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助力探究 揭示本質
——“用二分法求方程的近似解”教學實錄與反思

2022-11-24 17:35張國良江蘇省武進高級中學213149
中學數學雜志 2022年10期
關鍵詞:二分法畫板實數

張國良 (江蘇省武進高級中學 213149)

1 基本情況

1.1 授課對象

高一學生已初步理解了函數圖象與方程解之間的關系,具備用數形結合解決數學問題的能力,這為理解函數零點附近的函數值符號提供了知識儲備.雖然學生熟悉一元二次方程解與函數零點的關系,但對于一元高次方程、超越方程與對應函數零點之間的聯系還比較模糊.另外,學生對計算器的使用不夠熟練,這些都給學生學習本節(jié)內容造成一定困難.

1.2 教材分析

本節(jié)課是《普通高中教科書·數學》(蘇教版)必修第一冊第8章“8.1二分法求方程近似解”第2課時,要求學生能夠借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解,從中體會函數與方程之間的聯系.用二分法求方程的近似解既是本冊書中的內容,又是對函數知識的拓展,既體現了函數在解方程中的重要應用,同時又滲透函數與方程、數形結合、轉化與化歸的數學思想,培養(yǎng)學生的圖形能力、判斷能力以及利用現代信息技術解決問題的能力.

教學目標 (1)能夠借助計算器用二分法求方程的近似解,了解二分法是求方程近似解的常用方法;(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程,感受信息技術的優(yōu)越性;(3)通過探究活動,體會數學的“逼近”思想,感受精確與近似的相對統一.

教學重點 利用二分法求方程的近似解.

教學難點 二分法求方程近似解的操作流程.

2 教學過程

2.1 情境體驗,感受思想

師:同學們,讓我們先做一個猜數游戲.

計算機隨機給定10~90之間的二位整數,讓學生猜這個數,對于每次猜測的結果,計算機的提示是“對了”或“大了”或“小了”(圖1).

圖1

2.2 師生討論,理解感悟

師:只要給出一個不超出該范圍的整數,采用正確的方法,都可以在7次以內猜中,你們是否可以做到?

師:為什么采用正確的方法,7次以內一定能猜中?

學生討論并回答.

師:上述猜數游戲中,每次猜數都將所給區(qū)間一分為二,進行比較后得到新的區(qū)間,再一分為二,進而使得所猜數逐步逼近計算機給出的數,這種思想就是二分法.

師:在游戲活動中我們也能學到很多知識,下面請同學們再舉例說明二分法的一些應用.

生:輸電線路的故障檢測等.

師:我們今天就來一起研究用二分法求方程的近似解.

揭題 用二分法求方程的近似解.

師:前面我們已經學習了一元二次方程實數解的有關問題,如方程x2+3x-1=0有兩個不相等的實數解,那么你能知道方程x3+3x-1=0的實數解的情況嗎?近似解呢?

2.3 活動探究,課堂建構

師:請同學們對這個三次方程的實數解提出一些問題.

生1:該方程有無實數解?

生2:該方程若有實數解,有幾個?

生3:這個實數解大概是多少?

生4:函數y=x3+3x-1的圖象是怎么樣的?

生5:如何獲得方程x3+3x-1=0的近似解?

……

引導學生思考:還可以通過函數的單調性知道該方程只有一個實數解.

師:這個實數解在區(qū)間(0,1)內,能否更精確些?

記f(x)=x3+3x-1,設方程x3+3x-1=0的實數解為x0,則x0∈(0,1).

第一次:f(0)<0,f(0.5)>0

第二次:f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次:f(0.25)<0,f(0.375)>0

第四次:f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第五次:f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次:f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次:f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

第八次:f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

讓學生展示自己的解決策略,師生共同完成前三次的計算,組織同桌的兩位學生合作,一人計算,一人記錄,完成后面的計算過程,并展示學 生的成果.在此過程中教師借助幾何畫板顯示這個實數解的范圍逐步縮小,直觀形象地體現出二分法的思想(圖2).通過這種活動來創(chuàng)造探究 機會,促進學生主動探究,并注重學生參與、探究的實效,在提出問題、建構數學、解決問題方面進行有意識的引導,培養(yǎng)學生的合作精神與協作能力.

圖2

師:若精確到0.1呢?算幾次就可以了?

師:若精確到0.01呢?

