任冬宇

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，650500)

一、背景

2017年教育部頒布了《中小學(xué)德育工作指南》，提出不同學(xué)科應(yīng)承擔(dān)的德育任務(wù),要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科,要幫助學(xué)生逐步形成敢于創(chuàng)新、求真求實的思想品質(zhì)[1].教學(xué)是德育滲透的主渠道之一,而教學(xué)設(shè)計作為課堂的預(yù)設(shè)和文本載體,在其中滲透德育對落實立德樹人的根本任務(wù)具有實質(zhì)性意義.

2019年出版的《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(人教A版)》(以下簡稱“新教材”)不同于《普通高中實驗教科書·數(shù)學(xué)(人教A 版)》(以下簡稱“舊教材”)模塊式編排方式,其中概率章節(jié)的編排變動較大,類比函數(shù)學(xué)習(xí),教材采用一套更系統(tǒng)、集中的研究路徑[2].但在教學(xué)方面,一項針對全國重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師概率教學(xué)的調(diào)查研究顯示,相比幾何、代數(shù)等內(nèi)容的教學(xué),教師在進(jìn)行概率教學(xué)時,往往更易陷入困境,即使是身處教學(xué)質(zhì)量金字塔頂部的重點(diǎn)高中,概率教學(xué)也往往存在著效果不佳的情況[3].

基于以上分析,筆者選取新教材必修第二冊第十章第二節(jié)“事件的相互獨(dú)立性”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,以期引起一線教師對德育視域下教學(xué)設(shè)計更廣泛的思考.

二、教學(xué)設(shè)計要素分析

1.教材分析

在新教材中,該節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已學(xué)互斥事件和對立事件的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步了解事件之間的關(guān)系及相應(yīng)概率的計算.舊教材將本節(jié)內(nèi)容設(shè)置在選修2-3,以條件概率的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ).這樣的編排順序不僅沖淡了獨(dú)立性的概念,而且過于強(qiáng)調(diào)獨(dú)立性和條件概率的聯(lián)系,忽視了二者之間的區(qū)別.新教材將條件概率設(shè)置在選擇性必修第三冊,而將該內(nèi)容提前到必修第二冊.這樣的編排順序較好地說明二者在概率學(xué)科中承擔(dān)的不同使命[4].因此,授課時要改變以往的思維模式.

2.學(xué)情分析

在知識方面,通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生已初步掌握了和事件、積事件、互斥事件、對立事件等事件的關(guān)系和運(yùn)算，也掌握了古典概型及概率的基本性質(zhì),為學(xué)習(xí)事件的相互獨(dú)立性奠定了基礎(chǔ);在能力方面,高一學(xué)生已具備一定的試驗、觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、歸納等能力,但思維的嚴(yán)謹(jǐn)性相對薄弱,仍需教師引導(dǎo)其由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識,進(jìn)一步得出事件的相互獨(dú)立性的公式;在情感方面,學(xué)生更愿意接受學(xué)中樂,樂中學(xué)的教學(xué)模式.

3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)兩個事件相互獨(dú)立的直觀意義及定義,利用事件的獨(dú)立性解決實際問題.

教學(xué)難點(diǎn)在實際問題情境中,判斷事件的獨(dú)立性.

4.教學(xué)目標(biāo)與方法

(1)教學(xué)目標(biāo)

① 結(jié)合有限樣本空間,理解兩事件相互獨(dú)立的直觀意義.在掌握乘法公式P(AB)=P(A)P(B)的基礎(chǔ)上,結(jié)合古典概型,利用對立事件、互斥事件的概率公式進(jìn)行計算.

② 通過試驗、觀察、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、推理、歸納等環(huán)節(jié),經(jīng)歷探索兩事件相互獨(dú)立的過程,促進(jìn)學(xué)生理性思維能力的發(fā)展.

③ 通過試驗探究啟發(fā)學(xué)生獲取新知,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)與樂相結(jié)合的數(shù)學(xué)情感,體驗特殊與一般、正難則反等數(shù)學(xué)思想,滲透直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(2)教學(xué)方法

采用探究發(fā)現(xiàn)、講授法為主、啟發(fā)法為輔的教學(xué)方法.

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣

情境大家都知道諸葛亮嗎?他是中國歷史上杰出的政治家和軍事家,被看作智慧的化身.一日,諸葛亮偶然間聽到一句話:“三個臭皮匠,抵個諸葛亮”,作為當(dāng)事人的他對此話深表懷疑,決定用事實推翻這句話.假設(shè)已知諸葛亮獨(dú)自解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大、老二、老三獨(dú)自解出問題的概率分別為0.5,0.45,0.4,將三個臭皮匠中至少有一個人解出問題的概率與諸葛亮獨(dú)自一人解出問題的概率作比較,誰的概率較大?

師:做概率題之前,一般先設(shè)事件.設(shè)三個臭皮匠中至少有一個人解出問題為事件D,老大、老二、老三獨(dú)自解出問題分別為事件A，B，C.分析事件D，至少有一個人解出問題,分為哪幾種情況?

