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右端不連續(xù)免疫對(duì)非線性出生率和醫(yī)院容納的影響

2022-11-22 08:13李迅陶龍
關(guān)鍵詞:醫(yī)治微分出生率

李迅,陶龍

在人類漫長(zhǎng)的發(fā)展歷程中,傳染病始終是妨礙人類社會(huì)文明發(fā)展的阻礙之一,也是危害人類生命健康安全的最大因素之一.盡管是在醫(yī)學(xué)、科學(xué)文明高度發(fā)展的今天,SARS、埃博拉病毒、COVID-19等仍然會(huì)爆發(fā)傳染,極大地威脅了人類社會(huì)的安全和發(fā)展.人類歷史上產(chǎn)生了許多研究傳染病的方法,其中數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)可以建立微分方程動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定性和定量研究.影響較大的是ERMACK等研究發(fā)明的流行癥倉(cāng)室模型[1].隨著微分動(dòng)力系統(tǒng)理論的日益發(fā)展,模型中考慮的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題因素也越來(lái)越多,專家學(xué)者們也取得了更多符合現(xiàn)實(shí)意義的研究成果[2-3].文獻(xiàn)[4]開(kāi)始考慮醫(yī)治因素有限對(duì)傳染病的影響,發(fā)現(xiàn)醫(yī)治因素對(duì)疾病傳染的穩(wěn)定性具有重要影響;在現(xiàn)實(shí)生活中醫(yī)院的物資、空間、醫(yī)護(hù)人員都是有限的,醫(yī)院不可能接收全部病人,因此文獻(xiàn)[5]考慮了醫(yī)院容納和非線性出生率對(duì)倉(cāng)室模型的影響,并取得了具有現(xiàn)實(shí)意義的重要結(jié)論.

盡管如此,目前對(duì)于非線性出生率和醫(yī)院容納量的數(shù)學(xué)模型大都是連續(xù)的微分動(dòng)力系統(tǒng),通常在病毒傳播的早期,人們對(duì)病毒的預(yù)防和醫(yī)治不夠及時(shí),導(dǎo)致病情得不到充分醫(yī)治甚至是沒(méi)有醫(yī)治;經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的社會(huì)面?zhèn)魅荆藗円庾R(shí)到病毒傳播的嚴(yán)重程度后就會(huì)開(kāi)始加大醫(yī)治的力度,由此會(huì)形成一個(gè)較大的患者人數(shù)間斷變化.縱觀整個(gè)過(guò)程,動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)是一個(gè)不連續(xù)的微分動(dòng)力系統(tǒng),而不是連續(xù)的.因此本文考慮在文獻(xiàn)[5]的研究基礎(chǔ)上引入非連續(xù)的治療項(xiàng)進(jìn)行研究,實(shí)際上目前許多經(jīng)典傳染病系統(tǒng)模型中已經(jīng)引入了非連續(xù)免疫治療[6].

1 模型的建立

針對(duì)文獻(xiàn)[5],建立如下模型:

其中:易感染人群記為S,已感染人群記為I,住院者人群記為H,治療后康復(fù)人群記為R,N表示人口的總數(shù)量,N=S+I+H+R;A為種群人口輸入數(shù)量,B為出生率,β為感染率,γ1為感染者的自我康愈率,γ2為住院者的治愈率,γ為已感染的人去醫(yī)院就醫(yī)的轉(zhuǎn)移率,K為醫(yī)院所能收治的病人最大量,μ為自然死亡率,ε1為感染者病死率,ε2為住院者的病死率;基本再生數(shù)為.其中,函數(shù)h(I)是本文引入的非連續(xù)免疫函數(shù).

假設(shè)1h(I)=φ(I)I,其中φ:R+→R+是分段連續(xù)且單調(diào)不遞減的函數(shù),即除了可數(shù)個(gè)孤立點(diǎn){pk}外,其他點(diǎn)處均連續(xù).

由于式(1)微分系統(tǒng)的不連續(xù)性,經(jīng)典常微分理論的結(jié)論和性質(zhì)對(duì)此動(dòng)力系統(tǒng)不再適用.故對(duì)于式(2)的解需要重新定義,本文采用Filippov意義 下的解[6].Filippov解應(yīng)對(duì)的是下述一類不連續(xù)的微分方程:

其中:式(2)右端的不連續(xù)函數(shù)f(t,x)關(guān)于變量t和x(t)是可測(cè)的且是局部本性有界的,即

定義1對(duì)于如下形式的集值映射[7]:其 中K是 作用 在f上的 算子;xδ表 示x的δ鄰 域;在函數(shù)f的連續(xù)點(diǎn)處,集合F(t,x)是由f(t,x)所構(gòu)成的單點(diǎn)集,在函數(shù)f的不連續(xù)點(diǎn)處,則集合F(t,x)是一個(gè)凸閉集合;意味著F取集合的凸閉包;交是在所有的零測(cè)度集合N和所有的δ>0上取交集;在這種定義方式下,方程(2)的解是微分包含F(xiàn)(t,x)中的一個(gè)解函數(shù)

