肖其珍 劉宏亮* 歐陽自根 彭湘凌

1.南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院（湖南省衡陽市 421001）

2.湖南財經(jīng)工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部（湖南省衡陽市 421002）

1 引言

習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強(qiáng)調(diào)，要堅持把立德樹人作為高校思想政治工作的中心環(huán)節(jié)，要用好課堂教學(xué)這個主渠道，思想政治理論課要堅持在改進(jìn)中加強(qiáng)，提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學(xué)生成長發(fā)展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)[1]。在《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[2]中也明確了課程思政的本質(zhì)內(nèi)涵是在傳授知識和培養(yǎng)能力的同時，將思政元素潤物細(xì)無聲地穿插貼合進(jìn)去，逐漸熏陶學(xué)生形成正確的世界觀、價值觀和人生觀，同時，在落實立德樹人根本任務(wù)時，必須將價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體、不可割裂。在此背景下，各高校積極開展專項研究與實踐，探索如何將思政元素融入到各類課程教學(xué)中，才能起到潤物無聲的育人效果[3-6]。

《高等數(shù)學(xué)》作為理工科學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課程，具有知識點多且抽象、授課持續(xù)時間長（通常為一年時間）、覆蓋學(xué)生面廣等特點，且通常安排的大學(xué)一年級就開始學(xué)習(xí)。通過學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，能夠很好地提高學(xué)生思維能力，為后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)和解決專業(yè)地實際問題提供數(shù)學(xué)素養(yǎng)。基于以上特點，若該課程能融入思政元素將在高校的人才培養(yǎng)質(zhì)量及學(xué)生的未來發(fā)展中起到舉足輕重的作用。因此，在課堂教學(xué)中不僅要注重基礎(chǔ)理論、基本方法及應(yīng)用能力等方面的傳授與培養(yǎng)，而且要挖掘知識點或解題過程中所蘊(yùn)含的思政元素，才能為立德樹人這一根本任務(wù)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)[3]。

基于此，本文將以《高等數(shù)學(xué)》（上冊）[7]中的“定積分的定義”為例，結(jié)合實際情況，采用“講好中國故事”和“運(yùn)用建模思想”相結(jié)合的教學(xué)模式，在講解過程中有意識地融入思政元素，讓學(xué)生更加主動，更有熱情地投入到新知識的學(xué)習(xí)當(dāng)中。筆者授課對象為南華大學(xué)土木工程學(xué)院和資源環(huán)境與安全工程學(xué)院的大一學(xué)生，上課時間為周一、三、五上午1-2 節(jié)。同學(xué)們在高中階段對定積分的簡單計算有一定的基礎(chǔ)，具有初步分析和解決問題的能力，但對于定積分概念的深刻理解和應(yīng)用能力還有不足。絕大部分學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度較為認(rèn)真，對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題極感興趣。因此，在具體的課堂教學(xué)過程中，我們通過“情境的創(chuàng)設(shè)-問題的提出-概念的凝練-練習(xí)與提高”等步驟，將數(shù)學(xué)理論和思想與實際背景相結(jié)合，注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和塑造學(xué)生正確“三觀”融入到課堂中來。

2 教學(xué)過程

2.1 情境的創(chuàng)設(shè)

通過PPT 展示某些地方的標(biāo)志性建筑物（如深圳的地王大廈、廣州的“小蠻腰”廣州塔、北京故宮等）來吸引學(xué)生的注意力。話題一轉(zhuǎn)，問學(xué)生們南華大學(xué)的“標(biāo)志性的植物”是什么？接著讓學(xué)生從窗戶看看教室正對面的南華廣場上被學(xué)生們稱為“棒棒糖”的樟樹（圖1），然后問“同學(xué)們能不能求出我們所看到的最大樹冠的投影面積（圖2）”，同時在黑板上快速地描繪出樹冠曲線坐標(biāo)圖（圖3），且指出今天課程的主要目標(biāo)就是利用定積分的知識來計算這一類圖形（不規(guī)則圖形）的面積。從而，引起了學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和熱情。