生1:可以是一個人解出問題、兩個人解出問題,或三個人都解出問題.

師:事件D較復(fù)雜!對于復(fù)雜的事件,本著“正難則反”的原則,由上一節(jié)學(xué)習(xí)的對立事件可列出什么式子?

設(shè)計意圖將俗語轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,引起學(xué)生對舊知的主動復(fù)習(xí),并充分調(diào)動學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與本節(jié)課相關(guān)的知識點(diǎn),發(fā)現(xiàn)部分問題不能解決,引發(fā)沖突,進(jìn)而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

2.初探新知,生成定義

問題1通過下面的兩個試驗,觀察事件A的發(fā)生是否會影響事件B發(fā)生的概率?

問題2P(A)，P(B)，P(AB)之間存在什么數(shù)量關(guān)系?

試驗1分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,A為“第一枚硬幣正面朝上”,B為“第二枚硬幣反面朝上”.

師:首先,直觀感知,不論第一枚硬幣是正面朝上還是反面朝上,都不會影響第二枚硬幣的正反面,所以說這兩個事件的發(fā)生是互不影響的.如何從定量的角度進(jìn)行描述?

(教師為學(xué)生分發(fā)硬幣,以5人為一個小組,分析討論)

師:為了方便,用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”.剛才大家也投擲了硬幣,發(fā)現(xiàn)樣本空間Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}；A={(1，1)，(1，0)}；B={(1，0)，(0，0)}；AB={(1，0)}.由上節(jié)課學(xué)習(xí)的古典概型,大家能求出事件A，B及AB的概率嗎?其關(guān)系如何?

師:很好,觀察力很強(qiáng).那事件間互不影響和公式P(AB)=P(A)P(B)是否具有必然的關(guān)聯(lián)?該公式是否具有普遍性?現(xiàn)在觀察試驗2,探究是否可得出同樣的結(jié)論?

試驗2一個袋子中裝有標(biāo)號分別為1,2,3,4的4個球,除標(biāo)號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A為“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”,B為“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”.

師:直觀上,因為采用有放回的摸球方式,所以不論第一次摸到球的標(biāo)號為多少,都不會對第二次摸球產(chǎn)生影響,也就是說這兩個事件是互不影響的.接下來觀察能否得出P(AB)=P(A)P(B)?

師:設(shè)樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}.因為采用有放回的摸球方式,所以m,n均可取1,2,3,4.故樣本空間有16個樣本點(diǎn).

對事件A，有m<3,故A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}；對事件B，有n<3,故B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)};對交事件AB，有m<3,n<3,故AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.這三個事件的概率分別為多少?

師:最初對兩個試驗的感性認(rèn)識為事件之間互不影響.對上述兩個試驗的共同屬性進(jìn)一步抽象概括,從定量的角度引入這種事件關(guān)系的一般定義:對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡稱為獨(dú)立.

設(shè)計意圖通過兩個試驗的探究,對事件的相互獨(dú)立性由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識,得到事件的相互獨(dú)立性的定義.

師:能否用今天學(xué)習(xí)的事件的相互獨(dú)立性的定義對剛才的結(jié)論進(jìn)行推理證明呢?

眾生:利用類比思想,對于三個事件同樣成立.

設(shè)計意圖通過對試驗3的探究得出如果事件A與B相互獨(dú)立,則它們的對立事件也相互獨(dú)立;再由類比思想推廣到三個事件,為解決情境中抽象出的數(shù)學(xué)問題做鋪墊.

3.解決疑問,德育滲透

師:學(xué)習(xí)了事件的相互獨(dú)立性定義后,一起和諸葛亮解決他的疑問吧.

設(shè)計意圖呼應(yīng)課堂伊始的情境.一方面,學(xué)生利用所學(xué)新知解決問題,獲得成就感;另一方面,通過對情境問題的解決,對學(xué)生進(jìn)行德育滲透.

4.課堂小結(jié),觀點(diǎn)提煉

師:請同學(xué)們回顧并總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

師:非常好.本節(jié)課的一個中心思想是復(fù)雜事件簡單化,對于復(fù)雜事件,由正難則反的思想,利用對立事件可輕易地將其簡單化.這就是我們本節(jié)課學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容.

設(shè)計意圖學(xué)生進(jìn)行課堂總結(jié),不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力,而且有利于了解學(xué)生是否掌握本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.值得注意的是,對于學(xué)生沒有想到的思想方法,教師要及時補(bǔ)充.

5.布置作業(yè),及時鞏固

(1)除了“三個臭皮匠,抵個諸葛亮”這句諺語,“智者千慮必有一失”、“不要把雞蛋放在同一個籃子里”這兩句諺語也包含了今天所學(xué)的內(nèi)容,能否用今天所學(xué)的知識對其進(jìn)行解釋?

(2)事件的相互獨(dú)立性除了在諺語中有所體現(xiàn),在生物學(xué)中也有所運(yùn)用,比如大家熟知的孟德爾遺傳規(guī)律.閱讀課本第259頁“閱讀與思考”欄目中的內(nèi)容,了解孟德爾遺傳規(guī)律與本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的關(guān)系.