康丹，唐醇，張穎杰，曾婷，唐順玲

（湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410081）

一、問題提出

比例推理（Proportion Reasoning）是推斷比例之間關(guān)系的過程，將其稱之為對“關(guān)系之間關(guān)系”的理解。具體來說，是兒童依據(jù)直覺，通過感覺、操作等方式理解兩個量之間的比例關(guān)系，從而產(chǎn)生相同比例的一種能力。這是幼兒處理日常生活問題時不可或缺的能力，如繪畫的創(chuàng)作、配方的使用和制定、東西的分享分配，以及對溫度、密度、濃度、速度的理解等等［1］。比例推理是兒童數(shù)學(xué)能力的重要組成部分。對比例有較強直覺理解的兒童對數(shù)值分?jǐn)?shù)的理解同樣較好，這一聯(lián)系具有長期性，對兒童今后的課程學(xué)習(xí)包括分?jǐn)?shù)等價、除法、度量轉(zhuǎn)換和比率推導(dǎo)同樣重要。

兒童的空間能力與智力有著密切的聯(lián)系，尤其是視覺空間能力對智力的影響，甚至超過了語言能力。除此之外，它可以預(yù)測兒童數(shù)學(xué)任務(wù)中的表現(xiàn)［2］，以及他們成年以后在STEM（科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)）學(xué)科中的成功［3］。而空間類比（Spatial Scale）作為空間能力的重要組成部分，對兒童今后的發(fā)展同樣重要。空間類比能力類似于一種地圖閱讀能力，即將地圖上的距離與實際空間中的距離聯(lián)系起來的能力，它經(jīng)常在使用地圖閱讀能力的背景下進(jìn)行研究［4］；也可以把它看作是一種能將距離信息從一種表示轉(zhuǎn)換為另一種不同大小表示的能力［5］。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在一定程度上依賴于個體對數(shù)量之間聯(lián)結(jié)產(chǎn)生特定數(shù)量這一過程的理解以及數(shù)量比較能力，即數(shù)量表征的能力。近似數(shù)量系統(tǒng)（Approximate Number System，ANS）與精確數(shù)量系統(tǒng)（Precise Number System）是數(shù)表征系統(tǒng)的兩個組成部分。它涉及近似數(shù)量的判別，該系統(tǒng)允許在沒有符號的情況下進(jìn)行估算或粗略計算數(shù)量，是人類與動物共有的，并在人類出生開始就存在。因此，它被認(rèn)為是符號數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最早測量方法之一。兒童早期近似數(shù)量系統(tǒng)與數(shù)學(xué)能力存在相關(guān)和預(yù)測關(guān)系，而且這種相關(guān)關(guān)系在學(xué)前兒童還沒接受正式的學(xué)校數(shù)學(xué)教育之前就已經(jīng)存在了［6］。

《幼兒園教育指導(dǎo)綱要（試行）》（2001）中明確提出幼兒數(shù)學(xué)教育的要求：理解生活中簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系，并運用分類、比較、歸納、推理等策略探索事物的異同。在解決問題過程中，引導(dǎo)幼兒理解簡單的數(shù)概念，促進(jìn)幼兒邏輯思維能力的發(fā)展。但迄今為止，比例推理、空間類比能力在學(xué)前階段的發(fā)展特點仍不明晰。以皮亞杰為代表的一部分研究者認(rèn)為，比例推理能力在幼兒7 歲前都十分有限，10 歲后才能有較穩(wěn)定的發(fā)展。但另一部分研究者表示，若以幼兒能夠理解的方式呈現(xiàn)比例推理問題，則學(xué)前兒童也可以完成一定的比例推理任務(wù)［7］?？臻g類比的發(fā)展研究也存在著類似的爭議，一部分研究者認(rèn)為，在適合學(xué)前幼兒的低水平任務(wù)中，3 歲的幼兒就能夠定位目標(biāo)位置了；但另一部分學(xué)者卻認(rèn)為，在此任務(wù)中幼兒表現(xiàn)的只是一種簡單的平移能力，而不是真正的空間類比能力。因此，對3-6 歲兒童比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展特點進(jìn)行探究具有重要意義。

比例推理、空間類比和近似數(shù)量系統(tǒng)之間可能存在相關(guān)性。功能性神經(jīng)影像元分析結(jié)果顯示，腦部頂葉和額葉皮質(zhì)負(fù)責(zé)符號和非符號數(shù)字任務(wù)的處理；人類在處理新奇數(shù)學(xué)問題、詞語問題，以及數(shù)學(xué)推理時，前額皮質(zhì)（prefrontal dortex）區(qū)域被激活。至今，已有大量研究證明，成人和學(xué)齡前幼兒的數(shù)學(xué)能力與空間能力具有聯(lián)系。幼兒的空間技能可以預(yù)測他的數(shù)學(xué)能力?；诖耍P者在本研究中假設(shè)：比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展具有年齡差異；三者之間具有顯著的相關(guān)性；比例推理、空間類比可以預(yù)測近似數(shù)量系統(tǒng)的表現(xiàn)；比例推理對空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)關(guān)系起到調(diào)節(jié)作用。