對(duì)于滿足初值的Filippov解是絕對(duì)連續(xù)的向量函數(shù),即若(S(t),I(t),H(t),R(t))是式(1)的Filippov解,則(S(t),I(t),H(t),R(t))在[0,T)上絕對(duì)連續(xù),且函數(shù)將滿足下面的微分包含:

2 解的正值有界性和平衡點(diǎn)的存在唯一性

2.1 解的正值有界性

出于生物學(xué)現(xiàn)實(shí)的考慮,下面將證明模型(1)滿足初值條件的解都是有界且是非負(fù)的.

命題1令(S(t),I(t),H(t),R(t))是模型(1)滿足初值條件S(0)≥0,I(0)≥0,H(0)≥0,R(0)≥0的解,定義區(qū)間為[0,T),其 中T∈( 0,+∞).如若假設(shè)1成立,則對(duì)所有的t∈[0,T),有S(t)≥0且I(t)≥0且H(t)≥0且R(t)≥0.

證明 根據(jù)模型(1)在Filippov解的定義,(S(t),I(t),H(t),R(t))是微分包含式(3)的解,由式(3)中的第一個(gè)方程,可得

結(jié)合S(0)≥0可知,S(t)≥0,t∈[0,T).

命題2若假設(shè)1成立,令(S(t),I(t),H(t),R(t))是模型(1)滿足初值條件S(0),I(0),H(0),R(0)∈R4+的解,則(S,I,H,R),t∈[0,T)有界.

證明由(1)可得:

綜上所述,本文的可行域?yàn)椋?/p>

2.2 模型平衡點(diǎn)的存在及其唯一性

當(dāng)假設(shè)1成立時(shí),為了求解式(3)的平衡點(diǎn),則需要解出下面的微分包含:

聯(lián)立式(6)中的微分方程(包含),可得:

設(shè)(S*,I*,H*,R*),t∈[0,T)是模型(1)的有病平衡點(diǎn),將會(huì)有下述微分包含

即若(S*,I*,H*,R*)是式(8)的平衡點(diǎn),根據(jù)式(8),將存在一個(gè)常數(shù)使得μI*-ξ*.顯然,這樣的常數(shù)ξ*是唯一的,并且

命題3如果R0>1,那么微分包含式(6)存在唯一的正解?,滿足:

證明 首先證明式(7)微分包含解的存在性.由 于R0>1,所 以g(0)>?(0)>0.另外,g(I)關(guān)于I是單調(diào)遞減的,?(I)關(guān)于I是單調(diào)不減的.而且,g(I)≤0當(dāng)且僅當(dāng)

因此,集合{I:g(I)≥φ(I+),I>0}是有界的,令那 么且

其次證明式(7)微分包含解的唯一性.為證明模型解的唯一性,先假定是微分包含式(6)的兩個(gè)正解,且I1*≠I2*,由式(9)知使得

根據(jù)假設(shè)1知?是非單減的函數(shù),記f=,則有f≥0,兩式相減得η1*-η2*=,從 而有η1*-η2*=對(duì)此等式兩邊同時(shí)除以I1*-I2*得此時(shí),左邊,右 邊=,這與等式左右相等矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤.命題得證.

3 有限時(shí)間的全局漸近穩(wěn)定性

為不失一般性,探討式(1)的解軌跡在有限時(shí)間內(nèi)全局漸近收斂到平衡點(diǎn)的可能性,有必要做出下面的假設(shè):

假設(shè)2若R0>1且φ(I)有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)I*,其中I*是式(7)所確定的唯一解,且取

則根據(jù)假設(shè)2可定義:θ=min{φ+(I*)-η*,η*-φ-(I*)}>0.

定理1如果假設(shè)1和假設(shè)2均成立,則系統(tǒng)(1)滿足初值條件S(0)≥0,I(0)≥0,H(0)≥0,R(0)≥0的所有解將在有限時(shí)間內(nèi)全局漸近收斂到E*=(S*,I*,H*,R*),即 當(dāng)t≥t*時(shí),都有( S,I,H,R)=(S*,I*,H*,R*),其中:

證明令x(t)=S(t)-S*,y(t)=I(t)-I*,z(t)=H(t)-H*,w(t)=R(t)-R*,其 中根據(jù)式(4)知,存在一個(gè)可測(cè)函數(shù)η(t)∈使得式(3)變?yōu)椋?/p>

構(gòu)建Lyapunov函數(shù)如下:

