魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)，363107)

隨著新課標(biāo)在中學(xué)教學(xué)的實(shí)施,向量成了高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,而其工具性也讓向量問題成了高考的熱點(diǎn)之一.根據(jù)向量數(shù)量積的定義,其幾何意義是指其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量方向上投影的乘積.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),數(shù)量積中提及的向量投影的概念,在解決許多有關(guān)求最值(或求值、求范圍)的各類問題中有著重要作用.本文以筆者所在學(xué)校高三?？贾幸坏澜馕鰩缀晤}為引例,窺視向量投影在問題求解過程中發(fā)揮的神奇功效.

一、引例與解答

(1)求E的方程;

(2)解法1(常規(guī)解法)

聯(lián)立直線AQ與BP的方程,消去y可得

解法2(利用向量投影)

解法3(利用向量投影)

向量在對圓錐曲線中核心條件的轉(zhuǎn)化上往往具備天然的優(yōu)勢,而向量的投影就是體現(xiàn)這種優(yōu)勢的有力證據(jù)之一.以下進(jìn)一步舉例說明.

二、向量投影的應(yīng)用舉例

1.利用投影處理定值問題

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線y=kx+m(m>0)交y軸于點(diǎn)M,交C于兩不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)N與M關(guān)于原點(diǎn)對稱,BO⊥AN交AN于點(diǎn)Q.問是否存在定點(diǎn)M,使|NQ||NA|為定值？

令Δ=(10km)2-4(1+5k2)(5m2-10)>0,解得m2<2+10k2.

2.利用投影處理取值范圍問題

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求C的方程;

(2)如圖1，因?yàn)橹本€AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上,所以直線AB與圓O相切.

(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,

3.利用投影處理最值問題

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA||PQ|的最大值.

解(1)(-1,1)(過程略)

評注此題也可先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再通過兩點(diǎn)間距離公式分別求出|PA|和|PQ|,從而得到|PA||PQ|的表達(dá)式,但計(jì)算量較大.實(shí)際上,解析幾何問題往往對學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查提出了很高的要求,在這一點(diǎn)上,向量投影的作用在本題中發(fā)揮得可謂淋漓盡致.

思路決定出路,思維決定行為.通過向量投影在上述列舉的部分常見問題中的應(yīng)用,提醒我們在學(xué)習(xí)中應(yīng)該重視對數(shù)學(xué)教材的回歸,重視對數(shù)學(xué)定義的理解,重視對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透.唯有這樣,我們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才不至于“只見樹木,不見森林”.