二、研究方法

（一）研究對象

本研究的研究對象來自于湖南省C 市三所幼兒園，采用簡單隨機抽樣方式選取園中130 名幼兒參與實驗，剔除掉無效樣本后，共得到120 個幼兒的有效數(shù)據(jù)。3-6 歲每年齡段各40 人，其中男20 人，女20 人。小、中、大班之間存在顯著的年齡差異（P＜0.01），且各年齡段的男孩與女孩之間均無顯著年齡差異（P＞0.05）。詳情見表1。

表1 研究對象基本情況描述統(tǒng)計量

（二）研究工具

1.草莓醬任務(wù)

草莓醬任務(wù)改編自2018 年M?hring，F(xiàn)rick和Newcombe 的混合果汁（桔汁）經(jīng)典比例推理任務(wù)和2018 年夏青的小熊選面包任務(wù)［8］。測量者首先給兒童講一個小熊開草莓面包店的故事，并解釋說小熊要按照顧客的要求制作草莓面包，需要他（她）的幫助。在每個實驗中，兒童看到一個2 厘米寬、不同高度的長方形。一部分長方形是紅色的（代表草莓醬），另一部分長方形是黃色的（代表面包）。與圖片同時出現(xiàn)在兒童面前的是一個評分量表（如圖1B），該評分量表通過電腦屏幕呈現(xiàn)，由計算機專業(yè)人員運用Visual Studio Code 進(jìn)行編程，由一條12 厘米的水平細(xì)長圓柱組成。要求被試根據(jù)提供的圖片，在評分線上涂出相同的草莓醬面包。所產(chǎn)生偏差作為評價指標(biāo)，偏差越小，比例推理能力越強（最佳值為0）。共32 個實驗，離散變量與連續(xù)變量各16 個。該任務(wù)的內(nèi)部一致性為0.908。

圖1 草莓醬任務(wù)

2.找雞蛋任務(wù)

找雞蛋任務(wù)改編自2018 年Frick 和Newcombe的經(jīng)典空間定位試驗。任務(wù)開始時向兒童講述一個農(nóng)民的故事，農(nóng)民伯伯的雞把雞蛋藏在農(nóng)場里，要求兒童幫助他找到雞蛋。農(nóng)場是一張水平打印在白色A4 過塑紙上的綠色圓形測評圖（恒定大小為20cm×20 cm），兒童在此用黃色圓點貼紙（類似于雞蛋）進(jìn)行標(biāo)記，另一張畫有黃色雞蛋（即目標(biāo)）的地圖擺放在桌子的左上角，要求參與者根據(jù)地圖（如圖2B）在圓形農(nóng)場（如圖2A）中指出相對應(yīng)的位置。在前四次試測實驗中，目標(biāo)位于地圖的中心，兒童能夠得到相應(yīng)的反饋（一張微笑的臉和一張皺眉的臉），若兒童定位錯誤則告知其正確位置。但在隨后的正式試驗中，測試人員不再給予任何反饋。共有42 次正式試驗，分為7 組（即7 個縮放比例），每組呈現(xiàn)6 個不同位置的目標(biāo)。6 個位置在不同縮放比例之間的相對位置不變，但6 個目標(biāo)點所呈現(xiàn)的順序被隨機打亂，以免產(chǎn)生練習(xí)效應(yīng)。當(dāng)42 個試驗完成后，再測量兒童標(biāo)記位置與目標(biāo)位置的偏差距離（單位：cm，精確到小數(shù)點后一位）。該任務(wù)內(nèi)部一致性為0.873。

圖2 找雞蛋任務(wù)

3.Panamath兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查工具

筆者采用Halberda 等人設(shè)計的Panamath 兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查工具對3-6 歲兒童的近似數(shù)量系統(tǒng)精確性進(jìn)行測查。Panamath 兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確性測查任務(wù)的內(nèi)容是一個非符號數(shù)量比較任務(wù)。該程序主要采用點數(shù)比較的方式進(jìn)行，電腦屏幕上同時呈現(xiàn)兩個相互分離的藍(lán)色和黃色方框。方框中顯示與方框顏色相同，但數(shù)量和大小不等的點，要求兒童判斷哪個顏色方框中的點更多。顏色點的呈現(xiàn)時間1200ms，其后顏色點消失，屏幕上出現(xiàn)無點的黃色、藍(lán)色框，并事先告知兒童按鍵選擇的規(guī)則：黃色點多按“F”鍵，藍(lán)色點多按“J”鍵（需提前在F 鍵上貼好黃色紙片，J 鍵貼好藍(lán)色紙片）。判斷完成后，按“Space”鍵進(jìn)入下一個測試，測試事先要根據(jù)被試信息設(shè)置年齡與時間。因此，當(dāng)測試完成后，電腦會自動停止，并在屏幕上顯示該兒童的測試結(jié)果。點數(shù)比較任務(wù)下的正確率及韋伯系數(shù)常用來作為個體近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度的指標(biāo)。

圖3 近似數(shù)量系統(tǒng)比較

4.研究程序

在進(jìn)行測試之前對幼兒基本信息進(jìn)行記錄。為防止幼兒產(chǎn)生疲勞，任務(wù)分為兩次進(jìn)行，兩項測試無先后順序。研究由兩位經(jīng)過訓(xùn)練的學(xué)前教育研究生作為測查人員，并嚴(yán)格按照指導(dǎo)語進(jìn)行。任務(wù)完成后給予幼兒貼紙獎勵。此外，每項測試過后詢問被試是怎樣做出選擇，并進(jìn)行記錄，從而進(jìn)行策略分析。任務(wù)的評分由兩位評測者完成，其相關(guān)系數(shù)在0.89-0.92 之間。