圖1 “棒棒糖”樹

圖2 “棒棒糖”樹冠輪廓

圖3 樹冠坐標(biāo)圖

2.2 問題的提出

類似于樹冠投影（不規(guī)則）的圖形，如果知道輪廓函數(shù)的表達(dá)式，如何求得其面積？這是現(xiàn)實生活中的常見問題，但與中學(xué)時期所接觸的規(guī)則圖形（如三角形，矩形等）有所不同。為了解決這個問題，先回顧矩形面積的計算公式，且黑板板書寫下S=a×b，接著，介紹曲邊梯形的概念，即：

定義1[7]：設(shè)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上非負(fù)且連續(xù)。由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）所圍成的圖形（如圖4）稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。

圖4 曲邊梯形

這時應(yīng)當(dāng)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)矩形面積公式已無法用來求解圖4 中曲邊梯形的面積。那么如何準(zhǔn)確計算出圖4 中曲邊梯形的面積呢？此時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生往“近似”的思路去思考，也即，用底邊長度為｜b-a｜乘以曲線任意一點對應(yīng)的高度f（x0）所獲得的矩形面積近似曲邊梯形面積。需指出，此時的誤差太大（如圖5所示）。但是如果先把曲邊梯形“劃分”成若干個（許多個）小的曲邊梯形（用n來表示小曲邊梯形的個數(shù)），而每一個小的曲邊梯形的面積用一個等底的矩形面積來近似，再把所有的小矩形面積相加，所得到的總的小矩形面積與圖4 大的曲邊梯形面積的誤差就會縮小，并且“劃分”越細(xì)，誤差越小（如圖6 所示）。即當(dāng)n趨于無窮大時，小矩形面積之和將無限地趨向于大的曲邊梯形的面積。這時強(qiáng)調(diào)這一思想為古希臘“窮竭法”，但是早在魏晉時期我國著名數(shù)學(xué)家劉徽在其割圓術(shù)求圓周率時就體現(xiàn)出來了。正如劉徽在其著作《九章算術(shù)》中所言“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，可見其思想與古希臘窮竭法不謀而合。同時，通過PPT 動畫展示割圓術(shù)的過程，并且講述劉暉割圓術(shù)的思想來源于他在工地上看到石匠們加工方塊石頭變成圓柱體石頭的過程而獲得靈感。這樣，即可以讓學(xué)生們理解抽象的極限過程，即加深印象，又可以增加民族自豪感，激起學(xué)習(xí)的熱情。

圖5 矩形近似曲邊梯形

圖6 劃分近似求和示意圖

2.3 概念的凝練

引導(dǎo)學(xué)生從上述分析求解曲邊梯形的過程中，凝練出定積分的定義，過程如下：

（1）分割，即在區(qū)間[a，b]內(nèi)隨機(jī)插入若干個分點，且記a=x1＜x2＜L＜xn-1＜xn=b，這樣區(qū)間[a，b]分成了n個小區(qū)間，記第i個小區(qū)間為[xi-1，xi]。

（2）近似，即在區(qū)間[xi-1，xi]內(nèi)任意取一點ξi，以區(qū)間[xi-1，xi]的長度為底，以f（x）在點ξi的取值f（ξi）為高，求出小矩形面積Si=f（ξi）Δxi近似于小曲邊梯形面積Ai，即Ai ≈Si。

通過上面的分析過程，訓(xùn)練了學(xué)生從具體到抽象的思維能力。此時，教師可以與學(xué)生分享上面的“分割”和“求和”的兩個步驟中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，也即分割方法體現(xiàn)出“化整為零”的思想，而求和過程又表現(xiàn)出“集零為整”的哲理，并且指出這一哲學(xué)思想其實在“曹沖稱象”的故事中就得到了運(yùn)用。另一方面，“近似”的過程也蘊(yùn)含著“以不變應(yīng)萬變”的道家處變不驚的處世哲學(xué)，“取極限”的過程卻表現(xiàn)出“精益求精”的工作和學(xué)習(xí)態(tài)度。這樣通過和學(xué)生一起總結(jié)定積分的思想和方法，使學(xué)生對定積分的概念從認(rèn)識上有了飛躍和升華，同時讓學(xué)生體會到通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還可以了解中國數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的故事，以及蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中的哲學(xué)道理和生活智慧。

