盧立果，馬立燁，劉萬科，吳湯婷，胡偉建

1. 東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院, 江西 南昌 330013； 2. 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，廣西 桂林 541006； 3. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079； 4. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079

在一些GNSS定位場(chǎng)景下(比如姿態(tài)測(cè)量)，GNSS天線之間的基線長(zhǎng)度可以事先精確量取，常被用作先驗(yàn)信息參與基線處理和模糊度解算，以提高模糊度解算的成功率，稱為附有基線長(zhǎng)度約束的模糊度解算[1-2]。根據(jù)基線長(zhǎng)信息的使用方式不同，主要分為3種方法：第一種是將基線長(zhǎng)信息作為虛擬觀測(cè)值，同偽距和相位觀測(cè)值一起進(jìn)行模糊度浮點(diǎn)解估計(jì)[3-5]；第二種是將基線長(zhǎng)信息用于模糊度整數(shù)值確認(rèn)環(huán)節(jié)[6-8]；第三種是基線二次型約束的整數(shù)最小二乘法(quadratically constrained integer least-squares,QC-ILS)，它將基線長(zhǎng)信息加入模糊度搜索及基線固定過程，通過擴(kuò)大模糊度二次型的搜索范圍，尋找滿足混合二次型最小的模糊度向量[9-13]。由于QC-ILS解算是建立在標(biāo)準(zhǔn)LAMBDA(least-square ambiguity decorrelation adjustment)算法基礎(chǔ)上，因此這種處理方法又稱作約束LAMBDA算法(constrained LAMBDA,CLAMBDA)[10]。相較于其他兩類方法，CLAMBDA可以嚴(yán)格地把基線長(zhǎng)信息融合到整數(shù)最小二乘(integer least-squares,ILS)準(zhǔn)則下[11]。針對(duì)弱GNSS模型，僅選取基線長(zhǎng)信息參與模糊度解算，CLAMBDA可以顯著提高模糊度解算成功率[12-16]。

盡管CLAMBDA具有優(yōu)異的模糊度解算性能，但能否快速解算出模糊度是決定其具有實(shí)時(shí)應(yīng)用的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[13]采用基于邊界函數(shù)收縮的方法獲得靜態(tài)約7 ms、動(dòng)態(tài)約20 ms的計(jì)算結(jié)果。文獻(xiàn)[17]采用靜態(tài)模擬數(shù)據(jù)獲得約22 ms的計(jì)算結(jié)果。為更好地滿足實(shí)時(shí)應(yīng)用需求，文獻(xiàn)[2]指出CLAMBDA在搜索方面仍有待進(jìn)一步提高。而提高CLAMBDA解算效率的關(guān)鍵，首先在于如何設(shè)置合理的初始空間，其次在于如何更好地更新搜索空間。在CLAMBDA解算時(shí)，為保障初始搜索空間包含CLAMBDA解，通常設(shè)置一個(gè)非空的初始搜索空間(即至少包含一組模糊度候選向量)[13]。針對(duì)弱GNSS模型模糊度解算成功率較低，采用ILS等整數(shù)估計(jì)方法獲得的初始模糊度向量將嚴(yán)重偏離真值[10]，從而導(dǎo)致計(jì)算的初始搜索空間過大，難以快速獲取CLAMBDA解。

因此，為進(jìn)一步提高CLAMDBA的解算效率，本文將重點(diǎn)針對(duì)初始搜索空間的設(shè)置和更新開展相關(guān)研究。

1 CLAMBDA解算模型

加入基線長(zhǎng)約束后的GNSS數(shù)學(xué)模型為[10]

(1)

式中，y為GNSS觀測(cè)值；l為量取的基線長(zhǎng)；a和b分別為模糊度和基線分量參數(shù)；A和B為相應(yīng)的系數(shù)矩陣；E(·)和D(·)分別表示期望和方差算子。

對(duì)式(1)采用最小二乘估計(jì)，并進(jìn)行正交分解

(2)

F(a)=min

(3)