三、結(jié)果

（一）3-6 歲兒童比例推理能力、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的描述性統(tǒng)計分析

三個年齡段兒童的比例推理能力、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)見表2。由表可知，3-6 歲階段，兒童完成比例推理與空間類比任務(wù)時，精確度不斷提高，5-6 歲兒童在比例推理、空間類比任務(wù)中所產(chǎn)生偏差的平均值均為最小。除此之外，其標(biāo)準(zhǔn)偏差也在縮小。這說明，同一年齡段的兒童在兩項能力上的差異不斷縮小。

表2 3-6 歲兒童比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度的描述性統(tǒng)計

（二）性別、年齡對3-6 歲兒童比例推理、空間類比以及近似數(shù)量系統(tǒng)的影響

方差分析果顯示，年齡的主效應(yīng)在比例推理（F（2,29）=62.25，P＜.001，η2P=0.63）、空間類比（F（2，39）=39.16，P＜.001，η2P=0.61）、近似數(shù)量系統(tǒng)（F（2,40）=35.21，P＜.001，η2P=0.58）中都顯著。事后再運用LSD 檢驗對三個年齡段進(jìn)行兩兩比較發(fā)現(xiàn)，小班與中班、中班與大班、大班與小班之間的比例推理、空間類比均具有顯著差異（P＜.001），而近似數(shù)量系統(tǒng)只在小班與中班、小班與大班之間有顯著差異（P＜.001）。性別在比例推理能力上的主效應(yīng)顯著（F（1,29）=4.42，P＜.05，η2P=0.29），但在空間類比（F（1,39）=3.43，P＜.05）和近似數(shù)量系統(tǒng)（F（1,40）=.402，P＞.05）上的效應(yīng)卻不顯著。年齡與性別間的交互作用在比例推理（F（2,29）=0.35，P＞.05）,空間類比（F（1,39）=1.01，P＞.05）,近似數(shù)量系統(tǒng)（F（2,40）=.365，P＞.05）中均不顯著。

（三）3-6 歲兒童比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的相關(guān)分析

控制年齡后，運用偏相關(guān)檢驗分別對3-4,4-5，5-6 歲幼兒的比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析。結(jié)果顯示，三者呈顯著的正相關(guān)關(guān)系（P＜0.01）。三項能力中，有一項能力較好的幼兒，其他兩項能力也同樣較好，反之亦然。具體對三項能力在三個年齡段下的關(guān)系變化進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)，3-4 歲小班幼兒的比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)之間存在顯著正相關(guān)（P＜0.01）。到4-5 歲時，幼兒的比例推理與空間類比的相關(guān)關(guān)系有所減弱（P＜0.05），比例推理和空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)仍然呈顯著正相關(guān)。到了大班（5-6 歲），三項能力相關(guān)性不再顯著（P＞.05），即5-6 歲（大班）幼兒的比例推理與空間類比、比例推理與近似數(shù)量系統(tǒng)、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)之間均不具有顯著相關(guān)性（P＜.05），在此過程中相關(guān)系數(shù)也具有不同程度的下降。

表3 3-6 歲兒童比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的偏相關(guān)分析

（四）比例推理與空間類比對近似數(shù)量系統(tǒng)的回歸分析

控制了年齡和年級后，對三個年齡段的比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)之間進(jìn)行總的偏相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)，三者之間均具有顯著相關(guān)性（P＜.001）。因此，為進(jìn)一步探討比例推理和空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的關(guān)系，控制年齡與性別變量后，分別以比例推理和空間類比為自變量進(jìn)行一元回歸分析。結(jié)果顯示，比例推理與空間能力可以有效對近似數(shù)量系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測（P＜.05）。比例推理可以解釋的變異量占近似數(shù)量系統(tǒng)總變異量的35.7%，而空間類比可以解釋的變異量占30.9%。

表4 比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的相關(guān)矩陣

（五）比例推理在空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)關(guān)系中的調(diào)節(jié)作用

筆者運用層次回歸分析，在控制兒童年齡的基礎(chǔ)上，考查比例推理對空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)關(guān)系的調(diào)節(jié)作用。為了控制年齡變量的影響，首先，將年齡作為第一層自變量納入回歸方程模型1；之后，將比例推理和空間類比作為第二層自變量納入回歸方程建立模型2；最后，為了檢驗比例推理的調(diào)節(jié)作用，將空間類比和比例推理的交互作用項作為第三層變量納入回歸方程建立3。此外，結(jié)果顯示，調(diào)節(jié)變量和交互變量之間的相關(guān)系數(shù)過大（r=0.84＞0.8），對自變量和調(diào)節(jié)變量進(jìn)行了中心化處理?；貧w分析結(jié)果（見表5）顯示，近似數(shù)量系統(tǒng)對“空間類比*比例推理”這一交互項的回歸系數(shù)顯著（β=0.569,t=2.70,P＜0.05），即比例推理對空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的關(guān)系具有較為顯著的調(diào)節(jié)作用。因回歸系數(shù)大于零，故空間類比對近似數(shù)量系統(tǒng)的影響會隨著比例推理水平的提高而提高。

