韓秀平

(上海市松江第一中學(xué),201600)

“表征”在我國(guó)《辭?！分械尼屃x為“揭示;闡明”.在學(xué)科教育中,“表征”不能簡(jiǎn)單地理解為揭示、復(fù)述客觀信息,還應(yīng)當(dāng)包括對(duì)客觀信息進(jìn)行加工的再呈現(xiàn).那么,數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征能力也就可以理解為在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,個(gè)體以其經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)儲(chǔ)備等自身要素為基礎(chǔ),在接收數(shù)學(xué)問(wèn)題中的客觀信息后進(jìn)行加工并將之呈現(xiàn)于頭腦中的能力.數(shù)學(xué)問(wèn)題表征是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提條件,個(gè)體對(duì)問(wèn)題表征的準(zhǔn)確、多元、發(fā)散的程度對(duì)解決問(wèn)題有至關(guān)重要的影響.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出,要注重培養(yǎng)學(xué)生包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).核心素養(yǎng)的培養(yǎng)覆蓋了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的全部環(huán)節(jié),故對(duì)學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)表征能力亦提出較高的要求.

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確、適當(dāng)?shù)乇碚骺梢杂行七M(jìn)解題,而錯(cuò)誤、不當(dāng)?shù)乇碚鲃t會(huì)阻礙解題思路.這種“錯(cuò)誤、不當(dāng)”主要體現(xiàn)在概念不清、遺漏隱含條件等,從而導(dǎo)致解題的失敗.針對(duì)上述主要表征失誤,結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的新要求,可采取以下教學(xué)策略.

一、準(zhǔn)確引導(dǎo),充分認(rèn)識(shí)問(wèn)題

閱讀理解題干是解題的起點(diǎn),也是為準(zhǔn)確地表征問(wèn)題而收集客觀信息即“原料信息”的重要一步.在課堂教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生充分全面地去認(rèn)識(shí)問(wèn)題,包括收集問(wèn)題的全部要素、挖掘隱藏條件、探索問(wèn)題本質(zhì)等,防止因?qū)W生審題不清、遺漏重要信息而解題失敗.

思路1因?yàn)閿?shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列,所以函數(shù)f(x)只需要滿足每一段上是嚴(yán)格增數(shù)列,且保證連接處也是嚴(yán)格增數(shù)列即可,故得

思路2因?yàn)閿?shù)列{an}是嚴(yán)格增數(shù)列,所以只需要滿足每一段上是嚴(yán)格增數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列中的n的取值為n≥1,n∈N,所有第一段時(shí)只需要第五項(xiàng)比第四項(xiàng)大即可,而連接處只要第六項(xiàng)大于第五項(xiàng)即可,故得

思路1的主要問(wèn)題是沒(méi)有注意到條件n≥1,n∈N,遺漏這一條件會(huì)導(dǎo)致不同的解題思路,從而產(chǎn)生錯(cuò)誤.面對(duì)較為復(fù)雜、繁瑣的問(wèn)題,學(xué)生往往并不是一開(kāi)始就能準(zhǔn)確進(jìn)行問(wèn)題表征,所以在平時(shí)教學(xué)中,應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生在解題活動(dòng)中的自我監(jiān)控意識(shí)和元認(rèn)知能力.要鼓勵(lì)學(xué)生在解題遇到阻礙時(shí),隨時(shí)回到問(wèn)題中去進(jìn)行審查,并作出相應(yīng)的修正和調(diào)整,直至找到準(zhǔn)確且適當(dāng)?shù)谋碚餍问?

二、強(qiáng)化訓(xùn)練,準(zhǔn)確加工轉(zhuǎn)化

在全面認(rèn)識(shí)理解問(wèn)題信息后,需要搜尋自身與之相關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)點(diǎn)(即“配料信息”),將相關(guān)聯(lián)的“原料信息”與“配料信息”建立起連接,共同完成匹配環(huán)節(jié).只不過(guò)有時(shí)兩者的關(guān)系明顯,有時(shí)需要深入觀察思考才能發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系.要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在表征問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行轉(zhuǎn)化,完成加工環(huán)節(jié).比如幾何表征與代數(shù)表征相互轉(zhuǎn)化或者語(yǔ)言表征與情境表征相互轉(zhuǎn)化的情況,實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，找到解題的突破口.