式(3)通過約束條件，把模糊度ILS解算問題轉(zhuǎn)化成QC-ILS問題。由于滿足E(a)最小的模糊度不一定滿足F(a)最小，即模糊度搜索空間不再為橢球體。當(dāng)解算出各個(gè)整數(shù)模糊度a及其對(duì)應(yīng)的b(a)后求取F(a)，選擇滿足F(a)最小的a和b(a)作為最終固定的整數(shù)模糊度向量和基線分量。

(4)

(5)

2 CLAMBDA快速搜索算法

2.1 邊界函數(shù)法

為實(shí)現(xiàn)CLAMBDA的快速解算，目前性能最優(yōu)的方法是基于邊界函數(shù)進(jìn)行搜索空間收縮的算法(bounding functions search and shrink strategy,BFS)[2,12]。

(6)

則F(a)存在下述不等關(guān)系

F1(a)≤F(a)≤F2(a)

(7)

式中

當(dāng)搜索空間大小為χ2時(shí)，各自對(duì)應(yīng)的模糊度候選整數(shù)向量空間為

(8)

式(8)表示在相同搜索空間內(nèi)F1(a)包含的模糊度向量個(gè)數(shù)依次大于F(a)和F2(a),整數(shù)向量空間關(guān)系為

ΩF2(χ2)?ΩF(χ2)?ΩF1(χ2)

(9)

2.2 改進(jìn)的搜索算法

2.2.1 縮放因子定義

假令A(yù)SS的搜索空間大小為χ2，則滿足如下關(guān)系式

(10)

式中，μ1為縮小因子，μ2為放大因子，為避免空間的放大和縮小過程陷入死循環(huán)，必須保證μ1×μ2≠1；i為模糊度向量個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，表示在搜索空間χ2內(nèi)基于深度優(yōu)先搜索算法枚舉的候選模糊度向量個(gè)數(shù)[18-19]；threshold為χ2內(nèi)模糊度候選向量個(gè)數(shù)的閾值；k為收縮空間次數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，表示F2(a)更新搜索空間的次數(shù)。μ1、μ2和threshold的具體設(shè)置下文將會(huì)進(jìn)行詳細(xì)討論。

式(10)表示在搜索空間χ2中，枚舉的候選向量個(gè)數(shù)超過閾值，說明當(dāng)前搜索空間相對(duì)較大，則采用縮小因子降低χ2的數(shù)值；反之，如果在χ2內(nèi)枚舉出全部的候選整數(shù)向量個(gè)數(shù)沒有超過閾值，但是所有整數(shù)向量的F2(a)值都大于χ2，未能更新搜索空間(k=0)，說明搜索空間χ2相對(duì)過小，無法確認(rèn)空間內(nèi)包含滿足二次型F(a)最小的模糊度最優(yōu)解，則采用放大因子增大χ2的數(shù)值。

2.2.2 初始搜索空間設(shè)置

E0

(11)

2.2.3 實(shí)現(xiàn)流程

在BFS算法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，基于縮放因子的ASS算法的具體步驟如下(圖1)：

(2) 枚舉出模糊度向量a，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的F2(a)，更新i=i+1。

(7) 求取各個(gè)模糊度向量對(duì)應(yīng)的F(a)，選取滿足F(a)最小的模糊度向量amin，此時(shí)amin即為CLAMBDA解。

圖1 ASS搜索流程Fig.1 Flowchart of ASS search

3 試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文提出的基于縮放因子的ASS算法的搜索性能，采用LAMBDA算法和BFS算法(初始空間設(shè)置同ASS-1算法)來驗(yàn)證ASS算法的性能，并選取一組靜態(tài)算例和一組動(dòng)態(tài)車載算例進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比分析，基本信息見表1。其中動(dòng)態(tài)算例為GNSS測(cè)向試驗(yàn)，GNSS天線固連在剛性載體上，基線長(zhǎng)度保持不變。為了純粹地比較不同模糊度解算方法的效果，盡量不引入前后歷元的觀測(cè)信息，本文采用單歷元模式進(jìn)行模糊度解算，并使用NovAtel公司發(fā)布的高精度事后動(dòng)態(tài)處理軟件GrafMov計(jì)算結(jié)果作為參考真值，當(dāng)基線3個(gè)方向分量(N、E、U)與參考真值的偏差小于3、3、6 cm，即認(rèn)為模糊度固定正確；為提高CLAMBDA模糊度初值的準(zhǔn)確率，加快模糊度的搜索效率，文中BFS算法和ASS算法均采用LAMBDA解作為初值來設(shè)置初始搜索空間。