表5 比例推理在空間類比預(yù)測近似數(shù)量系統(tǒng)中的調(diào)節(jié)效應(yīng)檢驗

為了更直觀地表明比例推理對空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)關(guān)系的調(diào)節(jié)作用，將比例推理分為高低兩組分別呈現(xiàn)不同比例推理水平下空間類比對近似數(shù)量系統(tǒng)的影響效應(yīng)（見圖4）。結(jié)果表明，對于比例推理較好的幼兒而言，空間類比對近似數(shù)量系統(tǒng)的預(yù)測作用顯著（bsimple=-.0025，SE=.0005，P=.0000）；對于比例推理較差的幼兒而言，空間類比同樣顯著（bsimple=-.0017，SE=.0003，P=.0000）；無論是在高比例推理組還是低比例推理組，隨著空間類比水平的提高，兒童近似數(shù)量系統(tǒng)的精確度呈直線上升趨勢，但是在高比例推理組的變化更加明顯。

圖4 比例推理對空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)關(guān)系的調(diào)節(jié)作用

四、討論

（一）3-6 歲兒童比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展特點

1.比例推理的發(fā)展特點

首先，3-6 歲兒童比例推理的精確性隨年齡增長而發(fā)展。筆者在本研究中發(fā)現(xiàn)，大部分幼兒在3 歲時就已經(jīng)能對不同的比例關(guān)系做出不同的反應(yīng)了（即不會在測評線的同一位置上定位）。45%的3-4 歲幼兒的推理所產(chǎn)生的平均偏差值不到2 厘米，20%的幼兒推理某些特殊比例（如比值為1，1/2）的平均偏差不到1 厘米。可見，3歲幼兒就能進(jìn)行初步的比例推理，視覺呈現(xiàn)比例信息的直觀推理能力是一種幼兒早期就得以發(fā)展的技能，這與前人的研究結(jié)果一致［9］。這一能力會隨著年齡的增長而提高。4-5 歲的幼兒，80%的幼兒所產(chǎn)生的平均偏差不到2 厘米，20%的小于1 厘米；5-6 歲時，平均偏差小于2 厘米的幼兒達(dá)到100%，小于1 厘米的幼兒達(dá)到82.5%。幼兒比例推理精確度得以提高，主要是因為隨著年齡增長，直接將草莓醬的絕對長度作為比例判斷依據(jù)的幼兒逐漸減少了。信息加工理論認(rèn)為，人們在解決問題時會基于圖式的加工建立起心理模型。低水平的心理模型是圍繞問題陳述中明確給出的實際客體組織的，而高水平的心理模型則是圍繞類屬這些客體的原理和抽象組織的。心理模型隨年齡的增長從低水平向高水平發(fā)展。使用低水平心理模型的幼兒在判斷比例大小時，就會出現(xiàn)只關(guān)注直觀的外在刺激（草莓醬的絕對大?。?0］，而自覺地忽略內(nèi)在比例信息的現(xiàn)象。Alibali 和Sidney在研究兒童數(shù)比例中發(fā)現(xiàn)過兒童解決問題過程中出現(xiàn)的“整數(shù)偏差”現(xiàn)象，即一種以犧牲比例信息為代價，而過度關(guān)注整數(shù)信息的現(xiàn)象［11］。兒童受信息加工能力的限制，被迫運用了更一般的問題解決策略，將問題分解為其組成的某一部分，而非整體的內(nèi)在比例關(guān)系［12］。這種策略有效性較低?？梢姡咚降男睦砟Ｐ筒攀峭评砗皖惐鹊幕A(chǔ)。

其次，幼兒比例推理能力具有顯著的性別差異。這與Linn 和Pulou 以及夏青等人的研究結(jié)果一致。但Linn 和Pulos 認(rèn)為，在比例推理中，男孩的表現(xiàn)要優(yōu)于女孩，這與本研究結(jié)果恰恰相反。他們的研究還發(fā)現(xiàn)，這種性別差異會隨著年齡的增長而增加。但本研究研究結(jié)果顯示，男女之間的差異隨著年齡的增長而縮小。至今，對于幼兒比例推理能力在性別上的差異，仍沒有統(tǒng)一、科學(xué)的解釋。造成這一差異的原因可能是女孩在完成任務(wù)時，比男孩更有耐心。由于左右腦的差異，女生在決策時更傾向于使用直覺［13］。學(xué)前早期，幼兒主要使用直覺策略進(jìn)行比例判斷，故3 歲的幼兒性別差異會更加明顯。隨著幼兒空間能力、數(shù)學(xué)能力等其他能力的發(fā)展，他們開始使用更具分析性的方法，直覺能力的優(yōu)勢隨之減弱，比例推理能力上的性別差異也隨年齡增長而縮小。雖有研究也指出，男孩的空間能力可能要優(yōu)于女孩，因為男孩對三維空間具有天生的識別能力，而女孩需要后天才能習(xí)得［14］。但是本研究的比例推理任務(wù)是在二維空間中進(jìn)行的，這一優(yōu)勢對于比例推理任務(wù)表現(xiàn)的影響可能并不明顯。

