茲接觸理論進行接觸分析和承載分析。對于凸凹接觸的PRSM，主曲率在滾柱與絲杠接觸側為：

(18)

主曲率在滾柱與螺母接觸側為：

(19)

式中：dm為PRSM滾柱公轉直徑，且dm=dr+ds。

以絲桿側為例，當PRSM受負載作用后，滾柱與絲杠之間的點接觸發(fā)生彈性變形，瞬時接觸點會變成瞬時接觸橢圓，絲杠與滾柱接觸時的赫茲彈性變形量及嚙合區(qū)域的接觸應力可以表示為

δs=Cs rFn2/3

(20)

(21)

長短半軸a、b表示為[16]：

(22)

式中：Csr為絲杠與滾柱的赫茲接觸剛度，F(xiàn)n為法向接觸力，E為綜合彈性模量，∑ρ為主曲率和且∑ρ=ρ11+ρ12+ρ21+ρ22。

2.2 變形協(xié)調關系

PRSM受載后滾柱與絲杠之間產生的接觸力沿螺旋曲面法線方向，可分解為3個方向的分力，如圖4所示，根據單根滾柱軸向力受力平衡可得從m-1到m節(jié)螺紋牙滾柱受絲杠傳遞的力為

(23)

(24)

圖4 滾柱接觸點受力分解Fig.4 Force decomposition of roller contact point

PRSM在載荷的作用下，除存在絲杠和螺母與滾柱之間產生赫茲接觸變形、各軸段的軸向變形外，螺紋牙的變形也不可忽略。PRSM的螺紋牙變形主要包括螺紋牙彎曲變形σ1、螺紋牙剪切變形σ2、牙根傾斜導致的變形σ3、牙根剪切導致的變形σ4及螺紋牙徑向分力導致的變形σ5。

螺紋牙5種變形分別為[17]：

2ln(a/b))cot3α-4(h/a)tanα]

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：μ為材料的泊松比，a為螺紋牙牙底寬，b為螺紋牙牙厚，h為螺紋牙牙底高，D0為螺母外徑，dp為螺紋牙中徑，F(xiàn)r,i為第i節(jié)螺紋牙所受徑向分力且Fr,i=Fa,itanα，σ5n為螺母螺紋牙的變形，σ5s-r為絲杠或滾柱螺紋牙的變形。

(31)

(32)

式中：

(33)

式中：Es和Er為絲杠和滾柱的彈性模量;As和Ar為絲杠和滾柱的有效接觸面積，As=πds2/4，Ar=πdr2/4;ds為絲杠中徑;dr為滾柱中徑。

相鄰螺紋對在絲杠側形成的兩個接觸點e、f滿足變形協(xié)調關系。根據赫茲接觸變形、軸向變形與螺紋牙變形的變形協(xié)調關系可得

Ps+ΔS=Pr+ΔR

(34)

圖5 PRSM的變形協(xié)調關系Fig.5 Deformation coordinated relations of PRSM

由于Ps=Pr，因此式(36)可寫為ΔS=ΔR，于是由式(22)～(34)可得PRSM絲杠側螺紋牙載荷分布公式為

(35)

式中：Fa-n.j為螺母第j節(jié)螺紋牙所受軸向力，KST為絲杠的螺紋牙變形剛度且KST=Fa/σs，KRST為滾柱的螺紋牙變形剛度且KRST=Fa/σsr，KSB為絲杠的軸向變形剛度，KRB為滾柱的軸向變形剛度。

3 行星滾柱絲杠嚙合與承載分析

3.1 嚙合分析

利用MATLAB并使用本文的計算方法對凸凹接觸的PRSM的接觸點位置和軸向間隙進行計算，同時分析牙型半角、螺距、滾柱等效球半徑及絲杠和螺母等效球半徑對接觸點位置和軸向間隙的影響。由于參數變化對滾柱-螺母側接觸點位置和軸向間隙影響很小，下面僅對絲杠-滾柱側進行分析，分析使用的PRSM幾何參數見表1，其中滾柱數為10。

表1 PRSM幾何參數Tab.1 Geometric parameters of PRSM

3.1.1 牙側角α對嚙合性能的影響

牙側角是影響PRSM嚙合特性的重要因素，為探究牙型角對凸凹接觸的PRSM嚙合性能的影響，牙側角α在[30°，75°]內取值，其他參數保持不變，螺距P=2.0 mm,滾柱凸圓弧半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。牙側角對接觸點位置和軸向間隙的影響如圖6所示。

(a)牙側角α對接觸點位置的影響

3.1.2 螺距P對嚙合性能的影響

螺距P在[0.5 mm，3.0 mm]內取值，其他參數保持不變，牙側角α=45°,滾柱凸圓弧半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。螺距P對接觸點位置的影響如圖7所示。

圖7 螺距P對接觸點位置的影響Fig.7 Influence of pitch P on contact point position and axial clearance

3.1.3 滾柱凸圓弧半徑rre對嚙合性能的影響

滾柱凸圓弧半徑rre分別取3.0000、9.8995、20.0000、30.0000、40.0000、50.0000 mm，其他參數保持不變，牙型半角α=45°,螺距P=2.0 mm，絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne=1.10rre。滾柱凸圓弧半徑rre對接觸位置和軸向間隙的影響如圖8所示。

(a)滾柱凸圓弧半徑rre對接觸點位置的影響

3.1.4 絲杠和螺母凹圓弧半徑rse、rne對嚙合性能的影響

分別取絲杠和螺母凹圓弧半徑rse=rne為rre、1.06rre、1.10rre、1.50rre、2.00rre、2.50rre、3.00rre，其他參數保持不變，牙側角α=45°,螺距P=2 mm，滾柱凸圓弧半徑rre=9.899 5 mm。絲杠和螺母凹圓弧半徑對接觸位置和軸向間隙的影響見圖9和圖10。