本文的模糊度搜索耗時(shí)是在PC機(jī)上基于MATLAB 2016a軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的，其軟硬件配置為：Intel Core i7-7700HQ CPU，2.80 GHz主頻，8 GB內(nèi)存，Win10操作系統(tǒng)(64位)。

表1 算例基本信息

3.1 靜態(tài)算例

該組數(shù)據(jù)采集于武漢某科技園樓頂，為靜態(tài)超短基線觀測(cè)數(shù)據(jù)。圖2為共視衛(wèi)星數(shù)和PDOP(position dilution of precision)值序列圖，由圖2可知GPS和BDS的可視衛(wèi)星數(shù)均在10顆左右，PDOP值在3附近，觀測(cè)條件良好。

圖2 共視衛(wèi)星數(shù)及PDOP值Fig.2 Number of common view satellites and PDOP value

3.1.1 模糊度固定成功率分析

表2統(tǒng)計(jì)了LAMBDA方法和CLAMBDA方法在基線長(zhǎng)取不同先驗(yàn)精度σ下的模糊度固定成功率。其中，針對(duì)CLAMBDA解算的不同搜索算法僅影響搜索效率，而不影響最終的搜索結(jié)果，因此僅以ASS-2為例給出了CLAMBDA解算的模糊度固定成功率。由表2可知，采用LAMBDA方法進(jìn)行模糊度固定時(shí)其固定成功率明顯較低，采用CLAMBDA方法時(shí)， 由于加入了基線長(zhǎng)信息，增強(qiáng)了模型強(qiáng)度，極大地提高了模糊度固定成功率，GPS和BDS的模糊度固定成功率普遍可提升至99%以上。另一方面，不同的σ也會(huì)對(duì)模糊度解算的成功率帶來一定影響，在σ大于5 cm時(shí)，會(huì)影響CLAMBDA的解算性能，因此在實(shí)際使用時(shí)σ設(shè)置不宜過大，本文后續(xù)CLAMBDA的試驗(yàn)對(duì)比分析均采用σ=0的強(qiáng)約束模型[11,13]。

表2 不同先驗(yàn)信息下的模糊度固定成功率

表3統(tǒng)計(jì)了不同衛(wèi)星個(gè)數(shù)下的模糊度成功率。由表3可以看出，LAMBDA算法固定成功率與衛(wèi)星數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系，受GNSS模型強(qiáng)度影響較大，而CLAMBDA方法在針對(duì)弱GNSS的觀測(cè)場(chǎng)景，可以顯著提高模糊度的固定成功率。

表3 不同衛(wèi)星個(gè)數(shù)下的模糊度固定成功率

3.1.2 縮放因子和候選向量個(gè)數(shù)閾值設(shè)置分析

根據(jù)上節(jié)分析可知CLAMBDA針對(duì)弱GNSS模型具有較好的模糊度解算性能，下面將探討如何實(shí)現(xiàn)CLAMBDA的快速解算。由于ASS-1和ASS-2兩種算法初始空間設(shè)置不同，對(duì)縮放因子選取也不同，本節(jié)將對(duì)兩種算法下的縮放因子和模糊度候選向量個(gè)數(shù)閾值如何設(shè)置進(jìn)行討論，為后續(xù)算法的具體實(shí)現(xiàn)提供依據(jù)。

圖3 Fc與E0和F0的關(guān)系Fig.3 Relationship among Fc, E0 and F0

表4 不同縮小因子下ASS-1平均解算耗時(shí)

圖4 不同縮小因子下ASS-1的解算耗時(shí)累積分布函數(shù)Fig.4 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-1 under different reduction factors