2.3-6 歲兒童空間類比的發(fā)展特點

研究結(jié)果顯示，3-4 歲時，已有17%的幼兒在“找雞蛋”任務(wù)中，產(chǎn)生的平均偏差小于2cm。這說明，3-4 歲幼兒具有初步的空間類比能力。與Piaget 和Inhelder 為代表的研究相比，幼兒的這種能力表現(xiàn)的更早［15］。與Frick 和Newcombe的研究結(jié)果一致，他們指出，在3-4 歲時，已有少部分幼兒能較為準(zhǔn)確地定位一些接近圓心的點了。日常經(jīng)驗是兒童空間類比能力較早出現(xiàn)的重要原因。因為這種從一個空間映射到另一個空間距離的能力包含在許多日?；顒又?。維果斯基認(rèn)為，社會環(huán)境對于智力發(fā)展有著舉足輕重的作用，社會環(huán)境不同，幼兒所輸入的信息也會不同。隨著電視、電腦、手機、相機等電子產(chǎn)品的普及與運用，幼兒不斷將小小屏幕上的事物與現(xiàn)實中的實物進(jìn)行連接、轉(zhuǎn)換，輸入的空間縮放信息以及比例經(jīng)驗增多。例如，3-4 歲的孩子很容易理解屏幕或照片上的自己與現(xiàn)實中的自己雖大小有別，但仍是同一個人。這些日常經(jīng)驗的積累，有利于幼兒理解等值效應(yīng)和比例之間的對應(yīng)關(guān)系。

在3-6 歲階段，兒童的空間類比能力隨年齡增長不斷提高。在完成目標(biāo)點定位的任務(wù)上，17%的3-4 歲幼兒平均定位偏差小于2cm，4-5歲的幼兒已有23%能達(dá)到這一水平，5-6 歲時更是已有60%。究其原因，一方面是因為空間類比能力的提高與視覺空間能力的發(fā)展密不可分。在直覺策略的使用中，視覺空間能力起著至關(guān)重要的作用［16］。3.5-6.5 歲視覺空間能力隨年齡增長而提高［17］，比例推理中直覺判斷的精確性自然會隨之提高。另一方面，認(rèn)知靈活性的發(fā)展［18］，促使幼兒（對參考點的）靈活選擇策略的形成，比例推理精確度的提高。筆者發(fā)現(xiàn)，年幼兒童并不能夠靈活地選擇最佳的參考點，無論在定位哪一目標(biāo)點時，即使是定位離圓心較遠(yuǎn)的點，也始終傾向于以圓心作為參考點，這就降低了他們判斷的準(zhǔn)確性。但是，幼兒認(rèn)知靈活性的提高，可以幫助他們學(xué)會根據(jù)目標(biāo)點的位置屬性，靈活地選擇參考點，主要表現(xiàn)在當(dāng)目標(biāo)點離圓心較遠(yuǎn)（但離圓邊緣較近）時，他們會放棄圓心而選擇更加容易的點（圓邊緣某一點）作為參考。因此，問題解決策略的優(yōu)化使得比例推理精確性提高。

3.3-6 歲兒童近似數(shù)量系統(tǒng)精確度的發(fā)展特點

本研究結(jié)果顯示，3-6 歲幼兒近似數(shù)量系統(tǒng)精確度隨年齡的增長而增強。近似數(shù)量系統(tǒng)敏銳度的發(fā)展直到青春期早期才完成。兒童早期的近似數(shù)量系統(tǒng)精確度隨著幼兒神經(jīng)回路的成熟不斷積累不斷發(fā)展。另外，訓(xùn)練和經(jīng)驗對近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展也起著重要的作用。在實踐中加強數(shù)字識別訓(xùn)練可以增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難幼兒的靈敏度［19］。Pica 等人以接觸過數(shù)學(xué)教育的法國成人和缺少數(shù)學(xué)經(jīng)驗的亞馬遜原著居民為被試發(fā)現(xiàn)，接受過訓(xùn)練的法國人明顯優(yōu)于亞馬遜人。

工作記憶能力和執(zhí)行功能的變化也可能影響近似數(shù)量系統(tǒng)發(fā)展。在學(xué)齡前和小學(xué)早期，空間工作記憶和語言工作記憶都有改善。工作記憶可以為幼兒提供一個心理空間，這個心理空間可以用來進(jìn)行信息的轉(zhuǎn)換和操作關(guān)鍵的數(shù)概念［20］。在測量近似數(shù)量系統(tǒng)的Panamath 任務(wù)中，時間的限制使幼兒必須要啟動工作記憶才能完成點的比較。而抑制和認(rèn)知靈活性與專注于符號和明確數(shù)學(xué)推理的任務(wù)中的數(shù)學(xué)成績相關(guān)［21-22］。研究指出，點數(shù)與面積呈正相關(guān)比負(fù)相關(guān)更能有利于被試的判斷。幼兒在面對不同維度（大小、分布密度、面積、位置、數(shù)量）時，必須靈活地處理多個維度關(guān)系，抑制直觀的無關(guān)刺激影響（如點數(shù)量較少的組，所占的面積較大，無關(guān)刺激為點的面積），而只對點的數(shù)量進(jìn)行處理。如當(dāng)任務(wù)中面積與點數(shù)呈負(fù)相關(guān)時，幼兒必須排除面積的干擾，而只對點的數(shù)量做出反應(yīng)。近似數(shù)量系統(tǒng)的敏銳度在3 至6 歲之間持續(xù)增加，再一次證實了近似數(shù)量系統(tǒng)發(fā)展的長期性，它跨越了符號數(shù)學(xué)教學(xué)開始的時期，對數(shù)學(xué)教育和理解個人經(jīng)驗和“數(shù)感”之間的相互作用都有意義。

