朱明明

(江蘇省如東高級(jí)中學(xué),226400)

存在性問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng),在中學(xué)數(shù)學(xué)中有重要的地位.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)常由于對(duì)“存在性”的理解發(fā)生偏差,導(dǎo)致轉(zhuǎn)化不“等價(jià)”,從而引發(fā)錯(cuò)誤,特別是在“歪打正著”得到正確結(jié)果的情形下,錯(cuò)誤隱蔽更深且不易覺(jué)察,需要引起重視.

-3x2-2x-1

①

亦即

(-3x2-2x-1)min

②

令g(x)=-3x2-2x-1,x∈[1,2],易得g(x)min=-17.令h(x)=3x2-4x+1,x∈[1,2],易得h(x)max=5.故a∈(-17,5).

剖析本解答結(jié)果正確,過(guò)程上似乎也沒(méi)什么問(wèn)題.事實(shí)果真如此嗎?

我們知道,命題“?x∈[m,n],使a>g(x)”等價(jià)于命題“a>g(x)min,x∈[m,n]”,命題“?x∈[m,n],使a

但是,命題“?x∈[m,n],使g(x)

那么,上述解答給出的結(jié)果為什么恰好是正確的呢?

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出g(x)與h(x)的圖象,可以發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[1,2]上g(x)為減函數(shù),h(x)為增函數(shù),從而g(x)min與h(x)max在x=2時(shí)同時(shí)取得!由此可知上述解答中從① 式推出② 式并不具備一般性意義,有點(diǎn)“歪打正著”的感覺(jué)!

無(wú)獨(dú)有偶,請(qǐng)看下一道題.

探究本題是某地高考模擬題.劉衛(wèi)東老師在文[1]中結(jié)合對(duì)原參考答案的剖析,通過(guò)分類(lèi)的方法給出了從正面思考的解題過(guò)程,并指出:一般地,對(duì)?x∈D(區(qū)間),“命題p∨q恒成立”并不等價(jià)于“命題p恒成立或命題q恒成立”,而且要解決p∨q型恒成立問(wèn)題比較困難.因此,劉老師建議解題時(shí)最好避免將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這種形式.筆者思考的是,如果解題時(shí)轉(zhuǎn)化成了該形式,有沒(méi)有一種方法可以做下去呢?經(jīng)過(guò)探索,筆者發(fā)現(xiàn)借助否命題從反面來(lái)考慮,即利用命題“?x∈D,p∨q恒成立”的否定“?x∈D,p且q”來(lái)實(shí)施解答.

綜上,注意到U={c|0