福建省東山第一中學(xué) 謝玉龍 楊愛玉

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題之中的常見問(wèn)題

（一）審題不仔細(xì)

因?yàn)楦咧泻瘮?shù)知識(shí)信息比較多，涉及的函數(shù)問(wèn)題也更為靈活多變，這就給學(xué)生的解題帶來(lái)了諸多的挑戰(zhàn)。學(xué)生需要思考很多函數(shù)知識(shí)因素，并且充分利用函數(shù)信息知識(shí)點(diǎn)去解答問(wèn)題、靈活變通問(wèn)題解答的諸多路徑，才能真正尋找到問(wèn)題的答案。但是，從以往解題的過(guò)程來(lái)看，依然有很多學(xué)生缺乏良好的審題意識(shí)，看到問(wèn)題就立即解答，并沒有看到問(wèn)題到底問(wèn)的是什么，沒有確定好一個(gè)解題的核心點(diǎn)，從而造成最后解題的錯(cuò)誤和胡亂涂改，這都不利于學(xué)生形成完整有效的解題思路。

（二）思路不清晰

在解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，思路不清晰依然是學(xué)生常見的一個(gè)問(wèn)題解答錯(cuò)誤點(diǎn)。思路不清晰導(dǎo)致解題過(guò)程中選擇出來(lái)的數(shù)據(jù)信息不合理，解答問(wèn)題所選的數(shù)學(xué)理論依據(jù)也不適用，從而尋找不到一條正確的解題思維路徑。其實(shí)，這種現(xiàn)象存在于很多學(xué)生的解題過(guò)程之中。大部分學(xué)生遇到函數(shù)難題時(shí)，都會(huì)存在一種害怕以及不懂就放棄的心理，不會(huì)再去探索其中的解題思路，久而久之就出現(xiàn)了各種解題困境。

（三）方法不會(huì)用

雖然數(shù)學(xué)函數(shù)課堂上教師講了非常多的解題方法，但是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，卻很少有學(xué)生會(huì)去靈活應(yīng)用。如果一道函數(shù)問(wèn)題稍微變動(dòng)問(wèn)法，或者適當(dāng)對(duì)函數(shù)問(wèn)題展開變式訓(xùn)練，很多學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)不適應(yīng)的現(xiàn)象，或者不知道如何去解答這道函數(shù)問(wèn)題，從而無(wú)法獲得正確的解題思路。這些都是學(xué)生不會(huì)使用解題方法的表現(xiàn)，而且學(xué)生對(duì)一道函數(shù)問(wèn)題的靈活解答也不存在一種清晰的思路，會(huì)感覺到函數(shù)問(wèn)題越解越難。

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的關(guān)注點(diǎn)

（一）解題前

高中函數(shù)問(wèn)題的解答，關(guān)注到的知識(shí)信息非常之多。在一開始的數(shù)學(xué)解題之前，就要做好必要的閱讀審題，先對(duì)一道高中函數(shù)問(wèn)題展開初步的閱讀，以大致了解函數(shù)問(wèn)題之中的一些基本信息，再去進(jìn)行細(xì)致的分析與構(gòu)建解題思路。此時(shí)，在閱讀題目?jī)?nèi)容時(shí)，要形成一種邏輯連貫，即先從問(wèn)題的基礎(chǔ)信息出發(fā)，再去看一看問(wèn)題到底是什么，要求我們?nèi)ソ獯鹗裁?。在了解解答?wèn)題的內(nèi)容與方向之后，才能有效知道題目之中所給出的數(shù)據(jù)信息到底有何解題用處。

（二）解題中

當(dāng)學(xué)生進(jìn)入高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中時(shí)，就要關(guān)注到題目所要解答的問(wèn)題內(nèi)容，之后則是圍繞問(wèn)題以及數(shù)據(jù)信息，去構(gòu)建解題思路，為解題尋找基本的函數(shù)知識(shí)原理信息。但是，如果學(xué)生存在問(wèn)題理解的偏移，則會(huì)影響其尋找函數(shù)知識(shí)原理的過(guò)程，進(jìn)而也會(huì)影響到解題的準(zhǔn)確性。此時(shí)，學(xué)生依然需要學(xué)會(huì)去關(guān)注到題目所問(wèn)問(wèn)題與題目所給數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，以在現(xiàn)有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上利用函數(shù)知識(shí)原理進(jìn)行問(wèn)題解答。如若學(xué)生構(gòu)建不起問(wèn)題、題目數(shù)據(jù)與函數(shù)原理之間的關(guān)系，則無(wú)法開展后續(xù)問(wèn)題的解答。