（二）3-6 歲兒童比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的關(guān)系

1.3-6 歲兒童比例推理與空間類比的相關(guān)性

研究結(jié)果顯示，控制了年齡與性別后，比例推理與空間類比仍具有顯著相關(guān)性。這與Schlottm-Ann，F(xiàn)rick 和Newcombe 等人的研究一致。兩者相關(guān)性在3-6 歲階段不斷減弱，只在3-5 歲兒童中呈顯著相關(guān)。M?hring 認(rèn)為，這可能與兩項任務(wù)中所使用的策略有關(guān)［23-24］。在研究中，當(dāng)詢問小班幼兒如何在比例推理中做出判斷時，他們往往回答：“因為我的眼睛比較厲害”“我一看就知道了”等。而到了大班，他們就會回答：“因為這個草莓醬與前面的一樣多，但黃色面包卻變長了，所以應(yīng)該比前面涂的少一點”“可以將面包分成四份，草莓醬只涂了一份”等。在空間類比的策略上，大班幼兒回答：“我就是這樣看出來的”，年齡較小的幼兒無法說出自己的策略?？梢?，幼兒在比例推理與空間類比任務(wù)中更多地傾向于使用直覺策略①，但隨著思維能力和信息處理能力的發(fā)展，兩項任務(wù)的策略有不同的發(fā)展。大班幼兒在離散變量比例推理任務(wù)中常借助“計數(shù)策略”來獲取兩個部分的大小信息，如“草莓醬比面包上的一半多”“1格、2 格......5 格，總共有5 格草莓醬”。這說明，大班幼兒在完成比例推理任務(wù)時，已經(jīng)能夠進(jìn)行邏輯分析和推理，并非僅僅用直覺判斷。學(xué)前兒童以具體形象思維為主，抽象思維開始萌芽，比例思維的發(fā)展和信息處理能力隨年齡增長而增強，幼兒感知、抽象內(nèi)在比例信息的能力也隨之提高，使用直覺策略的頻率也會隨之減少。但是，在空間類比任務(wù)中，幼兒即使運用分析性的策略，通過編碼目標(biāo)點的相對位置關(guān)系，也很難在一個多維的幾何圖中運用比例思維（如圓的一半）或其他抽象思維來解決問題。這可能是因為他們無法量化距離信息，故轉(zhuǎn)而運用直覺進(jìn)行判斷。

為進(jìn)一步驗證這一解釋，分別對比例推理中兩項子任務(wù)與空間類比的相關(guān)性進(jìn)行分析。中班（4-5 歲）幼兒空間類比與連續(xù)變量中的比例推理仍顯著相關(guān)（P＜.001），而與離散變量的比例推理卻不相關(guān)（P＞.05）。可見，比例推理與空間類比相關(guān)性的變化是由離散變量引起的。這可能是因為，離散變量的可數(shù)性使得孩子更容易借助其他數(shù)學(xué)能力，選擇類似于計數(shù)策略等其他更具分析性的策略方法。因此，兩者之間的關(guān)系變化率先在離散變量中體現(xiàn)。這也正說明，隨著比例思維等其他能力的飛速發(fā)展，策略的變化可能是導(dǎo)致比例推理與空間類比的相關(guān)性在3-6 歲期間呈現(xiàn)減弱趨勢的重要原因。