表5 不同放大因子下ASS-2平均解算耗時(shí)

圖5 不同放大因子下ASS-2的解算耗時(shí)累積分布函數(shù)Fig.5 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-2 under different amplification factors

針對(duì)每個(gè)搜索空間χ2中閾值threshold的設(shè)置問題，首先作一簡(jiǎn)要分析，如果threshold設(shè)置過小，則會(huì)過于頻繁地縮小搜索空間，模糊度搜索時(shí)需要不斷地初始化，影響搜索效率；設(shè)置過大則不利于搜索空間的收縮，同樣影響搜索效率?；诖?，筆者設(shè)置threshold分別為500、1000、1500和2000，比較不同threshold下ASS-1算法的解算性能(當(dāng)搜索空間收縮時(shí)，表明枚舉的候選向量數(shù)大于threshold，由于ASS-1算法以收縮空間為主，threshold數(shù)值的設(shè)置對(duì)ASS-1算法影響較大，因此采用ASS-1算法進(jìn)行分析)。表6為不同threshold下統(tǒng)計(jì)的ASS-1平均解算耗時(shí)，圖6為對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)圖。由圖6和表6可知，在threshold為1000時(shí)，可獲得較好的解算效果。因此，本文ASS算法的threshold設(shè)置為1000。

圖6 不同閾值下的ASS-1解算耗時(shí)累積分布函數(shù)Fig.6 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-1 under different thresholds

需要說明的是，上述縮放因子和閾值的參數(shù)設(shè)置是通過文中算例具體比較分析得出的，不能保證為最優(yōu)參數(shù)值，但采用上述設(shè)置可以達(dá)到較好的解算效果，仍不失一般性。

表6 不同閾值下ASS-1平均解算耗時(shí)

3.1.3 解算耗時(shí)驗(yàn)證分析

通過上節(jié)詳細(xì)的試驗(yàn)對(duì)比分析給出了ASS算法的具體參數(shù)設(shè)置，下面將具體驗(yàn)證ASS算法的解算性能。

表7統(tǒng)計(jì)了不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時(shí)。由表7可知，ASS-2算法平均解算耗時(shí)在2.5 ms以內(nèi)，解算性能接近于LAMBDA算法，ASS-1次之，BFS最差；對(duì)于GPS數(shù)據(jù)，ASS-2整體解算效率相對(duì)于BFS能夠提高3倍以上，對(duì)于BDS數(shù)據(jù)，ASS-2整體解算效率相對(duì)于BFS也能夠提高58%以上；ASS-2解算耗時(shí)與衛(wèi)星個(gè)數(shù)呈正相關(guān)，隨著衛(wèi)星數(shù)的增加解算耗時(shí)也隨之增加；BFS解算耗時(shí)與衛(wèi)星個(gè)數(shù)基本呈負(fù)相關(guān)，衛(wèi)星數(shù)越少解算耗時(shí)越大；ASS-1解算耗時(shí)處于二者之間；在弱GNSS模型(如衛(wèi)星數(shù)不超過8顆時(shí))情形下，ASS-2解算效率顯著優(yōu)于BFS，但隨著衛(wèi)星觀測(cè)個(gè)數(shù)的增加，GNSS模型強(qiáng)度的增強(qiáng)，3種算法均能實(shí)現(xiàn)快速搜索，解算性能差異也隨之減小。

表7 不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時(shí)對(duì)比

圖7為BFS、ASS-1和ASS-2這3種算法的解算耗時(shí)對(duì)比。由圖可以直觀看到三者的解算性能優(yōu)劣，此處不再贅述；同時(shí)，圖7中BFS趨勢(shì)和圖3中F0/Fc趨勢(shì)基本一致，說明BFS解算效率與初始空間大小直接相關(guān)，即取決于GNSS模型強(qiáng)度。

