李玉秋 胡 潔 周 歡

(長江大學(xué)，434023)

進(jìn)入21世紀(jì),在數(shù)據(jù)化的發(fā)展趨勢下,對公民推理能力提出更高的要求.面對日趨復(fù)雜的生活實(shí)踐,如何從經(jīng)驗(yàn)出發(fā),對未來進(jìn)行決策成為關(guān)鍵問題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出包括邏輯推理在內(nèi)的六大核心素養(yǎng),其中邏輯推理素養(yǎng)不僅包括從一般到特殊的演繹推理,同樣包括從特殊到一般的歸納、類比.PISA2021在“學(xué)科核心素養(yǎng)”導(dǎo)向下也提出數(shù)學(xué)推理為數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一,指出數(shù)學(xué)推理應(yīng)該是包括演繹和歸納兩種推理形式,特別強(qiáng)調(diào)在變化和不確定的現(xiàn)實(shí)世界中,歸納推理與概率、統(tǒng)計(jì)知識相結(jié)合的重要性[1][2]．

就數(shù)學(xué)本身而言,雖然現(xiàn)代數(shù)學(xué)逐漸走向規(guī)范的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡缆?但符號化、公理化知識都是學(xué)者歷經(jīng)無數(shù)次思維的碰撞和跳躍產(chǎn)生的.在這個過程中歸納推理能力發(fā)揮著作用,歸納推理得到結(jié)論是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的根本[3]．從數(shù)學(xué)外部的角度出發(fā),雖然數(shù)學(xué)學(xué)科中面臨更多的是確定性的結(jié)論,但是現(xiàn)實(shí)世界中面臨更多的是或然性的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題,更多是作用于現(xiàn)實(shí)情境的問題解決．在日常生產(chǎn)生活中,我們總是在積累經(jīng)驗(yàn),希望通過豐富的經(jīng)驗(yàn)更好地去把握未來,在這個過程中正是歸納推理能力在發(fā)揮作用.雖然這種預(yù)測不一定完全正確,但生活本身就是或然的[4]．因此,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力具有重要價值,不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的需要,更是時代進(jìn)步的要求．

一、歸納推理能力的概述

所謂歸納推理，是指從經(jīng)驗(yàn)和概念出發(fā),按照某些法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理,歸納推理仍然是一種有邏輯的推理[3][4]．歸納推理可分為基于一個類的歸納推理和基于兩個類的歸納推理,以下分別稱為歸納和類比．就其結(jié)論而言,又存在兩種情況:一是結(jié)論的成立本身可能是必然的,二是結(jié)論的成立本身是或然的．

概率研究的對象是隨機(jī)現(xiàn)象,是對不確定事件進(jìn)行分析推理,進(jìn)而預(yù)估未來發(fā)生的可能性大小,與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中確定性結(jié)論的特點(diǎn)有所區(qū)別;而統(tǒng)計(jì)研究的對象是數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)的運(yùn)算,估計(jì)和預(yù)測發(fā)展趨勢．所以,宏觀層面理解“概率與統(tǒng)計(jì)”的知識,可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)論的成立本身是或然的,對其推斷結(jié)果判斷標(biāo)準(zhǔn)只能是“好與壞”,并不能客觀判斷出正確與否,這種推理結(jié)果正是實(shí)際生活中很多情境下普遍需要的．正如德國邏輯學(xué)家卡爾納普所說的,“歸納邏輯即歸納推理原則的理論也就是概率邏輯．” 而走進(jìn)知識本身,每一個數(shù)學(xué)知識都是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá),每一個情境下推理出的結(jié)果都是基于題設(shè)的經(jīng)驗(yàn)和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識而推出的.僅從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看,對經(jīng)過推理得出的知識都進(jìn)行了嚴(yán)格的邏輯證明,對推理結(jié)果都建立了“好與壞”的評判標(biāo)準(zhǔn),從這個角度分析歸納推理出的結(jié)論是必然的,是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的,與宏觀角度下的理解不同．

根據(jù)“概率與統(tǒng)計(jì)”知識的特點(diǎn),理解歸納推理產(chǎn)生的兩種結(jié)論,可以幫助學(xué)生全面理解歸納推理的內(nèi)涵和思想，這正是“概率與統(tǒng)計(jì)”作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容所無可替代的．同時,概率與統(tǒng)計(jì)往往相結(jié)合,不容分割,共同體現(xiàn)歸納推理的思想,原因就在于“概率”一詞的由來是統(tǒng)計(jì)中“頻率”一詞,其合理性是基于最大可能性原理．因此,在新教材中,有專門一節(jié)的內(nèi)容學(xué)習(xí)頻率與概率,幫助學(xué)生建立概率與統(tǒng)計(jì)的關(guān)系,從整體上建立認(rèn)知,發(fā)揮兩者的學(xué)科價值和育人價值．