（三）解題后

在學(xué)生做好一系列的函數(shù)問(wèn)題解題思路構(gòu)建之后，則是在已形成的解題思路之上，去運(yùn)用函數(shù)基本知識(shí)原理以及題目之中的數(shù)據(jù)信息，進(jìn)行函數(shù)問(wèn)題的解答。因而在這樣一個(gè)過(guò)程中，學(xué)生就要思考解題思路之中還有哪些方面可以再次進(jìn)行精簡(jiǎn)，是否存在多元的解題思路，并在多元解題思路之中再去選擇更為優(yōu)化的解題路徑，以縮短解題的時(shí)間與效率。但畢竟解答函數(shù)問(wèn)題的時(shí)間非常有限，并不是所有學(xué)生都能在短時(shí)間內(nèi)尋找到問(wèn)題解答的路徑，多數(shù)學(xué)生會(huì)偏向于普通大眾所思考到的解題路徑。因而學(xué)生對(duì)后續(xù)函數(shù)問(wèn)題所積累下來(lái)的解題路徑，都應(yīng)該學(xué)會(huì)去積累與再次回顧，以做到知識(shí)之間的學(xué)以致用。

三、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的多元思路與方法

（一）從直接觀察法尋求解題

在多元函數(shù)解題思路之中，一個(gè)比較常用和便捷的函數(shù)解題方法為直接觀察法。雖說(shuō)直接觀察就是直擊函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)對(duì)函數(shù)問(wèn)題的觀察，尋找出函數(shù)解題的方法與思路，但是這一解題方法的應(yīng)用也具有一定特殊性，即函數(shù)問(wèn)題直接從題目之中就可尋求到解題思路，可直接從題目分析出解題路徑，不用再?gòu)钠渌暯侨ヌ綄に悸?，這顯得解題非常容易和便捷。可是，考慮到不是所有的數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題都能直接觀察出解題的思路，學(xué)生依然需要結(jié)合函數(shù)題目實(shí)際內(nèi)容，想一想題目之中涉及的函數(shù)信息是否可以直接獲得，是否可以直觀看到一道函數(shù)問(wèn)題到底求什么，是否能夠直接對(duì)題目之中的函數(shù)進(jìn)行辨析來(lái)求出答案，這些都是需要學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和思考的問(wèn)題。

解題分析：在這道函數(shù)問(wèn)題之中，可以直接觀察到這是一個(gè)分式，并且從函數(shù)題目就可以直接觀察到分式的分子已經(jīng)確定了，即已經(jīng)是“1”，那么分式的大小也只能由分母來(lái)確定，即由“x2+2”決定。因此，求函數(shù)的值域可以通過(guò)直接觀察與分析分母x2+2的范圍，由此范圍來(lái)決定整個(gè)函數(shù)的值域范圍，這才是一個(gè)簡(jiǎn)單且直接的問(wèn)題解答方法。

解題過(guò)程：∵x2+2≥2解題反思：由此函數(shù)問(wèn)題的解答，可以獲知在整個(gè)函數(shù)解答過(guò)程之中，只要可以直接從函數(shù)題目之中獲取解題思路，就盡可能基于此基礎(chǔ)之上，尋求可靠和有效的函數(shù)問(wèn)題解題方法，使用一種直觀有效的解題思路，即按照題目之中所給出的函數(shù)知識(shí)信息直接推導(dǎo)出函數(shù)解題思路，這也是最為根本和有效的函數(shù)解題思路與方法。

（二）從配方法尋求解題

在解答高中函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，依然還有另一種解題思路，即普遍使用的配方法，這一方法的使用頻率也是非常高的，而且能對(duì)學(xué)生的解題思路產(chǎn)生一定的思維啟發(fā)。因而做好對(duì)函數(shù)解答之中的配方法的理解與認(rèn)識(shí)，是對(duì)學(xué)生的一大啟發(fā)性理解與認(rèn)知，有利于學(xué)生獲知其中的解題原理以及配方法的解題意義。此時(shí)，根據(jù)具體的函數(shù)題目，先分析題目所問(wèn)之問(wèn)題，思考能夠運(yùn)用配方法的方式，將函數(shù)化為我們熟悉的函數(shù)解析式。如將一個(gè)函數(shù)進(jìn)行配方轉(zhuǎn)化，由探討函數(shù)圖像的值域問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，由此帶領(lǐng)學(xué)生感知配方法的解題簡(jiǎn)便性和實(shí)用性。

如下面這道函數(shù)問(wèn)題：求函數(shù)y=x2-2x，x∈[-1，2]的值域。解題分析：這道題目看似求解一道函數(shù)值域問(wèn)題，且與計(jì)算有一定關(guān)聯(lián)，但完全可以通過(guò)觀察函數(shù)，將函數(shù)配方成二次函數(shù)的具體解析式，以將其變化為二次函數(shù)圖像求值域的方法，去求解函數(shù)值域問(wèn)題。通過(guò)觀察y=x2-2x，完全可以利用配方法對(duì)其進(jìn)行函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化，看成一個(gè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，進(jìn)行函數(shù)問(wèn)題的解答。由此打開學(xué)生的函數(shù)解題思路，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式，展開對(duì)問(wèn)題的解析。

