蔣松言 高 翔 沈中宇

(1.南京信息工程大學(xué)教師教育學(xué)院，210044；2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，215006)

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)是一個(gè)重要的學(xué)術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是新一輪課改中的重點(diǎn)概念,也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.本文探討HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成,并以“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)為例,將生成機(jī)制運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中.

一、HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成機(jī)制

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1](以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)頒布后,許多學(xué)者研究了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成問(wèn)題.王尚志從教師、學(xué)生、課程、評(píng)價(jià)四個(gè)角度進(jìn)行分析,給出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成方法[2];呂世虎將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體系劃分為數(shù)學(xué)雙基層、問(wèn)題解決層、數(shù)學(xué)思維層、數(shù)學(xué)精神層[3];朱立明則將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)分為數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)思維三個(gè)層次,并闡述了不同教學(xué)內(nèi)容有效組織協(xié)同、各層次教學(xué)活動(dòng)共同作用、核心素養(yǎng)各成分相互凝聚而帶來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體提升的過(guò)程[4].

本文基于朱立明的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)基本結(jié)構(gòu)三層次：數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)思維，結(jié)合汪曉勤提出的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用方式:附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，嘗試構(gòu)建HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成機(jī)制(如圖1所示)[5].其中數(shù)學(xué)史素材的運(yùn)用方式與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本結(jié)構(gòu)關(guān)系如表1所示.

綜上,數(shù)學(xué)史是溝通數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的橋梁,通過(guò)數(shù)學(xué)史素材的合理運(yùn)用，可以為教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決的教學(xué),乃至數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)提供豐富的素材,進(jìn)而達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

表1數(shù)學(xué)史素材運(yùn)用方式與核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系

二、HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐示例

本文以“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)為例,對(duì)比傳統(tǒng)教學(xué)和融入HPM的教學(xué)設(shè)計(jì),嘗試將HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成機(jī)制運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐.

1.教材分析

和以往教材不同,人教A版(2019年版)將“數(shù)學(xué)歸納法”調(diào)整到選擇性必修二“數(shù)列”部分的最后一節(jié)進(jìn)行教學(xué),更加強(qiáng)調(diào)“數(shù)列”與“數(shù)學(xué)歸納法”之間的聯(lián)系.實(shí)際上,數(shù)學(xué)歸納法是用于與正整數(shù)相關(guān)命題的證明,和數(shù)列關(guān)系密切;同時(shí),遞推是數(shù)列的本質(zhì)屬性,亦是數(shù)學(xué)歸納法的核心思想[6],故在實(shí)際教學(xué)中需要對(duì)數(shù)列的遞推公式進(jìn)行適當(dāng)回顧后再展開(kāi)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué).人教A版教材從一道證明題入手,引導(dǎo)學(xué)生思考在已知遞推公式的情況下猜想通項(xiàng)公式并證明,在學(xué)生認(rèn)識(shí)到逐項(xiàng)證明極其繁瑣后引出數(shù)學(xué)歸納法.通過(guò)類比多米諾骨牌倒塌的特點(diǎn),向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,并基于此思想解決本節(jié)課開(kāi)始的證明題.最后正式給出形式化的數(shù)學(xué)歸納法,并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用其證明簡(jiǎn)單命題.

2.通常的教學(xué)過(guò)程

本文根據(jù)文章[7]與[8]歸納總結(jié)出常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì),內(nèi)容如下:

情境2觀看多米諾骨牌倒塌的視頻,觀察總結(jié)其倒塌的兩個(gè)特點(diǎn).

活動(dòng)1根據(jù)情境2的特點(diǎn),類比多米諾骨牌和數(shù)列通項(xiàng),完成下列表2.

表2

活動(dòng)2思考如何證明情境1中所給出的問(wèn)題.

活動(dòng)3閱讀教材內(nèi)容,請(qǐng)同學(xué)回答問(wèn)題:什么是數(shù)學(xué)歸納法?教師講授數(shù)學(xué)歸納法的概念及基本原理.

活動(dòng)4請(qǐng)同學(xué)練習(xí)使用數(shù)學(xué)歸納法證明:2+4+6…+2n=n2+n.

教學(xué)設(shè)計(jì)分析這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)較好地覆蓋數(shù)學(xué)歸納法的幾個(gè)基本要素,但仍有兩方面的問(wèn)題值得深入探討:一是直接舉出多米諾骨牌倒塌的例子并讓學(xué)生總結(jié)特點(diǎn),初學(xué)者往往不能抓住多米諾骨牌倒塌和數(shù)學(xué)歸納法的相似特點(diǎn),容易導(dǎo)致實(shí)際教學(xué)效果偏于設(shè)計(jì);二是缺少對(duì)于“P(k)到P(k+1)”中k值的任意性的解釋,可能誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法只能使用在解決有限項(xiàng)的命題上[9].從HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成機(jī)制的角度看,此設(shè)計(jì)中數(shù)學(xué)史素材的運(yùn)用往往停留在以附加式、復(fù)制式為主的方式上,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)層次也往往停留在數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題解決層面上,難以上升到數(shù)學(xué)思維層面,仍有進(jìn)一步提升的空間.