其中:α是一個(gè)可以在后面具體確定的正常數(shù).容易驗(yàn)證V1(x(t),y(t),z(t),w(t))是關(guān)于(x,y,z,w)的正則函數(shù).當(dāng)(x(t),y(t),z(t),w(t))≠0時(shí),V1(x(t),y(t),z(t),w(t))>0;V1( 0,0,0,0)=0;當(dāng)x→+∞或當(dāng)y→+∞或當(dāng)z→+∞或當(dāng)w→+∞時(shí),V1(x(t),y(t),z(t),w(t))→+∞,對(duì)V1求導(dǎo)可得:

由假設(shè)2知,當(dāng)(S(t),I(t),H(t),R(t))≠0時(shí),[η(t)-η*]2>θ2,則對(duì)所有的t∈{t:(x,y,z,w)≠(0,0,0,0)},有

從0到t對(duì)上式進(jìn)行積分得:

解得

即當(dāng)t=t*時(shí),

由文獻(xiàn)[8]可知,當(dāng)t>t*,則對(duì)任意的t都有V1(x(t),y(t),z(t),w(t))=0,即當(dāng)t>t*時(shí)

即 當(dāng)t>t*時(shí) ,(S(t),I(t),H(t),R(t))=(S*,I*,H*,R*),定理2得證.

接下來(lái)將證明系統(tǒng)(1)無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.因假設(shè)1假定h(I)在I=0處是連續(xù)的,故不滿足模型非連續(xù)的設(shè)定.需做如下的假設(shè).

假 設(shè)3h:R+→R+,h(0)=0但h(I)在I=0處是不連續(xù)的,且至多有有限個(gè)間斷點(diǎn).

定理2若假設(shè)3成立,則當(dāng)R0<1時(shí),式(1)滿足初值條件的解都將在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于無(wú)病平衡點(diǎn),即當(dāng)

同時(shí)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V2(x(t),I(t),H(t),R(t))=顯然V2(x(t),I(t),H(t),R(t))是正則函數(shù),當(dāng)V2(x(t),I(t),H(t),R(t))≠0時(shí),V2(x(t),I(t),H(t),R(t))>0且V2( 0,0,0,0)=0,由 式(4)知,對(duì)V2(x(t),I(t),H(t),R(t))求導(dǎo)得:

因 為A是人口輸入數(shù)量,A>1且BN>0,所以;又因?yàn)镽0=,所以,因此有

4 數(shù)值模擬

4.1 地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

依據(jù)假設(shè)1,考慮選取函數(shù)h(I)=參數(shù)設(shè)定為A=20,B=0.001,N=400,β=0.03,μ=0.2,γ=0.5,K=200,γ1=0.2,γ2=0.8,ε1=0.2,ε2=0.1.此時(shí)基本再生數(shù)R0=5.1>1;選定初值S(0)=200,I(0)=120,H(0)=50,R(0)=30.利用Matlab模擬仿真結(jié)果如圖1所示.從圖1可以發(fā)現(xiàn),S,I,H,R的解曲線經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后全局漸近穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn).

圖1 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

4.2 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

依據(jù)假設(shè)3,考慮選取函數(shù)h(I)=參數(shù)設(shè)定為A=10,N=400,B=0.001,β=0.003,μ=0.2,γ=0.5,K=200,γ1=0.2,γ2=0.8,ε1=0.2,ε2=0.1,此 時(shí)基本再生數(shù)R0=0.257 5<1;選定初值S(0)=從圖2可以發(fā)現(xiàn),易感染人群S在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后到達(dá)平衡,已感染的I類人群經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后逐漸減少,最終趨于消亡的無(wú)病平衡狀態(tài).

圖2 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

5 結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過(guò)對(duì)右端不連續(xù)的非線性出生率和醫(yī)院容納的傳染病模型的研究,發(fā)現(xiàn)所有滿足初值條件下的解都會(huì)在一個(gè)有限的時(shí)間范圍內(nèi)趨近于模型的有病與無(wú)病平衡點(diǎn).有限時(shí)間的穩(wěn)定治療有著其巨大深遠(yuǎn)的社會(huì)現(xiàn)實(shí)意義,因?yàn)樵S多病人都希望能夠了解到自身的慢性疾病是如何被治療的,何時(shí)被治愈.

利用Matlab數(shù)值計(jì)算,驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)的正確性.借助Filippov解和微分包含的理論,得出了更加符合實(shí)際的動(dòng)力學(xué)模型.由此,可以將右端不連續(xù)治療策略應(yīng)用于更多領(lǐng)域[9-14].因此通過(guò)構(gòu)建一個(gè)更能適應(yīng)現(xiàn)實(shí)規(guī)律要求的右端不連續(xù)微分方程動(dòng)力系統(tǒng),就可以進(jìn)一步得出更能適應(yīng)現(xiàn)實(shí)規(guī)律的結(jié)果.

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