由學生討論并總結得出:欲近似到0.1,由兩個端點近似值都為0.3,則x0=0.3;欲近似到0.01,由兩個端點近似值都為0.32,則x0=0.32.

通過上述解題過程,結合幾何畫板,形象地給出一段區(qū)間,不斷地取一半,并表明每一段的兩個端點的符號.

師生討論:(1)精確度如何達到?二分的次數如何確定?有無規(guī)律?(2)使用二分法有無前提條件?(3)二分法的一般思路和操作流程是什么?

2.4 鞏固反饋,總結提煉

利用計算器,求方程lgx=3-x的一個近似解.(精確到0.1)

小組合作,一人計算,一人記錄,完成后通過投影展示學生的研究成果.

通過學生思考并用自己的語言把二分法的解題過程表達出來,并展示學生的成果,讓學生共同評價和完善補充.

生:二分法求方程的近似解就是每次都取區(qū)間的中點,將區(qū)間一分為二,再經比較,按需要留下其中一個小區(qū)間的方法,其實質是不斷把函數零點所在的區(qū)間逐步縮小,使區(qū)間兩個端點逐步逼近零點,進而得到函數零點近似值.

師:大家一起來完善用二分法求方程的近似解的操作流程.

用二分法求方程的近似解的操作流程如圖3所示.

圖3

2.5 體驗交流,練習拓展

請學生談談利用二分法求方程近似解的一些體驗,并進行交流.例如:

(1)近似計算高中階段較少遇到,用二分法求方程的近似解是數學嚴謹而科學的體現.

(2)無限逼近的思想是高中數學重要的思想方法,如我國古代數學家劉徽用割圓術計算圓周率π也正是用無限逼近的思想.

(3)操作流程是一種算法思想.算法是數學及其應用的重要組成部分,是計算科學的重要基礎,通過本堂課讓學生感受到程序化思想,體會算法思想在解決問題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用.算法思想已經成為現代人應具備的一種不可或缺的重要數學素養(yǎng).

師:利用計算器,求方程10x=3-x的一個近似解.(精確到0.1)

師:結合上述方程lgx=3-x,你能得到什么結論?

借助幾何畫板作圖,幫助學生獲得y=10x與y=lgx的關于直線y=x的對稱關系,從而獲得這兩個方程的實數解的和為定值3.

·鞏固練習

下列函數圖象中,不能用二分法求函數零點的是( ).

利用以上圖象,指出對于連續(xù)函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,則函數在(a,b)上至少有一個零點;但f(a)f(b)>0,卻不能得出函數在(a,b)上一定沒有零點.

·課后拓展

師:同學們有無其他方法求方程的近似解.

提示:如秦九韶法、迭代法等.

3 回顧反思

3.1 教學效果

利用信息技術與課程整合,動態(tài)圖象的演示,激發(fā)學生學習興趣、激活學生思維,掌握二分法的本質,較好地完成了教學目標.

3.2 教學反思

本節(jié)課通過猜數游戲創(chuàng)設情境,不僅激發(fā)了學生的學習興趣,學生也在猜數過程中初步感受二分法的思想.利用幾何畫板求方程近似解的動態(tài)效果,優(yōu)勢有三:

(1)動態(tài)逼近

幾何畫板能動態(tài)展示零點所在的區(qū)間,直觀地體現“逼近”的過程,動態(tài)變化過程清晰明了,這樣有利于突破傳統教學的難點,幫助學生揭示數學本質,提高了探究活動的有效性,充分體現了信息技術與數學課程的有機整合.

(2)形象直觀

在教師的引導下,學生也可以觀察圖形、猜測并驗證,在觀察、探索、發(fā)現的過程中增強對函數零點的感性認識,形成豐厚的經驗背景,從而更有助于理解.

(3)操作簡單

借助幾何畫板可實時作出函數圖象,一切操作都只靠工具欄和菜單實現,隱藏、顯示可以反復操作.

本節(jié)課由學生自主提出一些問題,主動探究,總結體驗探究過程,從而獲得方法,體驗到成功的樂趣.學生只有通過自主探究、創(chuàng)造性運用知識、合作交流才能完成相關課題,這將促進學生學習方式發(fā)生轉變,由被動接受、死記硬背、機械訓練變?yōu)樽灾魈骄?、注重過程、合作交流,有利于提升學生的數學核心素養(yǎng).

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