通過對上述過程的分析和凝練，給出定積分的定義和幾何意義。

2.3.1 定積分的定義

同時，強(qiáng)調(diào)以下三點：

（1）積分值僅與積分函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，但與積分變量的字母無關(guān)，即：

由此與學(xué)生分享這里面蘊(yùn)含的“通過現(xiàn)象看本質(zhì)”的哲學(xué)思維。

（2）注意到區(qū)間分法和ξi取值的任意性，強(qiáng)調(diào)這是極限思想的體現(xiàn)。

（3）定積分是一個常數(shù)，是由極限存在唯一性決定的。

2.3.2 定積分的幾何意義

圖7 定積分幾何意義

2.4 練習(xí)與提高

例題：通過合理地假設(shè)條件，利用定積分的定義和幾何意義給出南華廣場上“棒棒糖”樹樹冠投影面積的表達(dá)式。

分析：利用數(shù)學(xué)建模的思想，不妨假設(shè)“棒棒糖”樹冠的投影在直角坐標(biāo)系下的圖如圖3 所示。為了給出樹冠投影面積的表達(dá)式，下面利用定積分的定義和幾何意義來求解。首先，利用兩條平行于y軸的虛線找出投影的最大“寬度”，即找到虛線與投影邊界唯一的交點，如圖8 中的A點與B點所示，此時A點與B分別在x軸上的投影為a與b。于是，樹冠的投影面積就可以用兩個曲邊梯形的面積之差來表示，也即圖形ABCD的面積I就等于曲邊梯形AabBDA的面積減去曲邊梯形AabBCA的面積。假設(shè)弧ADB和弧ACB在區(qū)間[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，其表達(dá)式分別為f（x）與g（x）。于是利用定積分的定義可求得曲邊梯形AabBDA和曲邊梯形AabBCA的面積分別為

圖8 構(gòu)造曲邊梯形圖

因此，“棒棒糖”樹樹冠投影面積的表達(dá)式為

3 結(jié)語

課程思政是當(dāng)前高校思想政治工作的新理念、新模式，是在講解原有的知識架構(gòu)和內(nèi)容的同時挖掘具有正能量的思政元素，融入到課堂教學(xué)當(dāng)中以實現(xiàn)知識的傳授、能力的培養(yǎng)和價值觀的塑造的教學(xué)模式。但在具體的課堂教學(xué)中，由于各學(xué)科的特點不一，以致課程思政并無定法，目前也無章可循。本文以“講好中國故事”和“解決實際生活問題”的模式進(jìn)行設(shè)計教學(xué)。首先以如何求出南華大學(xué)紅湘校區(qū)同學(xué)們最喜愛的“棒棒糖”樹樹冠投影的面積為情景鋪設(shè)，引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和愛校情懷。在分析講解定積分定義的四個主要步驟中穿插了“中國故事”，以增強(qiáng)同學(xué)們的民族自豪感和愛國情感，同時分享了在“分割”和“求和”的過程中所蘊(yùn)含的 “化整為零”和“集零為整”的哲理思想及解決問題的方法，在“近似”和“取極限”的過程中蘊(yùn)含著“以不變應(yīng)萬變”的道家處變不驚的處世哲學(xué)和“精益求精”的工作學(xué)習(xí)態(tài)度。通過和學(xué)生分享和總結(jié)定積分的思想和方法，使學(xué)生對定積分的概念更加深入地理解，同時塑造了學(xué)生正確的“三觀”。最后，通過結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想，展示了如何利用定積分的定義和幾何意義給出了“棒棒糖”樹樹冠的投影面積表達(dá)式的數(shù)學(xué)建模過程。這樣讓學(xué)生感受到的是數(shù)學(xué)知識的實用性，而不再是晦澀難懂的公式。在這一堂課程中，我們在學(xué)習(xí)定積分的過程中融入了思政元素，起到了塑造學(xué)生情感的效果。即便如此，課程思政無處不在，卻又法無定法，還需大家共同努力，才能夠真正達(dá)到“全程育人、全方位育人”的目的。