二、歸納推理能力的培養(yǎng)路徑

歸納推理與“概率與統(tǒng)計(jì)”兩者的契合,為從“概率與統(tǒng)計(jì)”主線探究歸納推理能力培養(yǎng)的路徑提供可行性分析．另外,歸納推理逐漸被普遍接受,離不開“概率與統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域思想的不斷建立和豐富,想要培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理的能力,也要從“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)出發(fā)．下面從“概率與統(tǒng)計(jì)”知識的橫向架構(gòu)和縱向生成兩個途徑進(jìn)行探究．

1.橫向架構(gòu)

高中對于“概率與統(tǒng)計(jì)”知識的學(xué)習(xí),相較于初中而言,內(nèi)容上更加豐富,既有對所學(xué)知識的進(jìn)一步理解,也有解決更為一般復(fù)雜情境問題的方法.在概念的表達(dá)上更加抽象嚴(yán)謹(jǐn),處理的情境問題也更加切合實(shí)際．圖1和2分別是新課標(biāo)“概率與統(tǒng)計(jì)”主線下知識框架,通過知識架構(gòu)圖發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián),在實(shí)際教學(xué)中強(qiáng)化前后知識的邏輯關(guān)系．特別地,將“準(zhǔn)備知識”中的計(jì)數(shù)原理納入“統(tǒng)計(jì)”板塊,而二項(xiàng)式定理的內(nèi)容多采用演繹推理解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題,所以下文具體分析中不包含二項(xiàng)式定理的內(nèi)容．

圖1是對必修和選擇性必修中“概率”內(nèi)容的梳理.從“隨機(jī)事件與概率”到“隨機(jī)變量”的整個學(xué)習(xí)過程是一個逐漸遞進(jìn)的過程,環(huán)環(huán)相扣．特別是新教材中新增的“有限樣本空間”的內(nèi)容,可幫助學(xué)生從集合的角度刻畫隨機(jī)事件,進(jìn)而認(rèn)識事件之間的關(guān)系,從頻率角度理解概率的含義,認(rèn)識條件概率及其公式.最后,類比函數(shù)概念建立過程,引入隨機(jī)變量等其它概念．在整個概率板塊下,前后銜接是符合教學(xué)規(guī)律的,有助于引導(dǎo)學(xué)生逐步推理而成,體現(xiàn)知識不斷豐富的過程．

圖2是對必修和選擇性必修中“統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的梳理.縱向來看,從隨機(jī)抽樣方法的介紹到樣本估計(jì)總體指標(biāo)的選擇,以及統(tǒng)計(jì)案例的探究設(shè)計(jì),在整體上體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的全過程；從數(shù)據(jù)收集到數(shù)據(jù)的描述與刻畫,最后利用提取的信息說明問題,學(xué)習(xí)內(nèi)容形成一個閉環(huán),體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)中利用數(shù)據(jù)進(jìn)行推理的全環(huán)節(jié)．橫向來看,從單變量的估計(jì)到雙變量相關(guān)關(guān)系的估計(jì),研究思路上是一種類比推廣,研究范圍逐漸增大,適用于更多更為一般情境問題的解決,尤其是雙變量回歸分析中滲透信息技術(shù)的方法,為學(xué)生今后學(xué)習(xí)相關(guān)建模軟件作鋪墊．

2.縱向生成

除二項(xiàng)式定理的內(nèi)容外,對“概率與統(tǒng)計(jì)”主線下的知識作統(tǒng)計(jì),概念共有79個,其中通過歸納、類比得出的有40個,占比達(dá)50.6%;命題共有14個,通過歸納、類比得出的有3個,占比達(dá)21.4%;例題共有72個,其中用到歸納、類比解決的有56個,占比達(dá)77.8%．從上述數(shù)據(jù)可以看出,“概率與統(tǒng)計(jì)”中很多知識點(diǎn)都是通過歸納推理得出的,這與其它主線的知識有很大區(qū)別,原因在于該部分內(nèi)容大多與實(shí)際情境聯(lián)系緊密,所以教材設(shè)計(jì)會創(chuàng)設(shè)情境,通過歸納總結(jié)共性的方式推理得出數(shù)學(xué)結(jié)論.但是在命題學(xué)習(xí)中,依舊是以演繹推理為主,這與命題本身嚴(yán)密的邏輯性的特點(diǎn)相符合.