2.3-6 歲兒童比例推理、空間類比對近似數(shù)量系統(tǒng)的相關(guān)關(guān)系隨著年齡增長而減弱

筆者在本研究中還發(fā)現(xiàn)，比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)之間不僅存在相關(guān)性，還存在預(yù)測關(guān)系，但三者之間的關(guān)系在3-6 歲階段并不是恒定不變的，即三者的關(guān)系隨著年齡增長而減弱。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因可能有三個方面。第一，幼兒隨著年齡增長，解決問題過程中使用的策略會越來越精確，而使用直覺策略會減少。因為直覺策略的使用會隨著幼兒心理模型的成熟，以及對比例概念、表征關(guān)系理解的不斷加強而減少。這種并不精確的策略會被更具分析性的內(nèi)在的處理機制所取代，三者關(guān)系因此失去了共同策略的支持。第二，相關(guān)關(guān)系的減弱可能是受到幼兒表征能力的影響。幼兒表征是從籠統(tǒng)到抽象的過程，近似數(shù)量系統(tǒng)本身就是幼兒一種籠統(tǒng)的而非精確的數(shù)量比較任務(wù)。而在3-6 歲階段，幼兒完成比例推理與空間類比任務(wù)，是一個從不精確的籠統(tǒng)判斷，向精確的、具體的判斷轉(zhuǎn)變的過程。如在空間類比任務(wù)中，從直接運用視空能力定位，到尋找有利參考點對兩者之間相對距離進(jìn)行編碼；在比例推理中，從根據(jù)絕對大小轉(zhuǎn)換比例，到運用比例兩部分的相對關(guān)系。這種表征系統(tǒng)的精確發(fā)展使得比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的相關(guān)性隨年齡增加而出現(xiàn)減弱。最后，近似數(shù)量系統(tǒng)對數(shù)學(xué)能力的直接作用減弱也可能引起三者之間的關(guān)系變化。學(xué)者歐司湯恩（Ostergren）提出的數(shù)知識發(fā)展與算術(shù)能力關(guān)系的理論模型中，數(shù)知識的發(fā)展始于先天的數(shù)表征體系，如近似數(shù)量系統(tǒng)，然后通過日常生活中學(xué)會的口頭數(shù)詞與近似數(shù)量系統(tǒng)之間產(chǎn)生了聯(lián)系或匹配，再通過后天的學(xué)習(xí)經(jīng)驗所掌握的數(shù)的書面符號系統(tǒng)與近似數(shù)量系統(tǒng)產(chǎn)生了聯(lián)系。因而，最終數(shù)知識的形成應(yīng)該是近似數(shù)量系統(tǒng)、口頭和書面數(shù)符號系統(tǒng)三者之間的緊密聯(lián)結(jié)和融合以后的產(chǎn)物。但三者對數(shù)能力的作用卻會發(fā)生變化，因為近似數(shù)量系統(tǒng)是一種較為原始的數(shù)系統(tǒng)，隨著時間的推移或發(fā)展，數(shù)學(xué)能力更需要越來越復(fù)雜的領(lǐng)域一般性能力（工作記憶、注意控制、智力、信息處理速度、空間能力、記憶系統(tǒng)、語言、情境）的支持，同時也越來越依賴于更為復(fù)雜的數(shù)知識。也就是說，隨著年齡的增長，近似數(shù)量系統(tǒng)對數(shù)能力的影響是一個不斷減弱的過程。

3.比例推理的調(diào)節(jié)作用

數(shù)學(xué)能力與空間能力之間存在著廣泛并且深入的聯(lián)系，已被多項研究所證實。M?hring 和Newcombe 等人在其研究中就發(fā)現(xiàn)，4-6 歲幼兒比例推理、空間類比與數(shù)幅度大小之間存在相關(guān)關(guān)系?？梢姡@種聯(lián)系在兒童還沒有正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時就已經(jīng)出現(xiàn)了。大腦在處理數(shù)與空間問題時，激活的腦區(qū)之間存在很多重疊。本研究也證實了這種關(guān)系，即近似數(shù)量系統(tǒng)與空間能力存在聯(lián)系。不僅如此，還發(fā)現(xiàn)，近似數(shù)量系統(tǒng)與空間類比之間的關(guān)系受到比例推理的影響，即比例推理能力強的兒童，其空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的聯(lián)系越緊密。從任務(wù)上看，比例推理能力強的兒童，視覺空間能力（即心理上加工視覺圖形的能力和空間關(guān)系能力，主要包括空間定向能力，來處理點的面積與分布的密度）以及對量的比例感知能力都較好，而在空間類比任務(wù)中，兒童對空間方位、空間關(guān)系的把握也尤為重要。在近似數(shù)量系統(tǒng)中，點的比較任務(wù)是量的比較，比例感知能力能更快幫兒童判斷量的多少。另一方面，從人類大腦中的數(shù)字線的呈現(xiàn)特點也可獲得這一結(jié)論，即小數(shù)位于空間左側(cè)，大數(shù)位于空間右側(cè)，這看似簡單的數(shù)量空間表征預(yù)示著空間能力的差異會影響孩子形成精確的數(shù)量表征，而精確的數(shù)量表征要以近似數(shù)量系統(tǒng)為基礎(chǔ)來獲得。比例推理就類似于一個數(shù)字線，也是一種數(shù)量空間的表征形式。比例推理能力的增強，在一定程度上也預(yù)示著空間與數(shù)學(xué)之間存在關(guān)系的加強。

（三）研究局限與展望

本研究中測量空間類比能力的找雞蛋任務(wù)只涉及到二維空間，即農(nóng)場以一張平面圖形呈現(xiàn)。已有研究證明，二維空間推理相較三維空間容易。本研究只探討了二維空間中的空間類比能力。由于兩者之間的差異，在三維空間中進(jìn)行推理和類比，可能會得到不一樣的結(jié)果。因此，今后對三維空間類比推理能力的研究仍然需要繼續(xù)推進(jìn)。此外，本研究在預(yù)測試時，以成人為被試運用草莓醬任務(wù)與找雞蛋任務(wù)，測量他們的比例推理與空間類比能力，結(jié)果顯示，即使是成人也無法進(jìn)行精準(zhǔn)定位（偏差為0）。因此，無法判斷空間類比與比例推理能力在兩項任務(wù)中的最佳值（成熟表現(xiàn)），形成比例推理與空間類比的常模。但選擇式的研究范式，即從選項中選擇與參考圖相匹配的一項，又大大限制了探索空間，故今后的研究可以從更加科學(xué)成熟的研究范式上進(jìn)行改進(jìn)。