圖7 3種算法解算耗時(shí)對(duì)比Fig.7 Comparison of resolution time of three algorithms

根據(jù)BFS、ASS-1和ASS-2解算耗時(shí)比較，其解算效率存在如下關(guān)系：ASS-2>ASS-1>BFS。由于ASS-1相較于BFS增加了縮放因子，ASS-2相較于ASS-1采用的初始空間不同，為便于分析不同因素對(duì)ASS算法的影響，下面分別從ASS-1相對(duì)BFS的提高原因、ASS-2相對(duì)ASS-1的提高原因兩個(gè)方面分別進(jìn)行分析。

圖8 ASS-1算法縮小和放大次數(shù)及初始空間變化Fig.8 Reduction and amplification times and initial space change of ASS-1 algorithm

其次，分析ASS-2解算效率高于ASS-1的原因。圖9為ASS-1和ASS-2算法在縮放次數(shù)(放大次數(shù)+縮小次數(shù))和解算耗時(shí)方面的比較關(guān)系圖。由圖9可知，ASS-2的縮放次數(shù)小于ASS-1，主要因?yàn)?E0相較于F0，與Fc差異較小，進(jìn)行空間縮放時(shí)更易調(diào)整搜索空間；在解算耗時(shí)方面，ASS-2耗時(shí)小于ASS-1，且與縮放次數(shù)的變化趨勢(shì)基本一致，主要因?yàn)槊看瓮瓿煽s放均需重新進(jìn)行初始化搜索，縮放次數(shù)越多，搜索耗時(shí)越大，反之亦然。因此，ASS-2相對(duì)于ASS-1算法的主要優(yōu)勢(shì)：從下邊界方向設(shè)置初始空間相較于上邊界，可以減小縮放次數(shù)，更快調(diào)整到合適的搜索空間，從而提高解算效率。

圖9 不同歷元下ASS-1和ASS-2算法的縮放次數(shù)和解算耗時(shí)Fig.9 Scaling times and resolution time of ASS-1 and ASS-2 under different epochs

3.2 動(dòng)態(tài)算例

下面采用動(dòng)態(tài)算例進(jìn)一步驗(yàn)證ASS算法的性能，該組數(shù)據(jù)采集于武漢梁子湖大道。圖10為共視衛(wèi)星數(shù)和PDOP值序列圖，由圖10可知，GPS和BDS的可視衛(wèi)星數(shù)均在9顆左右，PDOP值在3以內(nèi)，而在GPST 204 000 s附近跑車由于受建筑物遮擋，導(dǎo)致可視衛(wèi)星數(shù)較少。

圖10 共視衛(wèi)星數(shù)及PDOP值Fig.10 Number of common view satellites and PDOP value

表8統(tǒng)計(jì)了在不同衛(wèi)星個(gè)數(shù)下的模糊度成功率。由表8可知，CLAMBDA能夠顯著提升弱GNSS模型下的模糊度固定成功率。圖11為GPS單頻基線向量解算結(jié)果，可以看出，由于CLAMBDA的模糊度固定成功率較高，可以獲得較好的基線向量解算結(jié)果。

表8 不同衛(wèi)星個(gè)數(shù)下的模糊度固定成功率

圖11 GPS單頻基線向量解算結(jié)果Fig.11 GPS single frequency baseline vector solution results

表9統(tǒng)計(jì)了不同衛(wèi)星個(gè)數(shù)下的模糊度平均解算耗時(shí)。由表9可知，ASS-2平均解算耗時(shí)在3 ms以內(nèi)，且整體解算效率最接近于LAMBDA算法，ASS-1次之，BFS解算效果較差，ASS-2整體解算效率相較于BFS可以提高1倍以上；BFS解算效率受GNSS模型強(qiáng)度直接影響，隨著衛(wèi)星數(shù)的增多而增大；ASS-1和ASS-2的解算效率呈現(xiàn)增大后減小的趨勢(shì)，主要是當(dāng)GNSS模型強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)，解算效率受模糊度維數(shù)的影響。

表9 不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時(shí)對(duì)比

4 結(jié) 論

(3) 在弱GNSS觀測(cè)模型下，CLAMBDA相較LAMBDA方法可顯著提升模糊度的固定成功率，對(duì)信號(hào)遮擋比較嚴(yán)重的地方，如城市峽谷、山區(qū)等具有較好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。