蘇立鵬　李銘輝　梁詩埼

分類討論思想是中考數(shù)學(xué)的熱點.下面舉例介紹其在中考試卷里的應(yīng)用.

[真題再現(xiàn)]

例1 （2022·湖南·衡陽）如圖1，已知拋物線y = x2 - x - 2交[x]軸于A，B兩點，將該拋物線位于[x]軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．

（1）寫出圖象W位于A，B兩點之間的部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若直線[y=-x+b]與圖象W有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出[b]的值.

（3）[P]為[x]軸正半軸上一動點，過點[P]作[PM?y]軸交直線[BC]于點[M]，交圖象[W]于點[N]，是否存在這樣的點[P]，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點[P]的坐標；若不存在，請說明理由．

[思路分析]

整體分析：用分段函數(shù)的模型和分類討論的思想來分析，把圖形分成三段分別研究，第一問即是中間段的函數(shù)表達式（這是分類中的一個部分，要注意取值范圍），第二問、第三問都可以轉(zhuǎn)化成常見的二次函數(shù)交點數(shù)量問題和相似三角形存在性問題，注意圖象特征即可.

逐問分析：（1）先求出點A，B，C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式. （2）其一由圖象可直接求得，其二根據(jù)第一種情況分析并聯(lián)立方程組，由判別式Δ = 0求出b的值. （3）要結(jié)合題中的條件進行兩次分類討論：第一次分類根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM = 90°和∠NCM = 90°兩種情況；第二次分類根據(jù)點P與點B的相對位置，分點P在線段AB上和點P在AB的延長線上兩種情況．

[過程詳解]

解：（1）由翻折可知：C（0，2）.令[x2-x-2=0]，解得[x1=-1]，[x2=2]，∴A（ - 1，0），B（2，0）. 設(shè)圖象[W]位于A，B兩點之間的部分的解析式為y = a（x + 1）（x - 2），將C（0，2）代入，解得[a=-1]，∴圖象[W]位于A，B兩點之間的部分的函數(shù)關(guān)系式為y = - （x + 1）（x - 2） = [-x2+x+2]（[-1≤x≤2]）．

（2）聯(lián)立方程組[y=-x+b，y=-x2+x+2，]整理，得[x2-2x+b-2=0]，由Δ = 4 - 4（b - 2） = 0，得b = 3，此時方程有兩個相等的實數(shù)根. 由圖象可知，當b = 2或b = 3時，直線[y=-x+b]與圖象[W]有三個交點.

（3）存在. 如圖2，當點P在線段AB上且[CN?OB]時，[△OBC∽△NCM]，此時，點N與C關(guān)于直線[x=12]對稱，∴點N的橫坐標為1，∴P（1，0）；如圖3，當點P在線段AB延長線上且[CN?OB]時，[△OBC∽△NCM]，此時，點[N]縱坐標為2，由[x2-x-2=2]，解得[x1=1+172]，[x2=1-172]（舍），∴點N的橫坐標為[1+172]，所以[P1+172，0]；如圖4，當[∠NCM=90°]時，[△OBC∽△CNM]，此時，直線[CN]的解析式為[y=x+2]，聯(lián)立方程組[y=x+2，y=x2-x-2，]整理得x2 - 2x - 4 = 0，解得[x1=1+5]，[x2=1-5]（舍），∴N的橫坐標為[1+5]，所以P（[1+5]，0）.

[能力提升]

例2 （2021·四川·瀘州）如圖5，在平面直角坐標系中，拋物線[y=-14x2+32x+4]與兩坐標軸分別相交于A，B，C三點.

（1）求證：∠ACB = 90°.

（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．

①求DE + BF的最大值；

②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，求點D的坐標．

解：（1）令x = 0，得[y=4]，∴C（0，4）. 令[y=0]得[-14x2+32x+4=0]，解得x1 = -2，x2 = 8，[∴A（-2，0）]，[B（8，0）]，∴[AB=10]，[AC=25]，[BC=45]. [∵102= （25）2+（45）2]，[∴AB2=AC2+BC2]，[∴∠ACB=90°].

（2）①設(shè)直線BC的解析式為[y=kx+b（k≠0）]，將[B（8，0）]，[C（0，4）]代入得[8k+b=0，b=4，]解得[k=-12，b=4，][∴y=-12x+4]. 設(shè)[Dx，-14x2+32x+4]，[∴BF=8-x，DE=-14x2+32x+4--12x+4=-14x2+2x]，[∴DE+BF=-14x2+2x+8-x] [=-14x2+x+8] [=-14（x-2）2+9]. [∵-14<0]，[∴-14（x-2）2≤0]，[∴-14（x-2）2+9≤9]，[∴DE+BF≤9]，即DE + BF的最大值為9.

②[∵]點G是AC的中點，∴在[Rt△AOC]中，[OG=12AC=AG=5]，即△AOG為等腰三角形. [∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°]，[∴∠CAO=∠OCB]. [∵OC?DF]，[∴∠OCB=∠DEC]，[∴∠CAO=∠DEC].

a. 若△AGO ∽ △EDC，則[AGAO=EDEC=52]，即[-14x2+2xEC=52]，∴[52]EC = -[14]x2 + 2x. [∵OC?DF]，[∴ECBC=FOOB，∴EC=BC?FOOB=5x2]，[∴-14x2+2x=5x2×52]，[∴x2-3x=0]，解得x1 = 0，[x2=3]. 當x = 0時，點D與點C重合，不符合題意，∴此時點D坐標為[3，254].

b.當△AGO ∽ △ECD時，[AGAO=ECED=52]，即[EC-14x2+2x] = [52]，∴EC = [52-14x2+2x]，[∵OC?DF]，∴[ECBC=FOOB]，[∴EC=BC?FOOB=5x2]，∴[52-14x2+2x] = [52x]，整理得，[∴x2-4x=0]，解得[x1=0]，[x2=4]. ∵x = 0不符合題意，舍去. ∴此時點D坐標為（4，6）.

綜上所述，[D3，254]或[D（4，6）]．