3.教學(xué)片段設(shè)計(jì)

以“有限樣本空間與隨機(jī)事件”的教學(xué)設(shè)計(jì)的片段為例,體現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)中歸納推理的滲透．

探究1有限樣本空間

借助信息技術(shù),模擬以下試驗(yàn):“扭蛋機(jī)”中有10個質(zhì)地大小完全相同、分別標(biāo)號0,1，…9的球,充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球,觀察這個球的號碼.

教師活動:演示動畫,提問

問題1在“扭蛋機(jī)”試驗(yàn)中,共有多少個可能結(jié)果?如何表示這些結(jié)果?提示從集合的角度進(jìn)行考慮.

學(xué)生活動:獨(dú)立思考.(學(xué)生可以就具體實(shí)例給出回答)

教師活動:點(diǎn)評學(xué)生的回答,并根據(jù)回答,引導(dǎo)學(xué)生抽象歸納總結(jié)給出樣本點(diǎn)、樣本空間的概念.結(jié)合實(shí)例進(jìn)行理解.

(1)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn).全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.

(2)一般地,用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).

(3)如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果ω1,ω2,ω3,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,ω3,…,ωn}為有限樣本空間.

探究2隨機(jī)事件

問題2在“扭蛋機(jī)”試驗(yàn)中,搖出“球的號碼為3”、“球的號碼為奇數(shù)”是否是隨機(jī)事件?

問題3從集合的角度出發(fā),類似樣本空間表示方法,上述隨機(jī)事件可以如何表示?隨機(jī)事件和樣本空間之間有什么關(guān)系呢?隨機(jī)事件的概念又是什么呢?

教師活動提出問題2,給出提示,先借助初中對隨機(jī)事件的認(rèn)識給出判斷.根據(jù)學(xué)生回答追問問題3.

學(xué)生活動學(xué)生針對問題3分小組進(jìn)行討論.(學(xué)生仿照樣本空間的表示方法,可以用集合表示出隨機(jī)事件,并嘗試從集合關(guān)系出發(fā),找到隨機(jī)事件和樣本空間的關(guān)系,歸納推理出隨機(jī)事件概念)

教師活動對小組的分享進(jìn)行點(diǎn)評,規(guī)范表述概念的內(nèi)容.

(4)樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件,并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C…表示.

在此基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮集合子集中特殊情況,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識必然事件、不可能事件.

在探究1中,以熟悉的生活情境“扭蛋機(jī)”展開探究,借助動畫展示試驗(yàn)過程,吸引學(xué)生的興趣,同時拋出合適的問題,引導(dǎo)學(xué)生去思考,從而歸納抽象出概念,有助于學(xué)生把握概念的實(shí)質(zhì).探究2是探究1的延續(xù),通過探究1建立集合和樣本空間的聯(lián)系,根據(jù)學(xué)生對隨機(jī)事件已有的認(rèn)識出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生用集合表示隨機(jī)事件,進(jìn)而類比集合的關(guān)系,推理隨機(jī)事件與樣本空間的聯(lián)系,抽象出隨機(jī)事件的概念,最后類比集合中子集的學(xué)習(xí),探究隨機(jī)事件的極端情況.在整個教學(xué)預(yù)設(shè)中體現(xiàn)歸納推理,將抽象的概念借助實(shí)際情境和已有知識進(jìn)行深刻理解．

綜上可知，“概率與統(tǒng)計(jì)”中不確定性和隨機(jī)性的思維特點(diǎn),有助于全面理解歸納推理的本質(zhì)．也正是這種思想契合點(diǎn)為歸納推理能力的培養(yǎng)提供可行路徑:整體上建立知識框圖,對于部分知識的生成要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納推理．

在“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中,充分發(fā)揮知識的特點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.第一,全面理解歸納推理的內(nèi)涵和價值,在教學(xué)中把握“概率與統(tǒng)計(jì)”的思想本質(zhì)和知識要點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生感受結(jié)論或然性的歸納推理在日常生活中的重要價值,而對于結(jié)論本身可能是必然的歸納推理在數(shù)學(xué)內(nèi)部是需要經(jīng)歷演繹證明的過程;第二,注重情境創(chuàng)設(shè),選擇學(xué)生所熟悉的、感興趣的情境問題,在實(shí)際問題的解決中發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力;第三,注重知識發(fā)生發(fā)展的過程,引導(dǎo)學(xué)生去探究知識的產(chǎn)生,采用單元教學(xué)的設(shè)計(jì),建立知識之間的聯(lián)系,體現(xiàn)知識間的邏輯性;第四,在例題、練習(xí)題等日?？疾橹?注重對學(xué)生推理能力的考查,在對問題的分析中發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力．