五、教育建議

（一）運用多種途徑，發(fā)展學(xué)前兒童的空間類比、比例推理與近似數(shù)量系統(tǒng)能力

學(xué)前幼兒發(fā)展是一個由量變到質(zhì)變的過程，即是一個不斷由低級到高級，由簡單到復(fù)雜，有規(guī)律地進(jìn)行量變與質(zhì)變的過程［25］。因此，只有掌握了學(xué)前幼兒比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律和趨勢，才能夠有針對性地為幼兒提供有效的教育策略。一方面，教師可以在幼兒園活動中開展有關(guān)比例推理、空間類比和近似數(shù)量系統(tǒng)的多種游戲；另一方面，家長與教師應(yīng)在幼兒日常生活中滲透有關(guān)比例和類比的概念。例如：“我喝了我杯子里一半的水，你也要喝你杯子里的一半哦”。

（二）注重個體差異，個性化指導(dǎo)兒童比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展

3-6 歲幼兒比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)隨年齡的發(fā)展具有顯著的提高。觀察、分析和判斷幼兒的比例推理、空間類比等能力的時候，不僅要考慮其年齡差異和性別差異，而且即使是在同一年齡段的幼兒，在完成相同任務(wù)上的表現(xiàn)中，也存在較大的差異。有的兒童甚至無法一直處在猜測狀態(tài)，難以進(jìn)行真正的推理。因此，要基于對幼兒長期觀察，尊重幼兒的個體差異，準(zhǔn)確分析和評估幼兒的推理等能力，再在此基礎(chǔ)上適度引導(dǎo)比例推理、空間類比的發(fā)展。面對能力強的幼兒，可以提供層級難度任務(wù)，不斷創(chuàng)造幼兒的“最近發(fā)展區(qū)”；而對于推理有困難的兒童，應(yīng)該根據(jù)每個幼兒的具體表現(xiàn)，提供適宜其發(fā)展水平“腳手架”。比如，設(shè)計比例推理游戲材料的時候，可以先以1：1，1:2 等比較容易判斷的比例入手，待發(fā)展到一定的程度，再對較難的比例進(jìn)行推理，如3:4，4:7 等。設(shè)計空間類比的游戲材料時，可以提供一些與定位空間類似或者差距較小的地圖，從而減少幼兒遷移和轉(zhuǎn)換的難度。也可以提供有助于定位的參考點或是先定位一些離圓心較近的點。形成一個由簡到難，循序發(fā)展的過程，保證幼兒在完成任務(wù)時，既有挑戰(zhàn)性，又有成功感。

（三）注重3-6 歲兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺思維發(fā)展

從研究結(jié)果可知，幼兒在學(xué)前階段已經(jīng)開始運用直覺策略來解決問題。直覺思維是3-6 歲幼兒完成比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)的重要能力之一。幼兒早期主要就是用直覺思維進(jìn)行思考，直覺思維既是發(fā)展的主要“途徑”，又是主要“目標(biāo)”。直覺往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、聯(lián)想、歸納和類比的基礎(chǔ)上［26］。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)民主開放的思維環(huán)境，允許幼兒猜想，尊重肯定幼兒的猜想活動，培養(yǎng)幼兒的求異思維，拓展他們的思維空間；在日常學(xué)習(xí)過程中，教師要鼓勵幼兒發(fā)現(xiàn)一些不同事物中的相似之處，以及一些相同事物中的不同之處。但要注意的是，直覺并不僅僅只是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是無緣無故的憑空臆想的產(chǎn)物。直覺的產(chǎn)生要以知識和經(jīng)驗積累作為基礎(chǔ)，只有具備了學(xué)習(xí)能力，獲得知識的積累，才能產(chǎn)生正確的直覺判斷。因此，要提高幼兒直覺思維能力，幼兒一般領(lǐng)域能力和特殊領(lǐng)域能力也很重要。

六、結(jié)論

其一，年齡與性別對3-6 歲幼兒比例推理的主效應(yīng)顯著：3-6 歲幼兒的比例推理能力存在顯著的年齡差異；三個年齡段的幼兒在比例推理上存在性別差異。女孩的表現(xiàn)略優(yōu)于男孩，差距隨年齡的增加而縮??；年齡對3-6 歲幼兒空間類比的主效應(yīng)顯著，性別對3-6 歲幼兒空間類比能力的效應(yīng)不顯著；年齡對3-6 歲幼兒近似數(shù)量系統(tǒng)精確度的主效應(yīng)顯著，性別對幼兒近似數(shù)量系統(tǒng)精確度的效應(yīng)不顯著。

其二，控制性別與年齡后，比例推理、空間類比、近似數(shù)量系統(tǒng)三者之間存在顯著的中等程度正相關(guān)。但在3-6 歲期間，三者之間的相關(guān)系數(shù)有所下降，相關(guān)性呈減弱趨勢。3-5 歲階段，三者之間的相關(guān)性顯著，但5-6 歲階段幼兒的比例推理、空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)無顯著相關(guān)。

其三，控制年齡與性別后，比例推理、空間類比對3-6 歲幼兒的近似數(shù)量系統(tǒng)的精確度具有預(yù)測和解釋作用，其解釋量分別為35.7%，30.9%。比例推理在空間類比與近似數(shù)量系統(tǒng)之間的關(guān)系中，起調(diào)節(jié)作用。

［注釋］

① 直覺比例推理通常指的是推理視覺上所呈現(xiàn)的非符號比例表示之間關(guān)系的過程（Ahl,Moore＆Dixon,1992;Boyer＆ Levine,2012）