3.基于HPM的教學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程融合“數(shù)學(xué)知識(shí)——問(wèn)題解決——數(shù)學(xué)思維”的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成機(jī)制,設(shè)計(jì)了三個(gè)情境用于傳授數(shù)學(xué)知識(shí),解決示例問(wèn)題,并在幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)歸納法思想的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、演繹證明等數(shù)學(xué)思維,逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下:

情境1畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用小石子排列成不同形狀來(lái)研究數(shù),例如三角形數(shù)和正方形數(shù)(如圖2所示).其中正方形數(shù)每一層石子的個(gè)數(shù)依次排列可以得出奇數(shù)數(shù)列:1,3,5….

(1)求正方形數(shù)前n層石子總數(shù)Sn,即求數(shù)列前n項(xiàng)和.

(2)寫(xiě)出Sn和Sn-1的關(guān)系式,即寫(xiě)出數(shù)列{Sn}的遞推公式.

設(shè)計(jì)意圖情境1利用復(fù)制式引導(dǎo)學(xué)生了解三角形數(shù)和正方形數(shù)的背景,同時(shí)復(fù)習(xí)數(shù)列遞推的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),為情境2，3利用這一數(shù)學(xué)史素材開(kāi)展教學(xué)奠定基礎(chǔ).

情境2同學(xué)們用求和公式可以輕松回答情境1問(wèn)題(1),可早在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代還不存在求和公式,但發(fā)現(xiàn)了1=12,1+3=22…，由此猜想Sn=n2.那該如何證明呢?請(qǐng)依次思考下列問(wèn)題:

(1)怎么利用等式S1=1=12和遞推公式Sn=Sn-1+2n-1得出等式S2=1+3=22？

(2)怎么利用Sn-1=(n-1)2和遞推公式證明Sn=n2？

(3)我們知道1=12是成立的,問(wèn)題(2)也可以達(dá)成,能否說(shuō)明Sn=n2對(duì)所有的n都成立？

最后引出數(shù)學(xué)歸納法的概念.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展經(jīng)歷了四個(gè)階段:萌芽階段利用形數(shù)、遞推進(jìn)行猜想;發(fā)展階段由證明有限項(xiàng)命題轉(zhuǎn)為證明無(wú)限項(xiàng)命題;成熟階段誕生了數(shù)學(xué)歸納法現(xiàn)代意義上的兩個(gè)核心步驟;形式化階段則是給出數(shù)學(xué)歸納法概念的現(xiàn)代形式.情境2中的猜想與三個(gè)問(wèn)題重構(gòu)了前三個(gè)歷史環(huán)節(jié)(如圖3所示),進(jìn)而展開(kāi)數(shù)學(xué)歸納法概念的教學(xué).

情境2運(yùn)用重構(gòu)式,通過(guò)正方形數(shù)得到猜想,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的歷史“萌芽階段”,再引導(dǎo)學(xué)生從具體情況入手,問(wèn)題(1)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以用n=1時(shí)的等式及遞推公式推出n=2時(shí)的等式,感受“發(fā)展階段”中有限項(xiàng)命題的證明;問(wèn)題(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察前一步可以推出后一步的現(xiàn)象以及n值的任意性,體驗(yàn)“發(fā)展階段”中無(wú)限項(xiàng)命題的證明;問(wèn)題(3)則引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)核心步驟.情境2中設(shè)計(jì)的三個(gè)小問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生回溯數(shù)學(xué)歸納法歷史發(fā)展的各個(gè)階段,引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)第一數(shù)學(xué)歸納法.這樣的設(shè)計(jì)既解決以往教學(xué)設(shè)計(jì)中學(xué)生無(wú)法將多米諾骨牌倒塌特點(diǎn)和數(shù)學(xué)歸納法之間建立聯(lián)系的問(wèn)題,又幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)“P(k)到P(k+1)”k值任意性解釋的問(wèn)題.在問(wèn)題解決的情境中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、演繹證明的數(shù)學(xué)思維.

情境3講授數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)基本步驟(奠基、歸納遞推),引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形數(shù),利用補(bǔ)成“四邊形數(shù)”的方法(如圖4所示)猜想三角形數(shù)前n層石子總數(shù),并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

設(shè)計(jì)意圖《課標(biāo)》要求學(xué)生“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題中的一些簡(jiǎn)單命題”.情境3的設(shè)計(jì)一方面幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)基本步驟,另一方面利用順應(yīng)式創(chuàng)設(shè)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中簡(jiǎn)單命題的問(wèn)題情境,幫助學(xué)生應(yīng)用新知初步解決與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的問(wèn)題.

從《課標(biāo)》要求的角度看,三個(gè)情境完成了《課標(biāo)》對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的基本要求，并引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí);從重點(diǎn)、難點(diǎn)角度看,情境1和情境3分別完成教學(xué)重點(diǎn)中對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,情境2則突破理解數(shù)學(xué)歸納法思想這一教學(xué)難點(diǎn);從HPM視角下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成機(jī)制的角度看,此設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)史素材為橋梁,達(dá)成數(shù)學(xué)歸納法中數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題解決的教學(xué),突出觀察發(fā)現(xiàn)、演繹證明等數(shù)學(xué)思維的培育,從而逐步達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的最終目的.