解題過(guò)程：將函數(shù)配方成y=（x-1）2-1

解題反思：對(duì)一個(gè)函數(shù)問(wèn)題從配方角度進(jìn)行解題思考，能夠從一道看似沒有頭緒的函數(shù)問(wèn)題中找到直觀的解題思路，有利于提升函數(shù)解題的效率和質(zhì)量，也易于學(xué)生展開對(duì)函數(shù)的分析，使得抽象的知識(shí)變得形象化，讓函數(shù)解答變得更有趣和更有意義。

（三）從判別式法尋求解題

函數(shù)解題的另一個(gè)思路是判別式解題法。談及什么是判別式解題法，大多數(shù)學(xué)生是從二次函數(shù)的判別式了解到這一概念的，但是學(xué)生真正將其應(yīng)用于高中函數(shù)問(wèn)題的解答卻很少，也不知道如何從一道函數(shù)問(wèn)題之中尋找到判別式的用法，因而學(xué)生在解題過(guò)程中，也容易陷入無(wú)思路可解答的尷尬境地。為此，要促使學(xué)生真正走出原有函數(shù)解題思維的束縛，學(xué)會(huì)從判別式方面尋找到解題思路，即將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的方程。如將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，從而變?yōu)槲覀兪煜さ囊辉魏瘮?shù)方程，進(jìn)而根據(jù)判別式△≥0求解相關(guān)的數(shù)值。

解題分析：從這道函數(shù)問(wèn)題可以看出，此函數(shù)較為復(fù)雜，如若直接求解其中的函數(shù)值域是非常困難的，需要懂得巧妙將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并且利用判別式的方式，去求解函數(shù)問(wèn)題的答案。比如，這個(gè)函數(shù)的分母是一個(gè)二次函數(shù)，且它的開口向上以及恒大于0，可得出定義域?yàn)镽，且必有根，則可以繼續(xù)去分母，得到一個(gè)函數(shù)方程。然后，觀察方程并且展開y的分析，逐步引入判別式分析，由此計(jì)算出函數(shù)的值域范圍。

解題過(guò)程：分析函數(shù)，得出函數(shù)的定義域?yàn)镽。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

解題反思：在整體的解題思路中，涉及了函數(shù)的一個(gè)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題的解答方法，并利用其根的判別式思路，去求解出函數(shù)值域問(wèn)題，使得整個(gè)解題過(guò)程變得比較巧妙和有趣，也對(duì)整個(gè)函數(shù)與方程知識(shí)展開了銜接式的探索，促使學(xué)生懂得結(jié)合知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)行有效的知識(shí)融合性分析，進(jìn)而有利于提升學(xué)生的函數(shù)問(wèn)題解題效率與靈活度。

（四）從函數(shù)單調(diào)性法尋求解題

在上述的諸多函數(shù)解題思路過(guò)后，依然還有一種函數(shù)解題方法，這就是從函數(shù)單調(diào)性視角去解答函數(shù)問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生進(jìn)入高中階段之后，先會(huì)接觸函數(shù)的性質(zhì)分析學(xué)習(xí)，而其中就會(huì)分析到函數(shù)的單調(diào)性，此性質(zhì)能夠促使函數(shù)問(wèn)題的解答趨向于簡(jiǎn)單和快捷，同時(shí)也幫助學(xué)生開發(fā)了函數(shù)解題的思路，促使學(xué)生學(xué)會(huì)從性質(zhì)方面去解答函數(shù)問(wèn)題，使得學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的解答變得有效和有思路。

如下面這道高中函數(shù)問(wèn)題：若2a+log2a=4b+2log4b，則？

解題分析：此道函數(shù)問(wèn)題構(gòu)造非常復(fù)雜，因此可以構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，從函數(shù)單調(diào)性方面去分析構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，由此得出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系。此時(shí)，根據(jù)此道題目的信息，得出a和b是大于0的，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)之中真數(shù)必須大于0，而后就可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行重新構(gòu)造，將函數(shù)化繁為簡(jiǎn)，以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，并根據(jù)這個(gè)新函數(shù)從單調(diào)性方面展開分析。

此時(shí)，令f（x）=2x+log2x 在（0，+∞）為單調(diào)遞增，

∴a＜2b

解題反思：通過(guò)分析與探究可得出，當(dāng)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行重新構(gòu)造之后，可以從函數(shù)的基本性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，展開問(wèn)題的分析，這樣就能夠很快地得出問(wèn)題解答的路徑與方向，使得整個(gè)問(wèn)題解答變得容易許多，而且也能夠再次去強(qiáng)化對(duì)基本的函數(shù)單調(diào)性的理解與運(yùn)用。這也是一次考核學(xué)生自身對(duì)函數(shù)性質(zhì)理解的過(guò)程，有利于提升學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解與運(yùn)用。

綜上所述，在高中函數(shù)問(wèn)題解答過(guò)程中，依然有很多解題思路需要學(xué)生去理解與掌握，而無(wú)論是怎樣的解題思路，都應(yīng)該做好審題以及基礎(chǔ)性質(zhì)概念的理解與認(rèn)知，這樣才能有效解答出函數(shù)問(wèn)題的答案，從而迎來(lái)函數(shù)問(wèn)題解題教學(xué)的有效開展。