圖9 絲杠和螺母凹圓弧半徑對接觸點位置的影響Fig.9 Influence of concave arc radius of screwand nut on contact point position

圖10 絲杠和螺母凹圓弧半徑對軸向間隙的影響Fig.10 Influence of concave arc radii of screw and nut on axial clearance

由圖9和圖10可知，絲杠和螺母凹圓弧半徑取值對接觸點位置和軸向間隙幾乎沒有影響。

3.2 承載特性分析

由于行星滾柱絲杠牙型輪廓發(fā)生變化，主曲率將會發(fā)生變化，從而引起接觸應力的變化。施加30 kN的軸向力對接觸應力進行計算，并討論牙側角、螺距和滾柱螺紋牙數對凸凹接觸的PRSM接觸應力的影響，并對標準式和凸凹接觸的PRSM的接觸應力進行對比。幾何參數見表1中的參數，且取螺距P=2 mm，牙側角α=45°，滾柱等效球半徑rre=rr/sinα，絲杠和螺母凹圓弧半徑為rse=rne=1.10rre。

3.2.1 牙側角α對承載性能的影響

牙側角是影響PRSM承載性能的重要因素之一，如圖11所示，隨著螺紋牙序號的增加，PRSM的接觸應力逐漸減小，不同牙側角的接觸應力的變化趨勢基本一致，隨著牙側角的增大，PRSM的接觸應力逐漸增加，且增大趨勢越來越小。

圖11 牙側角對接觸應力的影響Fig.11 Influence of flank angle on contact stress

3.2.2 螺距P對承載性能的影響

如圖12所示，隨著螺紋牙序號的增加，螺紋牙上的接觸應力仍然逐漸減小；但隨著螺距的減小，前8顆螺紋牙上的接觸應力逐漸減小，后12顆螺紋牙上的接觸應力逐漸增大；螺距P=3.0 mm，λ=12.094 8°時，最大和最小應力差為505.63 Mpa；螺距P=0.5 mm，λ=2.054 5°時，最大和最小應力差為79.13 Mpa，可見螺距越小應力分布越均勻。

圖12 螺距P對接觸應力的影響Fig.12 Influence of pitch P on contact stress

3.2.3 滾柱螺紋牙數對承載性能的影響

滾柱螺紋牙數直接影響著PRSM的接觸應力分布，如圖13。

圖13 滾柱螺紋牙數對接觸應力的影響Fig.13 Influence of thread tooth number on contact stress

隨著螺紋牙序號的增加，PRSM的接觸應力逐漸減小，隨總螺紋牙數一定程度地增加，每顆螺紋牙上的接觸應力均會減小，但應力分布不均的現(xiàn)象加劇，接觸應力整體變化趨勢保持一致。

3.2.4 標準式和凸凹接觸的PRSM的接觸應力對比

圖14為標準式和凸凹接觸式PRSM在絲杠側和螺母側的接觸應力對比?？梢钥闯?，標準式PRSM的接觸應力在絲杠側和螺母側應力分布規(guī)律基本一致，但均大于凸凹接觸式PRSM的，當絲杠和螺母牙型凹圓弧半徑為滾柱凸圓弧半徑的1.06倍時，凸凹接觸的PRSM最大接觸應力較標準式的減小了1/2左右。隨著絲杠和螺母凹圓弧半徑的增大，兩側的接觸應力也逐漸增大，對承載能力的提高就越不明顯，且圓弧半徑的增大可能會引起滑動；絲杠和螺母圓弧半徑越小，雖然兩側的接觸應力有明顯的降低，但絲杠和螺母圓弧半徑的減小將增加嚙合干涉和安裝困難的風險，因此絲杠和螺母要選擇合理的凹圓弧半徑。

(a)絲杠側接觸應力對比

4 結 論

1)提出了一種凸凹接觸的PRSM，將絲杠和螺母的牙型輪廓設計為凹圓弧，建立了凸凹接觸式PRSM的空間嚙合模型和承載模型，系統(tǒng)分析了牙側角、螺距等結構參數對其嚙合特性和承載特性的影響。

2)隨牙側角增大，絲杠和滾柱的接觸點將逐漸靠近絲杠和滾柱回轉中心連接線，且軸向間隙逐漸增大；隨螺距增大，其接觸點位置將遠離絲杠和滾柱回轉中心連接線，且接觸點均在絲杠中徑附近；隨滾柱凸圓弧半徑增大，接觸點位置往絲杠牙根方向變化，軸向間隙逐漸減??；絲杠和螺母的凹圓弧半徑對接觸點位置和軸向間隙幾乎沒有影響。

3)凸凹接觸的PRSM承載能力隨牙側角的增大而減?。浑S螺距減小，前8顆螺紋牙上的接觸應力逐漸減小，后面螺紋牙上的接觸應力逐漸增大，且整體接觸應力分布逐漸均勻；隨滾柱螺紋牙數一定程度地增加，每顆螺紋牙上的接觸應力減小，但應力分布不均現(xiàn)象加劇。

4)凸凹接觸的PRSM與標準式PRSM在滾柱螺紋牙上的接觸應力分布規(guī)律基本一致，凸凹接觸式PRSM的滾柱在絲杠側和螺母側的接觸應力都有明顯降低，且隨絲杠和螺母的凹圓弧半徑的減小接觸應力逐漸減??；但為保證PRSM的性能，絲杠和螺母要選擇合理的凹圓弧半徑。