例2已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4y+3=0,則x2+y2的取值范圍是______.

代數(shù)表征:因?yàn)閤2+y2-4y+3=0得x2=-(y2-4y+3)且x2≥0得1≤y≤3，所以x2+y2=-(y2-4y+3)+y2=4y-3,1≤y≤3,則1≤x2+y2≤9.

幾何表征:x2+y2表示圓C:x2+(y-2)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O(0,0)距離的平方,所以|OP|max=|OC|+r=3,|OP|min=|OC|-r=1,則1≤x2+y2≤9.

面對(duì)關(guān)聯(lián)度不明顯或者聯(lián)系隱含較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,要針對(duì)此類題型加強(qiáng)訓(xùn)練,讓學(xué)生熟練運(yùn)用各種表征形式，抓住此類問(wèn)題的本質(zhì),積累經(jīng)驗(yàn),靈活轉(zhuǎn)化.

三、創(chuàng)設(shè)情境,培養(yǎng)多元意識(shí)

1.多種表征形式之間的相互轉(zhuǎn)化

不同的表征形式是為了對(duì)概念或者問(wèn)題進(jìn)行不同的解釋,即從不同角度、不同視覺(jué)闡述其本質(zhì).為此,常常需要在某一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中引入多種表征方式.

本題求解的關(guān)鍵是建立不等式,結(jié)合解決最值問(wèn)題常見(jiàn)的形式,引導(dǎo)學(xué)生可通過(guò)代數(shù)計(jì)算、方程、換元、三角函數(shù)等方式來(lái)表征問(wèn)題,形成靈活多樣的表征方式,最終實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化選擇.

2.以問(wèn)題鏈為載體,加強(qiáng)表征能力培養(yǎng)

問(wèn)題鏈的方法是以問(wèn)題為導(dǎo)向,在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的循環(huán)邏輯中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,找到數(shù)學(xué)題目的解答方法.問(wèn)題鏈以問(wèn)題為核心,以設(shè)計(jì)多層次、多角度的問(wèn)題為表現(xiàn)形式,由淺入深、由表及里,循序漸進(jìn)地推進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)程,即問(wèn)題表征的進(jìn)程,以此加深理解數(shù)學(xué)概念,達(dá)到最終的教學(xué)目的.

例4已知函數(shù)f(x)=x|2x-a|-1有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

題目的題干是比較簡(jiǎn)單的,但學(xué)生拿到這個(gè)題目后往往無(wú)從下手,對(duì)學(xué)生的思維能力要求是比較高.可以利用問(wèn)題鏈的形式,將此題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生逐步理解這個(gè)問(wèn)題所涉及的考點(diǎn)．

問(wèn)題1若方程x(a-2x)=1有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

問(wèn)題2若方程x(a-2x)=1有兩個(gè)不等正實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

笛卡爾說(shuō)過(guò):“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題,都將成為范例,這些范例有助于其他問(wèn)題的解決”,這正是數(shù)學(xué)表征問(wèn)題所具備的意義之一.首先,準(zhǔn)確適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題表征是成功解題的第一步,有利于學(xué)生能夠從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)概念；其次,問(wèn)題表征可以提升學(xué)生的思維品質(zhì),推動(dòng)其對(duì)問(wèn)題條件進(jìn)行深入加工,并培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；最后,運(yùn)用問(wèn)題表征成功解題后的反思、整理和歸納,學(xué)生個(gè)體能夠有效掌握表征規(guī)律,并內(nèi)化為自身的解題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu),進(jìn)而構(gòu)建自己的知識(shí)體系.因此，在平時(shí)的教學(xué)中,教師要給學(xué)生創(chuàng)造表征問(wèn)題的機(jī)會(huì)和平臺(tái),幫助學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備庫(kù)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從整體上識(shí)別問(wèn)題,提升思維能力、優(yōu)化思維方式,切實(shí)提升解決問(wèn)題能力,進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).